(16^n+1)/(4^n+13^n)が整数となるような正の整数n

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$\frac{16^{n} + 1}{4^{n} + 13^{n}}$ が整数となるような正の整数 $n$ を全て求めよ。

偶数 $x$ において $x^{2^{a}} + 1$ の任意の素因数 $p$ において $p \equiv 1 (\mod 2^{a + 1})$ を満たす。

そのような $p$ をとると $x^{2^{a + 1}} \equiv 1 (\mod p)$ かつ $x^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$ であるから $x^{gcd (2^{a + 1}, p - 1)} \equiv 1 (\mod p)$ となる。 $gcd (2^{a + 1}, p - 1) = 2^{k}$ とし $k \leq a$ と仮定すると $x^{2^{k}} \equiv 1 (\mod p)$ となるが $0 \equiv x^{2^{a}} + 1 \equiv (x^{2^{k}})^{2^{a - k}} + 1 \equiv 2 (\mod p)$ より $p = 2$ を得るが $x$ は偶数であるから矛盾。よって $p \equiv 1 (\mod 2^{a + 1})$ が成り立つ。

奇数 $m$ と非負整数 $a$ を用いて $n = m ･ 2^{a}$ とすると与式は
$\frac{2^{m ･ 2^{a + 2}} + 1}{2^{m ･ 2^{a + 1}} + 13^{m ･ 2^{a}}}$ となる。補題より $2^{m ･ 2^{a + 2}} + 1$ は $p \equiv 1 (\mod 2^{a + 3})$ となる素因数しか持たないので $2^{m ･ 2^{a + 1}} + 13^{m ･ 2^{a}}$ は $p \equiv 1 (\mod 2^{a + 3})$ となる素因数しか持たない。特に、 $2^{m ･ 2^{a + 1}} + 13^{m ･ 2^{a}} \equiv 1 (\mod 2^{a + 3})$ が成り立つ。ここでLTEの補題より $υ_{2} (13^{m ･ 2^{a}} - 1) = υ_{2} (12) + υ_{2} (m ･ 2^{a}) = a + 2$ であるから
$2^{m ･ 2^{a + 1}} + 13^{m ･ 2^{a}} \equiv 1 (\mod 2^{a + 3})$ $⟹ 2^{m ･ 2^{a + 1}} \equiv 2^{a + 2} (\mod 2^{a + 3})$ $⟹ m ･ 2^{a + 1} = a + 2$
上が成り立つようなものは $a = 0, m = 1$ のみであるから $n = 1$ が必要。逆に $n = 1$ は満たすので $n = 1$ のみが解である。

投稿日：2024年10月27日

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