(16^n+1)/(4^n+13^n)が整数となるような正の整数n
$ \dfrac{16^n+1}{4^n+13^n} $が整数となるような正の整数$n$を全て求めよ。
偶数$x$において$x^{2^a}+1$の任意の素因数$p$において$p≡1 \pmod{2^{a+1}} $を満たす。
そのような$p$をとると$x^{2^{a+1}}≡1 \pmod{p} $かつ$x^{p-1}≡1 \pmod{p} $であるから$ x^{\gcd(2^{a+1},p-1)}≡1 \pmod{p} $となる。$\gcd(2^{a+1},p-1)=2^k$とし$k \leq a$と仮定すると$ x^{2^k}≡1 \pmod{p} $となるが$ 0≡x^{2^a}+1≡(x^{2^k})^{2^{a-k} } +1≡2 \pmod{p} $より$ p=2$を得るが$x$は偶数であるから矛盾。よって$p≡1 \pmod{2^{a+1}} $が成り立つ。
奇数$ m$と非負整数$a$を用いて$ n=m･2^a$とすると与式は
$\dfrac{2^{m･2^{a+2}}+1}{2^{m･2^{a+1}}+13^{m･2^a}}$となる。補題より$2^{m･2^{a+2}}+1$は$p≡1 \pmod{2^{a+3}} $となる素因数しか持たないので$2^{m･2^{a+1}}+13^{m･2^a}$は$p≡1 \pmod{2^{a+3}} $となる素因数しか持たない。特に、$2^{m･2^{a+1}}+13^{m･2^a}≡1 \pmod{2^{a+3}} $が成り立つ。ここでLTEの補題より$ \upsilon _2(13^{m･2^a}-1)=\upsilon_2(12)+ \upsilon _2(m･2^a)=a+2$であるから
$2^{m･2^{a+1}}+13^{m･2^a}≡1 \pmod{2^{a+3}} $ $ \Longrightarrow 2^{m･2^{a+1}}≡2^{a+2} \pmod{2^{a+3}} $$ \Longrightarrow m･2^{a+1}=a+2$
上が成り立つようなものは$ a=0,m=1$のみであるから$n=1$が必要。逆に$n=1$は満たすので$n=1$のみが解である。
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