C_n型Baileyの和公式から様々なMacdonald恒等式を導出する
今回は, GustafsonによるC_n型Baileyの和公式 から様々なMacdonald恒等式を導出したいと思う.
$C_n$型Macdonald恒等式
GustafsonによるC_n型Baileyの和公式 において, $a_1,\dots,a_{2n+2}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\prod_{1\leq j\leq k\leq n}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\\ &\qquad\cdot \prod_{k=1}^nz_k^{2(n+1)y_k}q^{(n+1)y_k(y_k-1)+y_k}\\ &=\prod_{1\leq j\leq k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty} \end{align}
$BC_n$型Macdonald恒等式
GustafsonによるC_n型Baileyの和公式 において, $a_{2n+2}=-1$としてから, $a_1,\dots,a_{2n+1}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\prod_{k=1}^n\frac{1-z_kq^{y_k}}{1-z_k}\\ &\qquad\cdot \prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{(2n+1)y_k}q^{(2n+1)\binom{y_k}2+y_k}\\ &=\frac{\prod_{1\leq j\leq k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}}{\prod_{k=1}^n(-z_kq,-q/z_k;q)_{\infty}} \end{align}
$B_n^{\vee}$型Macdonald恒等式
GustafsonによるC_n型Baileyの和公式
において, $a_{2n+1}=a_{2n+2}=q^{\frac 12}$としてから, $a_1,\dots,a_{2n}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\prod_{1\leq j\leq k\leq n}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\\
&\qquad\cdot \prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{2ny_k}q^{ny_k(y_k-1)}\\
&=0
\end{align}
また, $a_{2n+1}=-a_{2n+2}=q^{\frac 12}$としてから, $a_1,\dots,a_{2n}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\prod_{1\leq j\leq k\leq n}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\\
&\qquad\cdot (-1)^{y_1+\cdots+y_n}\prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{2ny_k}q^{ny_k(y_k-1)}\\
&=\frac{\prod_{1\leq j\leq k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}}{\prod_{k=1}^n(z_kq^{\frac 12},q^{\frac 12}/z_k,-z_kq^{\frac 12},-q^{\frac 12}/z_k;q)_{\infty}}(-1;q)_{\infty}\\
&=2\frac{(-q;q)_{\infty}\prod_{1\leq j\leq k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}}{\prod_{k=1}^n(z_k^2q,q/z_k^2;q^2)_{\infty}}\\
&=2(-q;q)_{\infty}\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}\prod_{k=1}^n(z_k^2q^2,q^2/z_k^2;q^2)_{\infty}
\end{align}
これらを足して$2$で割ると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{\substack{y_1,\dots,y_n\in\ZZ\\y_1+\cdots+y_n=0\pmod 2}}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\prod_{1\leq j\leq k\leq n}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\\ &\qquad\cdot \prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{2ny_k}q^{ny_k(y_k-1)}\\ &=(-q;q)_{\infty}\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}\prod_{k=1}^n(z_k^2q^2,q^2/z_k^2;q^2)_{\infty} \end{align}
$B_n$型Macdonald恒等式
GustafsonによるC_n型Baileyの和公式
において, $a_{2n}=a_{2n+1}=q^{\frac 12},a_{2n+2}=-1$としてから, $a_1,\dots,a_{2n-1}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\prod_{k=1}^n\frac{1-z_kq^{y_k}}{1-z_k}\\
&\qquad\cdot \prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{(2n-1)y_k}q^{(2n-1)\binom{y_k}2}\\
&=0
\end{align}
また, $a_{2n}=-a_{2n+1}=q^{\frac 12},a_{2n+2}=-1$としてから, $a_1,\dots,a_{2n-1}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\prod_{k=1}^n\frac{1-z_kq^{y_k}}{1-z_k}\\
&\qquad\cdot (-1)^{y_1+\cdots+y_n}\prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{(2n-1)y_k}q^{(2n-1)\binom{y_k}2}\\
&=\frac{\prod_{1\leq j\leq k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}}{\prod_{k=1}^n(z_kq^{\frac 12},q^{\frac 12}/z_k,-z_kq^{\frac 12},-q^{\frac 12}/z_k,-z_kq,-q/z_k;q)_{\infty}}(-1,q^{\frac 12},-q^{\frac 12};q)_{\infty}\\
&=2\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}\prod_{k=1}^n(z_kq,q/z_k;q)_{\infty}
\end{align}
これらを足して$2$で割ると以下を得る
\begin{align} &\sum_{\substack{y_1,\dots,y_n\in\ZZ\\y_1+\cdots+y_n=0\pmod 2}}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\prod_{k=1}^n\frac{1-z_kq^{y_k}}{1-z_k}\\ &\qquad\cdot \prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{(2n-1)y_k}q^{(2n-1)\binom{y_k}2}\\ &=\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}\prod_{k=1}^n(z_kq,q/z_k;q)_{\infty} \end{align}
$C_n^{\vee}$型Macdonald恒等式
GustafsonによるC_n型Baileyの和公式 において, $a_{2n+1}=-q^{\frac 12},a_{2n+2}=-1$としてから, $a_1,\dots,a_{2n}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{\substack{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\prod_{k=1}^n\frac{1-z_kq^{y_k}}{1-z_k}\\ &\qquad\cdot \prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{2ny_k}q^{ny_k(y_k-1)+\frac{y_k}2}\\ &=\frac{(q^{\frac 12};q)_{\infty}\prod_{1\leq j\leq k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}}{\prod_{k=1}^n(-z_kq,-q/z_k,-z_kq^{\frac 12},-q^{\frac 12}/z_k;q)_{\infty}} \end{align}
$D_n$型Macdonald恒等式
GustafsonによるC_n型Baileyの和公式
において, $a_{2n-1}=a_{2n}=q^{\frac 12},a_{2n+1}=1,a_{2n+2}=-1$としてから$a_1,\dots,a_{2n-2}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{\substack{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\\
&\qquad\cdot (-1)^{y_1+\cdots+y_n}\prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{2(n-1)y_k}q^{(n-1)y_k(y_k-1)}\\
&=0
\end{align}
また, $a_{2n-1}=-a_{2n}=q^{\frac 12},a_{2n+1}=1,a_{2n+2}=-1$としてから$a_1,\dots,a_{2n-2}\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{\substack{y_1,\dots,y_n\in\ZZ}}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\\
&\qquad\cdot \prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{2(n-1)y_k}q^{(n-1)y_k(y_k-1)}\\
&=\frac{\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}}{\prod_{k=1}^n(-z_kq,-q/z_k,z_kq,q/z_k,-z_kq^{\frac 12},-q^{\frac 12}/z_k,z_kq^{\frac 12},q^{\frac 12}/z_k;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot(-1,q^{\frac 12},q^{\frac 12},-q^{\frac 12},-q^{\frac 12},-q;q)_{\infty}\\
&=2\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty}
\end{align}
これらを足し合わせて$2$で割ると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{\substack{y_1,\dots,y_n\in\ZZ\\y_1+\cdots+y_n=0\pmod 2}}\prod_{1\leq j< k\leq n}\frac{z_jq^{y_j}-z_kq^{y_k}}{z_j-z_k}\frac{1-z_jz_kq^{y_j+y_k}}{1-z_jz_k}\\ &\qquad\cdot \prod_{\substack{1\leq k\leq n}}z_k^{2(n-1)y_k}q^{(n-1)y_k(y_k-1)}\\ &=\prod_{1\leq j< k\leq n}(z_jz_kq,q/z_jz_k;q)_{\infty}\prod_{1\leq j,k\leq n}(z_jq/z_k;q)_{\infty} \end{align}
