相加平均と相乗平均のとある図についての話

※本記事は， 既に別所で投稿した内容 をMathlogのために書き直したものです．

概要

たまたま見かけた以下の図が気に入ったので，黄緑色，水色の線の長さがそれぞれ$\frac{x+y}{2},\sqrt{xy}$であることの証明をメモとして残す．

【相加平均と相乗平均】 pic.twitter.com/fks6AgIQMV

— 数学を愛する会 (@mathlava) August 26, 2019

証明

黄緑色の線

図の半円の直径は$x+y$であるから，半径にあたる黄緑色の線の長さは$\frac{x+y}{2}$である．

水色の線

図において半円の直径を$\mathrm{AB}$とし，$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形のもう1つの頂点を$\mathrm{C}$とする．そして，頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．いま$\mathrm{AH}=x,\mathrm{BH}=y$である．
三角形$\mathrm{ACH}$において，三平方の定理より$x^2+{\mathrm{CH}}^2={\mathrm{AC}}^2$である．また，三角形$\mathrm{BCH}$において，三平方の定理より$y^2+{\mathrm{CH}}^2={\mathrm{BC}}^2$である．よって，三角形$\mathrm{ABC}$において，三平方の定理より
$$(x+y{)}^2={\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2=(x^2+{\mathrm{CH}}^2)+(y^2+{\mathrm{CH}}^2)=x^2+y^2+2{\mathrm{CH}}^2$$
となる．従って
$${\mathrm{CH}}^2=\frac{(x+y{)}^2-x^2-y^2}{2}=\frac{2xy}{2}=xy$$
であるから，$\mathrm{CH}>0$より$\mathrm{CH}=\sqrt{xy}$が得られる．