約数関数のディリクレ級数について

こんばんは〜。久しぶりの投稿です。

約数関数 についてのディリクレ級数
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_k(n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-k)$$
は有名ですが、数値計算をしていたら、次の等式が成り立ちそうなことを発見しました。
$$\frac{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_k(n)}{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^k}=\zeta (k+1)$$

上の式を証明できる人はいないでしょうか？