約数関数のディリクレ級数について

こんばんは〜。久しぶりの投稿です。

約数関数 についてのディリクレ級数
$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\sigma_k(n)}{n^s}=\zeta(s)\zeta(s-k) $$
は有名ですが、数値計算をしていたら、次の等式が成り立ちそうなことを発見しました。
$$ \frac{\sum_{n=1}^\infty\sigma_k(n)}{\sum_{n=1}^\infty n^k}=\zeta(k+1) $$

上の式を証明できる人はいないでしょうか？