クロネッカーのデルタの交代二項係数和による表示とその利用
クロネッカーのデルタを
$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}}}$$
とする。このとき、整数$n,k $に対して、次の表示が存在する。
$$\delta_{nk}=\sum_{j=0}^{n-k}{n\choose k+j}{k+j\choose j}(-1)^j $$
但し、$n-k<0$の場合は空和($=0$)とする。
また、簡単のため、$m\ge n+1,m\le -1$なる整数$m$について、
$\displaystyle{ n \choose m}=0$とする。
コメント欄の
TKSS
氏の証明が非常に簡潔ですので、そちらの方を参照してください。私のオリジナルの証明はたたんでおきます。
証明
$$I_{n,k}=\sum_{j=0}^{n-k}{n\choose k+j}{k+j\choose j}(-1)^j$$
とする。
$$I_{n,n}=\sum_{j=0}^{0}{n \choose n}{n\choose 0}=1$$
$$I_{n,0}=\sum_{j=0}^{n}{ n\choose j}{j\choose j}(-1)^j=\sum_{j=0}^{n}{n\choose j}(-1)^j=(1-1)^n=0$$
である。
ここで、
\begin{align} I_{n,k}-I_{n,k-1}&=\sum_{j=0}^{n-k}{ n \choose k+j}{k+j \choose j}(-1)^{j}-\sum_{j=0}^{n-k+1}{ n \choose k-1+j}{k-1+j \choose j}(-1)^{j} \newline &=\sum_{j=0}^{n-k}{ n \choose k+j}{k+j \choose j}(-1)^{j}+\sum_{i=-1}^{n-k}{ n \choose k+i}{k+i \choose i+1}(-1)^{j} \qquad (j-1\to i) \newline &=\sum_{j=0}^{n-k}{ n \choose k+j}{k+j \choose j}(-1)^{j}+\sum_{j=0}^{n-k}{ n \choose k+j}{k+j \choose j+1}(-1)^{j}-{ n \choose k-1}{k-1\choose 0} \newline&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose k+j}\left( {k+j \choose j}+{ k+j\choose j+1}\right)(-1)^{j}-{ n \choose k-1}{k-1\choose 0} \newline &=\sum_{j=0}^{n-k}{n \choose k+j}{k+j+1\choose j+1}(-1)^j-{ n \choose k-1}{k\choose 0} \newline &=\sum_{j=-1}^{n-k}{n \choose k+j}{k+j+1\choose j+1}(-1)^j \newline &=-\sum_{i=0}^{n-k+1}{n \choose k+i-1}{k+i\choose i}(-1)^i \qquad (j+1\to i) \end{align}
また、
\begin{align} \sum_{j=0}^{n-k+1}{n\choose k+j}{k+j \choose j}(-1)^j&=I_{n,k}+{n \choose n+1}{n+1\choose n-k+1}(-1)^{n-k+1} \newline &=I_{n,k} \end{align}
であるので、2式を引いて、
\begin{align} -(I_{n,k}-I_{n,k-1})+I_{n,k}&=\sum_{i=0}^{n-k+1}{n \choose k+i-1}{k+i\choose i}(-1)^i+\sum_{j=0}^{n-k+1}{n\choose k+j}{k+j \choose j}(-1)^j \newline &=\sum_{j=0}^{n-k+1}\left( {n\choose k+j-1}+{n \choose k+j}\right){k+j\choose j}(-1)^{j} \newline &=\sum_{j=0}^{n+1-k}{ n+1\choose k+j}{k+j\choose j}(-1)^j \newline &=I_{n+1,k} \end{align}
以上から、
$$I_{n+1,k}=I_{n,k-1}$$
これより、帰納的に
$$I_{n,k}=\delta_{nk}$$
であることが分かる。
利用
次の命題を示す。
数列$ \lbrace a_n \rbrace,\lbrace b_n\rbrace $、および$c$を定数、$n$を任意の非負整数とすると、
$$b_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^k a_{n-k}c^k \Longleftrightarrow a_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} b_{k}c^{n-k}$$
($\Longrightarrow$の証明)
与えられた式より、
\begin{align} \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} b_{k}c^{n-k}&=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}c^{n-k}\sum_{j=0}^{k}{k\choose j}(-1)^ja_{k-j}c^{j}
\newline &={n\choose0}c^n\left({0\choose0}a_0c^0\right)+{n\choose 1}c^{n-1}\left( {1\choose0}a_1c^0-{1\choose1}a_0c^1\right)+{n\choose 2}c^{n-2}\left({2\choose0}a_2c^0-{2\choose 1}a_1c^1+{2\choose2}a_0c^2\right)+\dots
\newline &=a_0c^n\left({n\choose 0}{0\choose0}-{n\choose1}{1\choose1}+{n\choose2}{2\choose2}-\dots+(-1)^n{n\choose n}{n \choose n}\right)
\newline &+a_1c^{n-1}\left( { n \choose 1}{1\choose 0}-{n\choose 2}{2\choose1}+\dots +(-1)^{n-1}{n\choose n}{n \choose n-1}\right)
\newline &+a_2c^{n-2}\left( { n \choose 2}{2\choose 0}-{n\choose 3}{3\choose1}+\dots +(-1)^{n-2}{n\choose n}{n \choose n-2}\right)
\newline &+\dots
\newline &=\sum_{k=0}^{n}a_kc^{n-k}\sum_{j=0}^{n-k}{n\choose k+j}{ k+j \choose j}(-1)^j
\newline &=\sum_{k=0}^{n}a_kc^{n-k}\delta_{nk}
\newline &=a_n\end{align}
($\Longleftarrow$の証明)
$-c=d$とする。このとき、
\begin{align}
a_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} b_{k}c^{n-k}&\Longleftrightarrow a_{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} b_{k}(-1)^{n-k}d^{n-k}
\newline &\Longleftrightarrow a_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose n-k}(-1)^kb_{n-k}d^k \qquad (k \to n-k)
\newline &\Longleftrightarrow a_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^kb_{n-k}d^k
\end{align}
また、
\begin{align}
b_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^k a_{n-k}c^k&\Longleftrightarrow b_{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a_{n-k}d^k
\newline &\Longleftrightarrow b_{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose n-k} a_{k}d^{n-k}\qquad (k\to n-k)
\newline &\Longleftrightarrow b_{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a_{k}d^{n-k}
\end{align}
であるから、
$$a_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} b_{k}c^{n-k}\Longrightarrow b_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^k a_{n-k}c^k$$
を示すには
$$ a_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^kb_{n-k}d^k\Longrightarrow b_{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a_{k}d^{n-k}$$
を示せばよい。これは($\Longrightarrow$の証明)の$ \lbrace a_n \rbrace,\lbrace b_n\rbrace$を入れ替え、$c\to d$としたものに等しいから、成立する。
以上より、
$$b_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^k a_{n-k}c^k \Longleftrightarrow a_n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} b_{k}c^{n-k}$$
である。$ \blacksquare $
次回の記事で使います。
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