クロネッカーのデルタの交代二項係数和による表示とその利用

169

クロネッカーのデルタを
$δ_{i j} = {\begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases}$
とする。このとき、整数 $n, k$ に対して、次の表示が存在する。

クロネッカーのデルタの交代二項係数による表示

$δ_{n k} = \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j}$

但し、 $n - k < 0$ の場合は空和( $= 0$ )とする。
また、簡単のため、 $m \geq n + 1, m \leq - 1$ なる整数 $m$ について、
$(\binom{n}{m}) = 0$ とする。
コメント欄の TKSS 氏の証明が非常に簡潔ですので、そちらの方を参照してください。私のオリジナルの証明はたたんでおきます。

証明

I_{n, k} = \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j}

とする。

I_{n, n} = \sum_{j = 0}^{0} (\binom{n}{n}) (\binom{n}{0}) = 1

I_{n, 0} = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) (\binom{j}{j}) (- 1)^{j} = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) (- 1)^{j} = (1 - 1)^{n} = 0

である。
ここで、

\begin{aligned} I_{n, k} - I_{n, k - 1} & = \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j} - \sum_{j = 0}^{n - k + 1} (\binom{n}{k - 1 + j}) (\binom{k - 1 + j}{j}) (- 1)^{j} \\ = \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j} + \sum_{i = - 1}^{n - k} (\binom{n}{k + i}) (\binom{k + i}{i + 1}) (- 1)^{j} (j - 1 \to i) \\ = \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j} + \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j + 1}) (- 1)^{j} - (\binom{n}{k - 1}) (\binom{k - 1}{0}) \\ = \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) ((\binom{k + j}{j}) + (\binom{k + j}{j + 1})) (- 1)^{j} - (\binom{n}{k - 1}) (\binom{k - 1}{0}) \\ = \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j + 1}{j + 1}) (- 1)^{j} - (\binom{n}{k - 1}) (\binom{k}{0}) \\ = \sum_{j = - 1}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j + 1}{j + 1}) (- 1)^{j} \\ = - \sum_{i = 0}^{n - k + 1} (\binom{n}{k + i - 1}) (\binom{k + i}{i}) (- 1)^{i} (j + 1 \to i) \end{aligned}

また、

\begin{aligned} \sum_{j = 0}^{n - k + 1} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j} & = I_{n, k} + (\binom{n}{n + 1}) (\binom{n + 1}{n - k + 1}) (- 1)^{n - k + 1} \\ = I_{n, k} \end{aligned}

であるので、2式を引いて、

\begin{aligned} - (I_{n, k} - I_{n, k - 1}) + I_{n, k} & = \sum_{i = 0}^{n - k + 1} (\binom{n}{k + i - 1}) (\binom{k + i}{i}) (- 1)^{i} + \sum_{j = 0}^{n - k + 1} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j} \\ = \sum_{j = 0}^{n - k + 1} ((\binom{n}{k + j - 1}) + (\binom{n}{k + j})) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j} \\ = \sum_{j = 0}^{n + 1 - k} (\binom{n + 1}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j} \\ = I_{n + 1, k} \end{aligned}

以上から、

I_{n + 1, k} = I_{n, k - 1}

これより、帰納的に

I_{n, k} = δ_{n k}

であることが分かる。

利用

次の命題を示す。

数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 、および $c$ を定数、 $n$ を任意の非負整数とすると、
$b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{k} a_{n - k} c^{k} ⟺ a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{k} c^{n - k}$

( $⟹$ の証明)
与えられた式より、
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{k} c^{n - k} & = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) c^{n - k} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) (- 1)^{j} a_{k - j} c^{j} \\ = (\binom{n}{0}) c^{n} ((\binom{0}{0}) a_{0} c^{0}) + (\binom{n}{1}) c^{n - 1} ((\binom{1}{0}) a_{1} c^{0} - (\binom{1}{1}) a_{0} c^{1}) + (\binom{n}{2}) c^{n - 2} ((\binom{2}{0}) a_{2} c^{0} - (\binom{2}{1}) a_{1} c^{1} + (\binom{2}{2}) a_{0} c^{2}) + \dots \\ = a_{0} c^{n} ((\binom{n}{0}) (\binom{0}{0}) - (\binom{n}{1}) (\binom{1}{1}) + (\binom{n}{2}) (\binom{2}{2}) - \dots + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) (\binom{n}{n})) \\ + a_{1} c^{n - 1} ((\binom{n}{1}) (\binom{1}{0}) - (\binom{n}{2}) (\binom{2}{1}) + \dots + (- 1)^{n - 1} (\binom{n}{n}) (\binom{n}{n - 1})) \\ + a_{2} c^{n - 2} ((\binom{n}{2}) (\binom{2}{0}) - (\binom{n}{3}) (\binom{3}{1}) + \dots + (- 1)^{n - 2} (\binom{n}{n}) (\binom{n}{n - 2})) \\ + \dots \\ = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} c^{n - k} \sum_{j = 0}^{n - k} (\binom{n}{k + j}) (\binom{k + j}{j}) (- 1)^{j} \\ = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} c^{n - k} δ_{n k} \\ = a_{n} \end{aligned}$
( $⟸$ の証明)
$- c = d$ とする。このとき、
$\begin{aligned} a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{k} c^{n - k} & ⟺ a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{k} (- 1)^{n - k} d^{n - k} \\ ⟺ a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{n - k}) (- 1)^{k} b_{n - k} d^{k} (k \to n - k) \\ ⟺ a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{k} b_{n - k} d^{k} \end{aligned}$
また、
$\begin{aligned} b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{k} a_{n - k} c^{k} & ⟺ b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a_{n - k} d^{k} \\ ⟺ b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{n - k}) a_{k} d^{n - k} (k \to n - k) \\ ⟺ b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a_{k} d^{n - k} \end{aligned}$
であるから、
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{k} c^{n - k} ⟹ b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{k} a_{n - k} c^{k}$
を示すには
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{k} b_{n - k} d^{k} ⟹ b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a_{k} d^{n - k}$
を示せばよい。これは( $⟹$ の証明)の ${a_{n}}, {b_{n}}$ を入れ替え、 $c \to d$ としたものに等しいから、成立する。
以上より、
$b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (- 1)^{k} a_{n - k} c^{k} ⟺ a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{k} c^{n - k}$
である。 $◼$