算術三角形の基本

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算術三角形のつくり方

算術三角形とは、下図のような三角形のことである。以下、一番上の段を0段目、その下の段を1段目、さらにその下の段を2段目、と呼ぶことにする。

この三角形は、隣り合う数字を足した数が、真下に来るように作られている。ただし、端の数はすべて1である。例えば、5段目は左から端を除いて $1 + 4 = 5$ , $4 + 6 = 10$ , $6 + 4 = 10$ , $4 + 1 = 5$ となっている。
算術三角形

この三角形は普通パスカルの三角形と呼ばれるが、僕はカタカナより漢字が好きなので、算術三角形と呼んでいる。算術とは足し算のことで算術平均や算術級数といった言葉がある。この三角形は足し算によって作られるから、算術三角形と呼ぶ。

算術三角形には面白い性質がたくさんある。

一番端の列はすべて1である。1つ内側を見れば、自然数が小さい順に並んでいる。その内側は三角数と呼ばれるもので、正三角形の形に点を並べた時の点の総数である。また、1からある数までの和でもなる。その内側は四面体数と呼ばれる数が並ぶ。これもやはり四面体の形に端を並べた時の点の総数である。次の列は五胞体数が並ぶ。五胞体とは四次元図形の一種で、いうなれば四次元版三角形(四次元版四面体でもいい)である。

斜めに並んでいる数をたしてゆけば、その答えは最後の数の斜め下に現れることがわかる。例えば、下に太字で表した部分は $1 + 3 + 6 + 10 = 20$ となっている。そのすぐ右下を見れば $1 + 4 + 10 + 20 = 35$ である。確かめてみれば、ほかの部分でもそのようになることがわかる。
斜めの和

組み合わせ

異なる $n$ 個のものから $r$ 個のものを選ぶときの場合の数は $_{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}$ である。

例えば、青、赤、黄、白、黒の5色から2色選ぶ方法は

青赤
青黄
青白
青黒
赤黄
赤白
赤黒
黄白
黄黒
白黒

の10通りで、 $_{5} C_{2} = \frac{5!}{2! 3!} = 10$ である。

実は、算術三角形の各項はこの組み合わせの数に等しい。例えば、6段目は1, 6, 15, 20, 15, 6, 1となっていて、 $_{6} C_{0} = 1$ , $_{6} C_{1} = 6$ , $_{6} C_{2} = 15$ , $_{6} C_{3} = 20$ , $_{6} C_{4} = 15$ , $_{6} C_{5} = 6$ , $_{6} C_{6} = 1$ である。

$_{n} C_{r}$ について以下の式が成り立つ。
$_{n + 1} C_{r + 1} =_{n} C_{r + 1} +_{n} C_{r}$

$\begin{aligned} _{n} C_{r + 1} +_{n} C_{r} & = \frac{n!}{(r + 1)! (n - r - 1)!} + \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{n! (n - r)}{(r + 1)! (n - r)!} + \frac{n! (r + 1)}{(r + 1)! (n - r)!} \\ = \frac{(n + 1)!}{(r + 1)! (n - r)!} =_{n + 1} C_{r + 1} \end{aligned}$