「実数全体の集合がコンパクト」から「0=1」を証明する

$\mathbb{R}$がコンパクトだと仮定する。また複素数全体のなす集合$\mathbb{C}$を考え、通常の位相を入れる。すると$\mathbb{C}$は$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$と同相なので、チコノフの定理より$\mathbb{C}$もコンパクトである。

ここで、写像$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$を$f(z)=z^2$で定めると、明らかにこれは$\mathbb{C}$上の正則関数である。このとき、写像$\mathbb{C}\to \mathbb{R}$を$z\mapsto |f(z)|$で定めると、これは連続関数の合成なので連続関数である。一方$\mathbb{C}$はコンパクトであったので、位相空間の基本的命題である「コンパクトな位相空間上の実数値連続関数は必ず最大値と最小値を持つ」ことから、$f$は有界関数であることが分かる。

最後に、リウヴィルの定理（$\mathbb{C}$上の正則関数が有界ならばそれは定数関数である）ことから、$f$は定数関数であることが分かる。つまりある複素数$a$を用いて$f(z)=a$が任意の$z\in \mathbb{C}$で成り立つ。ゆえに、
$$0=f(0)=a=f(1)=1$$
が成り立つ、すなわち$0=1$である。