同値性を重視した「極方程式→xy方程式」問題の答案作成

(1) $ r=4\sin\theta $

(2) $ r=\frac{1}{\sqrt{2}+\cos\theta} $

(3) $ r=\frac{3}{1+2\cos\theta} $

点$ [r,\theta] $と点 $ (x,y) $が一致するとき、
$x,y$は$r,\theta$を用いて次のように表される。
\begin{cases} \boldsymbol{x=r\cos\theta} \\ \boldsymbol{y=r\sin\theta} \end{cases}
$($ ここから $x^2+y^2=r^2$ を導ける $)$

1. 点$\boldsymbol{[r,\theta]}$と点$\boldsymbol{(r\cos\theta,r\sin\theta)}$は一致する。
2. 点$\boldsymbol{[r,\theta]}$と点$\boldsymbol{[-r,\theta+\pi]}$は一致する。

点$ [r,\theta] $と点 $ (x,y) $が一致するとする。
また、$F,G$はともに$2$変数関数とする。
[1] 方程式$\boldsymbol{F(x,y)=0}$ と方程式$\boldsymbol{F(r\cos\theta,r\sin\theta)=0}$は同じ図形を表す。
[2] 方程式$\boldsymbol{G(r,\theta)=0}$ と方程式$\boldsymbol{G(-r,\theta+\pi)=0}$は同じ図形を表す。

1. 同値な式変形
2. [図形の一致]
3. (点の)集合$P,Q$について
   1. 「$Q \subset P$ ならば $P \lor Q = P $」
   2. 「$P=Q$ ならば $P \lor Q = P $」
      $\quad$ – ともにグラフの合成に用いる

・極方程式においては$\boldsymbol{r<0}$となることもありうるため、
$\boldsymbol{r=\sqrt{x^2+y^2}}$とすることは禁物です。

・$r$,$\theta$と$x$,$y$は、基本は同時に変換することをお勧めします。

$\text{(1)}$ $ \boldsymbol{r=4\sin\theta} $

両辺に$r$をかけて$ r^2=4r\sin\theta $
整理して
$ x^2+y^2=4y $
$ x^2 +(y-2)^2=4 $
従って、求める方程式は $ \boldsymbol{x^2 +(y-2)^2=4} $

(なお補足で「$r=0$である$\theta$が存在するから両辺$r$倍できる」と記述のあるものもある)

・具体的な$ \theta $の値を提示
　　※できない場合は両辺$r$倍しない

・$r=0$である場合と$r \neq 0$である場合で場合分け

のいずれかをすればよい。

$\text{(1)}$ $ \boldsymbol{r=4\sin\theta} $

$r=0$とすると$\theta=n\pi$ $(n \in \mathbb{Z})$
従って、$r=0$となる実数$\theta$は存在するから、
\begin{aligned} r=4\sin\theta &\Leftrightarrow r=4\sin\theta \lor r=0 \\ &\Leftrightarrow r^2=4r\sin\theta \end{aligned}
したがって、$\boldsymbol{r=4\sin\theta -①}$と、$①$の両辺を$\boldsymbol{r}$倍した $\boldsymbol{r^2=4r\sin\theta -②}$ が表すグラフは同じである。

$②$のグラフについて整理すると
\begin{aligned} r^2=4r\sin\theta \\ x^2+y^2=4y \\ x^2+(y-2)^2=4 \end{aligned}
よって、$②$が表すグラフは円$ x^2+(y-2)^2=4 $
また、$①$と$②$は同じグラフを表すから、
$①$が表すグラフは円$ \boldsymbol{x^2+(y-2)^2=4 }$

\begin{aligned} r=4\sin\theta &\Leftrightarrow r=4\sin\theta \lor r=0 \\ &\Leftrightarrow r^2=4r\sin\theta \end{aligned}

$r=4\sin\theta$ のグラフは $r=0$ と $r-4\sin\theta=0$ を合成したグラフより
\begin{aligned} r(r-4\sin\theta)&=0 \\ r^2&=4r\sin\theta \end{aligned}

$\text{(1)}$ $ \boldsymbol{r=4\sin\theta} \quad -①$

$\text{(i)}$ $r=0\quad \Rightarrow \quad \theta=n\pi$ $(n \in \mathbb{Z})$
$\quad$$r=0$となる実数$\theta$は存在するため、$①$のグラフは原点を含む。

$\text{(ii)}$ $r\neq 0$ のとき、$ ① $の両辺$r$倍して
\begin{aligned} \qquad r&=4\sin\theta \\ r^2&=4r\sin\theta \\ x^2+y^2&=4y \\ \qquad x^2+(y-2)^2&=4 \end{aligned}
$\quad$ よって、$\text{(ii)}$で表される部分は、原点を除く円$ x^2+(y-2)^2=4 $

$\text{(i)(ii)}$より、$①$が表すグラフは円$ \boldsymbol{x^2+(y-2)^2=4 }$

$\text{(2)}$ $ \boldsymbol{r=\frac{1}{\sqrt{2}+\cos\theta} }$
分母を払って整理して $\sqrt{2}\,r=1-r\cos\theta$
$ x=r\cos\theta $ であるから、　$ \sqrt{2}\,r=1-x $
両辺を2乗して $ 2r^2=(1-x)^2 $
$ 2(x^2+y^2)=(1-x)^2 $
$ (x+1)^2+2y^2=2 $
$ \frac{(x+1)^2}{2}+y^2=1 $
従って、求める方程式は $ \boldsymbol{\frac{(x+1)^2}{2}+y^2=1} $

$ \sqrt{2}r=1-x $
両辺を2乗して $ 2r^2=(1-x)^2 $

\begin{aligned} \sqrt{2}r=1-r\cos\theta &\Rightarrow 2r^2=(1-r\cos\theta)^2 \\ 2r^2=(1-r\cos\theta)^2 &\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{2}\,r=1-r\cos\theta \\ -\sqrt{2}\,r=1-r\cos\theta \end{cases} \\ -\sqrt{2}\,r=1-r\cos\theta &\Leftrightarrow \sqrt{2}\,(-r)=1-(-r)cos(\theta+\pi) \end{aligned}

$\text{(2)}$ $ \boldsymbol{r=\frac{1}{\sqrt{2}+\cos\theta} }$
与えられた方程式を整理して
$1-r\cos\theta-\sqrt{2}\,r=0 -①$

ここで、$①$で$\boldsymbol{r}$を$\boldsymbol{-r}$,$\boldsymbol{\theta}$を$\boldsymbol{\theta+\pi}$として整理した
$1-r\cos\theta+\sqrt{2}\,r=0 -②$
は$①$と同じグラフである。

また、$\boldsymbol{2}$つのグラフ$①$,$②$をあわせた
$ \boldsymbol{(1-r\cos\theta-\sqrt{2}\,r)(1-r\cos\theta+\sqrt{2}\,r)=0} -③ $
のグラフは$①$と同じである。

ここで、$③$を整理して
\begin{aligned} (1-r\cos\theta)^2-(\sqrt{2}\,r)^2&=0 \\ 2r^2&=(1-r\cos\theta)^2 \\ 2(x^2+y^2)&=(1-x)^2 \\ (x+1)^2+2y^2&=2 \\ \frac{(x+1)^2}{2}+y^2&=1 \end{aligned}
したがって、$③$が表すグラフは楕円 $ \frac{(x+1)^2}{2}+y^2=1 $

$①$と$③$は同じグラフであるから、
$①$,$\:$すなわち $r=\frac{1}{\sqrt{2}+\cos\theta}$が表すグラフは楕円$ \boldsymbol{\frac{(x+1)^2}{2}+y^2=1} $

$\text{(3)}$ $ \boldsymbol{ r=\frac{3}{1+2\cos\theta} } $
分母を払って整理して
$ r=3-2r\cos\theta $
$ x=r\cos\theta $ であるから $ r=3-2x $
両辺を2乗して $ r^2=(3-2x)^2 $
$ x^2+y^2=(3-2x)^2 $
$ 3(x-2)^2-y^2=3 $
$ (x-2)^2-\frac{y^2}{3}=1 $
従って、求める方程式は $ \boldsymbol{ (x-2)^2-\frac{y^2}{3}=1 } $

$\text{(2)}$ $r=\frac{1}{\sqrt{2}+\cos\theta}$
$\quad$ すべての$ \theta $について $0 < \sqrt{2}+\cos\theta$であるから、
$\qquad r=\frac{1}{\sqrt{2}+\cos\theta}>0$

$\text{(3)}$ $r=\frac{3}{1+2\cos\theta}$
$\quad$ $1+2\cos\theta>0 \,$すなわち $\cos\theta>-\frac{1}{2}$ のとき $r>0$
$\quad$ $\boldsymbol{1+2\cos\theta<0} \,$すなわち $\boldsymbol{\cos\theta<-\frac{1}{2}}$ のとき $\boldsymbol{r<0}$

$(3)$ $ \boldsymbol{r=\frac{3}{1+2\cos\theta} }$
与えられた方程式を整理して
$3-2r\cos\theta-r=0 -①$

ここで、$①$で$\boldsymbol{r}$を$\boldsymbol{-r}$,$\boldsymbol{\theta}$を$\boldsymbol{\theta+\pi}$として整理した
$3-2r\cos\theta+r=0 -②$
は$①$と同じグラフである。

また、$\boldsymbol{2}$つのグラフ$①$,$②$をあわせた
$ \boldsymbol{(3-2r\cos\theta-r)(3-2r\cos\theta+r)=0} -③ $
のグラフは$①$と同じである。

ここで、$③$を整理して
\begin{aligned} (3-2\cos\theta)^2-r^2&=0 \\ r^2&=(3-2r\cos\theta)^2 \\ x^2+y^2&=(3-2x)^2 \\ 3(x-2)^2-y^2&=3 \\ (x-2)^2-\frac{y^2}{3}&=1 \end{aligned}
したがって、$③$が表すグラフは双曲線 $ (x-2)^2-\frac{y^2}{3}=1 $

$①$と$③$は同じグラフであるから、
$①$,$\:$すなわち $r=\frac{3}{1+2\cos\theta}$が表すグラフは双曲線$ \boldsymbol{(x-2)^2-\frac{y^2}{3}=1} $