短完全列と加群の平坦性
はじめに
$A$を可換環とします. 今回は, 短完全列
\begin{align}
0\longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow M'' \longrightarrow 0
\end{align}
が成り立つときに加群の平坦性がどのように遺伝するかを考察します.
平坦加群であることは$\Tor$を見ることで判定できるのでした.
$M$が$A$上平坦であることは, 任意の$A$加群$N$に対して$\Tor_1^A(M,N)=0$であることと同値である.
特に$M$が平坦なら任意の$i\geq 1$で$\Tor_i^A(M,N)=0$です.
平坦性が遺伝する場合
まず次のことが成り立ちます.
$A$加群の短完全列
\begin{align}
0\longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow M'' \longrightarrow 0
\end{align}
において
(1) $M'$と$M''$が平坦ならば$M$は平坦.
(2) $M$と$M''$が平坦ならば$M'$は平坦.
任意の$A$加群$N$に対して$\Tor$の完全列
\begin{align}
\Tor_2^A(M'',N)\longrightarrow \Tor_1^A(M',N) \longrightarrow \Tor_1^A(M,N) \longrightarrow \Tor_1^A(M'',N)
\end{align}
を考える.
(1) $\Tor_1^A(M',N)=0$, $\Tor_1^A(M'',N)=0$であるから, 完全列$0\longrightarrow \Tor_1^A(M,N) \longrightarrow 0$を得るので$\Tor_1^A(M,N)=0$. すなわち$M$は平坦.
(2) $\Tor_1^A(M,N)=0$, $\Tor_2^A(M'',N)=0$であるから, 完全列$0\longrightarrow \Tor_1^A(M',N) \longrightarrow 0$を得るので$\Tor_1^A(M',N)=0$. すなわち$M'$は平坦.
成り立たない場合
残りの1パターン: $M'$と$M$が平坦ならば$M''$は平坦. についてはどうでしょうか? これは次の例から成り立たないことが分かります.
$\mathbb{Z}$加群の短完全列
\begin{align}
0\longrightarrow 2\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 0
\end{align}
を考える. $\mathbb{Z}$および$2\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$上平坦である. 一方, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$上平坦ではない. 実際, 包含写像$\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$に対して
\begin{align}
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}\longrightarrow (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}=0
\end{align}
は単射ではない.
簡単な内容でしたが, 最後まで読んでいただきありがとうございます.
