数学C：複素数平面の総まとめと解法体系

模範解答・解説・別解は、それぞれ独立した折りたたみ欄です。
見出しを押すと、その欄だけを開閉できます。
複素数には、二つの実成分をまとめる面と、回転・拡大を掛け算で表す面があります。
そのため、一つの式を成分として読むか、長さと角として読むか、点の配置として読むかによって、計算の見通しが大きく変わります。
本稿の中心は、求める情報に合わせて表示を選び、得られた条件をその意味に従って処理することです。
例えば、累乗の等式から絶対値を取って二点への等距離が得られれば、残った問題は垂直二等分線の条件です。
逆に図形の条件から実数の二次方程式が得られれば、根の範囲を調べます。
出発時の単元名に処理を固定せず、途中で得た式にも同じ判断基準を適用します。
ただし、絶対値だけを取る操作では角の条件が残るなど、失った情報も必ず追います。
基礎知識、性質の導出、実戦の手順は役割を分けて配置しました。
各章の冒頭に前提と習得目標を示し、各節では必要な数学を説明してから、適用条件と分岐をまとめ、例題で実行を確かめます。
手順欄だけで証明を済ませず、本文の導出と一緒に読んでください。

基礎 公式 判断 手順 注意 問題 発展
色は情報の役割を表します。色だけに依存せず、欄の名前も併記します。C01〜C47は対応表で使う整理番号であり、問題を解くときに番号を暗記する必要はありません。

全体の構成と章へのリンク

Ⅰ　表示と代数的な処理

第1章　複素数の表示と演算の意味

第2章　実数条件・共役・絶対値を処理する

第3章　累乗の角と、逆数対の次数を管理する

第4章　根を個別に解かず、多項式として利用する

Ⅱ　点・図形・写像を扱う

第5章　差・比・共役積で点の配置を調べる

第6章　直線と円を方程式にする

第7章　距離・角の条件から領域を確定する

第8章　写像を逆算して、像の全体を求める

Ⅲ　値域・存在・反復・発展

第9章　評価の式と、達成する点をそろえる

第10章　複数の変数を、実現できる条件へまとめる

第11章　反復と有限集合に、保存される式を探す

第12章　三角関数の和・積を、根と係数へつなぐ

第13章　高校数学の道具を、配置の証明へ広げる

Ⅳ　実践と振り返り

第14章　総合問題：得られた条件に同じ解法を適用する

第15章　習得の確認と、本稿の範囲

最初は第1〜8章で表示と図形の処理を固め、第9〜11章で値域・存在・反復へ広げます。第12・13章の発展は、既習の道具から高度な性質を導く部分です。第14章では解答を閉じて問題文を読み、最初に使う条件とその理由を一文で説明してから計算してください。

第1章　複素数の表示と演算の意味

1.1　成分・共役・絶対値を定義する

基礎知識

虚数単位$i$は$i^2=-1$を満たします。複素数$z=x+iy$を座標平面の点$(x,y)$に対応させたものが複素数平面です。実軸は横軸、虚軸は縦軸で、点とその座標を表す複素数には同じ小文字を使います。
$z=x+iy$と書くとき、共役は$\overline z=x-iy$、絶対値は$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$です。$x,y$は実数です。実部は$x$、虚部は$y$であり、$iy$ではありません。複素数の相等は
$$x+iy=u+iv\iff x=u,\quad y=v$$
です。ただし四つの文字が実数であることが前提です。未知の実数係数を求める問題や、小さな具体数の四則演算では、まずこの形へそろえるのが軽い操作です。
和$z+w$は二成分をそれぞれ加える操作です。差$b-a$は点$a$から点$b$への変位を表し、その長さは$|b-a|$です。積では$i^2=-1$を用いて実部・虚部をまとめます。例えば$(1+2i)(3-i)=5+5i$です。

共役と絶対値の基本公式

$$ \begin{aligned} \overline{z+w}&=\overline z+\overline w,& \overline{zw}&=\overline z\,\overline w,\\ |z|^2&=z\overline z,& \frac1z&=\frac{\overline z}{|z|^2}\quad(z\ne0),\\ \operatorname{Re}z&=\frac{z+\overline z}{2},& \operatorname{Im}z&=\frac{z-\overline z}{2i}. \end{aligned} $$
商の共役は$\overline{z/w}=\overline z/\overline w$です。商では常に分母の非零を確認します。例えば
$$\frac{1+3i}{2-i}=\frac{(1+3i)(2+i)}5=-\frac15+\frac75i.$$
この程度の商を無理に極形式へ変える必要はありません。一方、指数が大きいなら、累乗を扱う章の周期や極形式を使う方が軽くなります。

1.2　極形式が掛け算を回転へ変える

基礎から乗除公式へ

$z\ne0$に対し、
$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad r=|z|>0$$
と表します。$\theta$は$2\pi$の整数倍だけ異なり、問題で代表値の区間を指定されたときは、その区間に戻します。零には偏角を定義しません。
成分から角を定めるときは、$\cos\theta=x/r,\ \sin\theta=y/r$と象限を合わせます。$\tan\theta=y/x$だけでは象限を区別できず、$x=0$も扱えません。例えば$-1+i$は、半径$\sqrt2$、代表偏角$3\pi/4$です。
二数を$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$、$z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$と表します。非零の数では半径を正とし、零を含む積は直接計算します。積と商は加法定理から
$$ \begin{gathered} z_1z_2=r_1r_2\\[3pt] \quad\times\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\},\\[3pt] \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\\[3pt] \quad\times\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}\\[3pt] (z_2\ne0). \end{gathered} $$
共役と逆数は角の符号が逆になり、
$$ \begin{gathered} \overline z=r\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\},\\[3pt] \frac1z=\frac1r\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}. \end{gathered} $$
です。「積商を展開する代わりに、長さを掛け割りし、角を足し引きする」ことが極形式を選ぶ理由です。半径だけが必要なら、簡単でない偏角まで求める必要はありません。

1.3　表示を選ぶ基準を、求める情報と結び付ける

解法の選択

同じ$|z|=1$という条件からでも、最適な表示は目的によって変わります。共役を含む有理式なら$\overline z=1/z$、累乗や角なら$z=\cos\theta+i\sin\theta$、定点への距離なら中心$0$・半径$1$の円として扱います。「単位円だから極形式」と一律には決めません。

どの方法でも同じ情報へ戻るだけなら、式をさらに展開する前に未使用の条件を探します。例えば$z+\overline z=2$なら、$z=1+iy$で未知実数を一つ減らせます。$|z|=1$なら$\overline z=1/z$により共役を消せます。操作の良し悪しは、見慣れた式かどうかより、未知量・次数・条件のどれが簡単になったかで比べます。
複素数一つは実成分二つですが、複素式一本が常に独立な実条件二本とは限りません。$z+\overline z=2$は実部だけを決めます。式の本数から解の個数を決めず、実部・虚部と退化を調べます。

第2章　実数条件・共役・絶対値を処理する

2.1　実数性・純虚数性と、大小条件の前処理

性質と導出

「$F$が実数」は$F=\overline F$、または$\operatorname{Im}F=0$です。「$F$が純虚数」は$\operatorname{Re}F=0$に加えて$F\ne0$を要求します。零は実数であり、本稿では純虚数に含めません。
共役対が見える式なら、全体の共役を取ると短くなります。低次の式なら$z=x+iy$の方が短い場合があります。例えば$z^2+z$が実数となる条件は
$$\operatorname{Im}(z^2+z)=y(2x+1)=0$$
なので、実軸$y=0$または直線$x=-1/2$です。$y$で割って実軸を落としてはいけません。
分数では、分母の共役を掛けます。$V\ne0$なら
$$ \begin{aligned} \frac UV\in\mathbb R\\ &\iff U\overline V=\overline U V\\ &\iff\operatorname{Im}(U\overline V)=0,\\ \frac UV\text{が純虚数}\\ &\iff\operatorname{Re}(U\overline V)=0,\ U\ne0. \end{aligned} $$
分母の絶対値二乗は正の実数なので、実数性・純虚数性は分子だけで判定できるのです。この操作は、後で共線・垂直の条件にもそのまま使います。

模範解答

$z=x+iy$と置くと、
$$\operatorname{Im}\left(z+\frac4z\right)=y\left(1-\frac4{x^2+y^2}\right).$$
したがって、まず$y=0$または$|z|=2$に分ける。

解説

普通の実数の大小として書かれた条件は、式が実数であることを含みます。二枝を得た後、実数枝では実数の不等式、円の枝では円上の実部の範囲を調べます。全てを複素数のまま二乗することはできません。最後まで処理する実演は総合問題1に置きます。
共役を取っても条件が整理できなければ、成分化へ戻してください。処理の終了は、実数性の必要十分条件が得られたところです。その先に大小や図形の指定が残っていれば、得た各枝でその条件を調べます。

模範解答

三数は非零で、
$$\overline{\alpha+\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$$
だから、三つの因子と分母の共役を順に取れば$\overline S=S$となります。例えば三つの因子の分母の積は$(\alpha\beta\gamma)^2$で、元の分母の共役は$1/(\alpha\beta\gamma)$なので、全体として元の分母一つが残ります。

解説

成分を六つ導入する前に、「共役を逆数へ変えたとき、式全体が元に戻るか」を調べました。

別解　共役な対の和として読む

展開して
$$S=2+\frac\alpha\beta+\frac\beta\alpha +\frac\beta\gamma+\frac\gamma\beta +\frac\gamma\alpha+\frac\alpha\gamma$$
とし、逆比どうしが共役で和は実数、と見ても構いません。積の構造が単純なら全体の共役、展開して共役対が少数なら対の和を選びます。

長さが一定なら共役を消す

絶対値が一定なら、共役を消す
$$|z|=r>0\quad\Longrightarrow\quad \overline z=\frac{r^2}{z}$$
も重要です。ただし、$z+1/z$と$z+1/\overline z$は違う形です。後者は
$$ \begin{gathered} z+\frac1{\overline z}=\left(1+\frac1{|z|^2}\right)z,\\[3pt] \left|z+\frac1{\overline z}\right|=|z|+\frac1{|z|} \end{gathered} $$
となり、二項は同じ方向を向きます。例えば$|z|=2$なら絶対値は$5/2$で、偏角を計算する必要もありません。共役の位置を読むだけで、選ぶ操作が変わります。

2.2　長さの条件から交差項を確定する

性質と導出

絶対値は非負なので、絶対値どうしの等式・大小は二乗してよいことが多くあります。展開の基本は
$$|u\pm v|^2=|u|^2+|v|^2\pm2\operatorname{Re}(u\overline v).$$
また$|uv|^2=uv\overline u\,\overline v=|u|^2|v|^2$で両辺は非負なので、
$$|uv|=|u||v|,\qquad \left|\frac uv\right|=\frac{|u|}{|v|}\quad(v\ne0)$$
です。積・商を長さだけで扱える理由になります。$u,v\ne0$のなす向き付き角を$\theta$とすれば、
$$|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2|u||v|\cos\theta$$
で、上の展開は余弦定理と同じ情報を持ちます。二つの長さを固定して相対角を自由に動かせるなら、$\cos\theta$は$[-1,1]$全体を取ります。角の区間が制限される場合は、その区間での余弦の値域へ戻し、増減の変わる角をまたぐか確認します。
ここから平行四辺形の等式
$$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2)$$
も得られます。また、実数$s,t$なら
$$|su+tv|^2=s^2|u|^2+t^2|v|^2+2st\operatorname{Re}(u\overline v).$$
二つの長さと和の長さが分かっていれば、必要な交差項は一つだけです。$u,v$を個別に決める必要はありません。

模範解答

$$3=|\alpha+\beta|^2=2+2\operatorname{Re}(\alpha\overline\beta)$$
より$\operatorname{Re}(\alpha\overline\beta)=1/2$。したがって
$$|2\alpha-\beta|^2=4+1-4\operatorname{Re}(\alpha\overline\beta)=3.$$
よって答えは$\sqrt3$。

解説

入口は「三つの長さから別の一次結合の長さ」です。既知の長さを二乗して交差項を確定し、目的の二乗へ代入します。図形的には二辺のなす角の余弦を求めているのと同じですが、角そのものを求めずに済みます。最後は非負の平方根を取ります。

2.3　共役一次式を連立し、退化も分類する

性質と導出

係数比較は、$1,i$以外の二方向でもできます。$\alpha,\beta$が平行でなく、
$$\operatorname{Im}(\overline\alpha\beta)\ne0$$
なら、実数$s,t$について$s\alpha+t\beta=0$から$s=t=0$が従います。実際、$\overline\alpha$を掛けて虚部を取ると$t=0$、続いて$s=0$です。「二つの異なる複素数だから」では不十分で、平行でないことが必要です。また、$s,t$が複素数ならこの比較はできません。
例えば実数$s,t$について$s(1+i)+t(1-i)=0$なら$s+t=s-t=0$です。求めた係数は元の式に代入して、実部・虚部の両方が一致すれば処理を終えられます。

共役を含む未知数の一次式

$$Az+B\overline z=C$$
では、共役を取った$\overline Bz+\overline A\overline z=\overline C$を並べます。第一式を$\overline A$倍し、第二式を$B$倍して引くと
$$ (|A|^2-|B|^2)z=\overline AC-B\overline C. $$
したがって$D=|A|^2-|B|^2$により分岐します。

• $D\ne0$なら、$z=(\overline AC-B\overline C)/D$の一点。
• $D=0$かつ$(A,B)\ne(0,0)$なら、$\overline AC=B\overline C$を満たすとき直線、満たさなければ解なし。
• $A=B=0$なら、$C=0$のとき全平面、$C\ne0$のとき解なし。
  退化した場合は、$z=x+iy$に直した二本の実数一次式が同一直線か、互いに矛盾する平行な条件になるかを見ています。消去後の$0=0$だけを見て「全平面」としてはいけません。元の一次式が一本残ります。
  例えば$z+i\overline z=1+i$は$(x+y)(1+i)=1+i$なので$x+y=1$という直線です。右辺が$1$なら実部と虚部が両立せず解なし。一方、$z+2\overline z=3+i$なら$3x-iy=3+i$から$z=1-i$です。
  係数が簡単なら、このように成分化した方が短いこともあります。一般係数の分類には共役連立、具体数の計算には成分法、という選択です。

  手順｜C04　適用条件と実行の要点

  どの条件で使うか　未知数が$Az+B\overline z=C$の形で一次に現れる。

  
  

  何を得るか　共役を未知のまま増やさず、共役式との連立で消去する。

  
  

  操作と分岐　$D=|A|^2-|B|^2$を計算する。$D\ne0$なら一点、$D=0$なら整合条件を確認する。$A=B=0$は最初に元の定数式へ戻す。

  
  

  止まったとき・終了時　消去後の$0=0$は全平面を意味しない。残る一次式を確認し、一点・直線・空集合・全平面を区別する。具体数なら$x,y$の連立で検算できる。

  
  

2.4　高次の共役方程式を実数の二式に分ける

性質と導出

共役を含む式は、普通の一変数の多項式方程式とは異なります。単位円条件などで共役を消せない場合は、$z=x+iy$として実部・虚部の二式へ分けます。そのうち因数分解できる方を先に使い、得た関係を他方へ代入します。

模範解答

$z=x+iy$と置くと、
$$ \begin{cases} x^3-3xy^2-3x^2-3y^2+4=0,\\ y(3x^2-y^2)=0. \end{cases} $$
$y=0$では$(x+1)(x-2)^2=0$より$x=-1,2$。
$y\ne0$では$y^2=3x^2$を第一式へ代入し、
$$-4(x+1)^2(2x-1)=0.$$
よって$x=-1,1/2$であり、対応する$y$はそれぞれ$\pm\sqrt3,\ \pm\sqrt3/2$。以上の候補は全て元式を満たすので、
$$\boxed{z=2,\ -1,\ -1\pm\sqrt3i,\ \frac{1\pm\sqrt3i}{2}}.$$

解説

虚部が積の形になったため、そこから二枝を得ました。「ここで良い置換を見つける」必要はありません。実数枝と非実数枝を分けた後、非実数枝の$y^2=3x^2$で次数を下げています。進まなければ、二式のどちらを先に使うと因数分解や代入が軽くなるかを見直します。

また、$|z|^2+z-\overline z-1=0$は見た目に円の項を含みますが、実部は$x^2+y^2-1=0$、虚部は$2y=0$なので解は$\pm1$だけです。複素式一本を、無条件に一つの円の方程式と解釈してはいけません。

2.5　平方根の符号を組にして、二次方程式を解く

性質と導出

$(u+iv)^2=A+Bi$では、$u^2-v^2=A,\ 2uv=B$です。さらに$u^2+v^2=\sqrt{A^2+B^2}$なので
$$ \begin{gathered} u^2=\frac{\sqrt{A^2+B^2}+A}{2},\\[3pt] v^2=\frac{\sqrt{A^2+B^2}-A}{2}. \end{gathered} $$
ここで$u,v$の符号を独立に選んではいけません。$2uv=B$で組を決めます。例えば$3+4i$の平方根は$\pm(2+i)$であり、$2-i$は平方根ではありません。$B=0$のときも、元の二式で実数方向・純虚数方向を選別します。零の平方根は零一つです。
$az^2+bz+c=0,\ a\ne0$は
$$ (2az+b)^2=b^2-4ac $$
に直せば同じ処理になります。例えば$z^2-2z+1-2i=0$は$(z-1)^2=2i$より$z=2+i,-i$です。複素係数では、解とその共役が必ず組になるわけではありません。
角が簡単なら、 3.3 の$n$乗根を使う方法も自然です。成分表示を求める平方根なら上の二式、全ての根を角の配置として求めるなら極形式、と使い分けます。

第3章　累乗の角と、逆数対の次数を管理する

3.1　単位円上の和差を半角で因数分解する

目的から公式の導出へ

単位円上の二点を表す複素数を、実数$\alpha,\beta$を用いて
$$u=\cos\alpha+i\sin\alpha,\qquad v=\cos\beta+i\sin\beta$$
とします。ここで求めたいのは、和$u+v$や差$v-u$の「長さ」と「向き」です。積や商とは違い、和差の偏角をそのまま足し引きすることはできません。そこで、和差を「実数の係数×絶対値1の複素数」に分け、長さと向きを読み取れる形にします。

角の平均と差の半分を使う理由

二つの角の中央を基準にすると、両方の角がそこから同じだけ離れます。そのため
$$m=\frac{\alpha+\beta}{2},\qquad d=\frac{\beta-\alpha}{2}$$
と置きます。このとき$\alpha=m-d,\ \beta=m+d$です。$m$は二方向の中央、$d$はそこからの角のずれを表します。加法定理を使うと、和では$\sin d$を含む項、差では$\cos d$を含む項が打ち消し合います。
まず実部・虚部をそれぞれ整理します。
$$ \begin{aligned} \cos(m-d)+\cos(m+d)&=2\cos m\cos d,\\ \sin(m-d)+\sin(m+d)&=2\sin m\cos d,\\ \cos(m+d)-\cos(m-d)&=-2\sin m\sin d,\\ \sin(m+d)-\sin(m-d)&=2\cos m\sin d. \end{aligned} $$
例えば余弦の和では、$\cos(m\pm d)=\cos m\cos d\mp\sin m\sin d$を足すと、後ろの二項が消えます。他の三式も、正弦・余弦の加法定理を足すか引くことで得られます。これらを実部・虚部として組み合わせると、
$$ \boxed{u+v=2\cos d(\cos m+i\sin m)}, $$
$$ \boxed{v-u=2\sin d(-\sin m+i\cos m)} $$
となります。後者の括弧内は、偏角$m+\pi/2$を持つ絶対値1の複素数です。

公式から読み取れる長さと図形

括弧内の絶対値は1なので、
$$ \begin{gathered} |u+v|=2|\cos d|,\\ |u-v|=2|\sin d| \end{gathered} $$
です。二点を$U,V$、原点を$O$とすると、$|u-v|$は弦$UV$の長さです。弦の中点$M$は複素数$(u+v)/2$で表されるので、$OM$の長さは$|\cos d|$となります。$u+v$と$v-u$がともに零でないとき、二つの括弧内の方向は直角をなすため、直線$OM$と弦$UV$は垂直です。
$u=v$なら弦の長さが零です。また$u=-v$なら弦は直径で、中点は原点です。このとき$OM$という方向は定まらないので、非零の場合の向きの説明をそのまま使いません。

偏角は実数の係数の符号まで確認する

和の係数は$2\cos d$、差の係数は$2\sin d$です。係数が正なら、和の偏角の一つは$m$、差$v-u$の偏角の一つは$m+\pi/2$です。係数が負なら、その角に$\pi$を加えます。係数が零なら和または差そのものが零なので、偏角は定義しません。逆向きの差$u-v$を扱う場合も、符号の反転に注意します。最後に、角を$2\pi$の整数倍だけ調整して、問題の指定区間へ戻します。
$\alpha,\beta$には偏角の任意の代表値を使えます。ただし、代表値を変えると$m,d$や係数の符号も変わるため、「平均の角だけ」を取り出さず、係数と組にして読んでください。

この変形が役立つ場面

単位円上の二点の距離なら$|u-v|$、和の絶対値なら$|u+v|$を直ちに使えます。和差の累乗や実数性を調べる問題では、係数の符号まで直して極形式にしてから、第3.2節の半径と角の条件へ進みます。等比数列の和に現れる「1と単位円上の数の和差」にも使えます。
特に$u=1,\ v=\cos\theta+i\sin\theta$とすると、$m=d=\theta/2$なので
$$ \begin{aligned} 1+\cos\theta+i\sin\theta &=2\cos\frac\theta2\\ &\quad\times\left(\cos\frac\theta2+i\sin\frac\theta2\right). \end{aligned} $$
例えば$\theta=3\pi/2$なら、左辺は$1-i$です。係数$2\cos(3\pi/4)$が負なので、偏角の一つは$3\pi/4+\pi=7\pi/4$であり、$3\pi/4$のままではありません。
この操作は、必要な長さが求まるか、非零の和差について正の半径と正しい偏角が決まれば終了です。長さだけを求める問題では、不要な偏角の代表値まで計算する必要はありません。

3.2　累乗と最小指数を、半径・角の二条件へ

性質と導出

非零の複素数を$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$、$r=|z|>0$と表します。乗法公式を繰り返せば、ド・モアブルの定理
$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$
が得られます。$n$が正の整数なら零も直接扱えます。負の整数を含むときは$z\ne0$が必要で、指数零も非零の$z$について用います。
非零の$z$について、$z^n$が実数となる条件は$n\theta$が$\pi$の整数倍、純虚数となる条件は$n\theta$が$\pi/2$の奇数倍です。正の実数なら$2\pi$の整数倍、負の実数なら$(2k+1)\pi$と符号を分けます。

模範解答

$z=2(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6))$より、角は$n\pi/6$。
実数では$n=6k$となるので最小$6$、純虚数では$n=3+6k$となるので最小$3$、正の実数では$n=12k$となるので最小$12$。

解説

「実数だから角が零」とするのではなく、負の実軸も含めます。条件が「整数」「特定の絶対値」なら、さらに半径$2^n$の条件が必要です。

例えば$z^3=8,\ z^n=16$なら、絶対値から$|z|=2,\ n=4$が先に決まります。その後、$3\theta,4\theta$が共に$2\pi$の整数倍であることから$\theta$は$2\pi$の整数倍、$z=2$となります。半径が$n$を決めても、角が適するかを確かめて終了します。
角の値域を$n$倍して$\sin,\cos$の範囲を求めるときは、増減の変わる角を区間がまたぐか点検します。端の角の三角関数値が、そのまま最大・最小になるとは限りません。

3.3　全ての乗根と、指定半直線の逆像

性質と導出

正整数$n$と$w=R(\cos\phi+i\sin\phi)\ne0$に対し、$z^n=w$の解は
$$ \begin{gathered} z=R^{1/n}\left\{\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n}\right\},\\[3pt] k=0,\ldots,n-1. \end{gathered} $$
$n$個の角は互いに$2\pi$の整数倍だけ異なることがないので、解は相異なります。逆に、任意の解の角はこのいずれかに戻ります。$w=0$なら解は$z=0$一つです。
例えば$z^4=16$の全解は$2,2i,-2,-2i$です。「第一象限の解」などの指定があれば、まず全解の角を列挙してから絞ります。実部が正という条件と、第一象限という条件も区別してください。
$U^n=V^n$では、$V=0$なら$U=0$を先に調べ、$V\ne0$なら
$$\left(\frac UV\right)^n=1$$
に直します。商が$1$という候補が元の条件では不可能なら、その根を除きます。例えば$z/(z-i)=1$は不可能なので、$z^n=(z-i)^n$をこの商で処理するときは$1$を除きます。
像の方が半直線として指定されている場合
$(z-a)^n$が、原点を除く偏角$\phi$の半直線に属する条件は、$z-a$が角
$$\frac{\phi+2k\pi}{n}\quad(k=0,\ldots,n-1)$$
の$n$本の開半直線のいずれかに属することです。求める像の複雑な曲線を全部描く前に、この逆向きの読み替えを点検できます。
例えば$u^3$が正の実数なら角$0,2\pi/3,4\pi/3$の三半直線、負の実数なら角$\pi/3,\pi,5\pi/3$の三半直線です。$u=0$はどちらにも入りません。円周からこれらへ届くかを調べる方法は 7.4 、総合実演は総合問題14で扱います。

3.4　逆数対をまとめて、高い累乗を下げる

性質と導出

$z\ne0$では、$|z|=1$と$\overline z=1/z$は同値です。逆向きも$z\overline z=1$から確かめられます。したがって、単位円条件と共役が同時に現れたら、まず逆数でまとめられるか点検します。
一般に$z\ne0$で$t=z+z^{-1}$と置くと、
$$z^2-tz+1=0.$$
ここから
$$ \begin{gathered} S_n=z^n+z^{-n},\qquad S_0=2,\quad S_1=t,\\[3pt] S_{n+1}=tS_n-S_{n-1} \end{gathered} $$
が得られます。例えば$S_2=t^2-2,\ S_3=t^3-3t$。$D_n=z^n-z^{-n}$にも同じ漸化式が成り立ち、初期値は$D_0=0,\ D_1=z-z^{-1}$です。和と差では初期値が違うことを忘れないでください。

模範解答

$$ \begin{aligned} z^3+z^{-3}&=(z+z^{-1})^3-3(z+z^{-1})\\ &=27-9=18. \end{aligned} $$

解説

二次方程式で$z$の二候補を求めても解けますが、目的は逆数対の和です。対のまま計算すれば候補を分けずに済みます。高い指数なら上の漸化式で必要な次数まで進めます。

3.5　相反方程式と、実数性だけを求める場合

性質と導出

左右対称の四次式は、同じ置換の入口です。
$$ \begin{gathered} z^4+az^3+bz^2+az+1=0\\[3pt] \iff t^2+at+b-2=0,\\[3pt]t=z+z^{-1}. \end{gathered} $$
定数項が$1$なので$z=0$は解でなく、$z^2$で割れます。$t$を求めたら$z^2-tz+1=0$へ戻します。例えば
$$z^4-3z^3+4z^2-3z+1=0$$
は$t=1,2$なので、$z=(1\pm\sqrt3i)/2,1$で、$1$は重解です。
実数$t$について、$-2\leq t\leq2$なら二根は単位円上、$|t|>2$なら非零実数の逆数対です。端$t=\pm2$では$\pm1$が重解となります。二次方程式と根の積$1$から確認できます。
奇数次で係数が左右対称なら、まず$z=-1$を代入して因子を取り出せます。係数が左右で逆符号なら$z=1$を代入します。定数項が零の式では、これらを使う前に零根を分けます。
「$z+c/z$が実数」だけを要求される場合は、先に全根を解きません。実数$c$に対し、$z=x+iy\ne0$（$x,y$は実数）と置くと
$$\operatorname{Im}(z+c/z)=y\left(1-\frac c{|z|^2}\right).$$
$c>0$なら実軸または半径$\sqrt c$の円、$c\leq0$なら実軸に限られます。ただし$z=0$は除きます。その各枝に、残る条件を適用します。

第4章　根を個別に解かず、多項式として利用する

4.1　根と係数、既知の二次関係による次数の削減

性質と導出

まず$n$次多項式を$f(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$（$a_n\ne0$）とします。$\sum$は指定した項の和、$\prod$は指定した項の積です。例えば$\prod_{j=1}^n\alpha_j=\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n$です。添字の範囲を省略した直後の二式でも、$j=1,\ldots,n$を対象にします。根が重複度込みで$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$と分かっているとき、積表示の係数比較から
$$\sum\alpha_j=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\qquad \prod\alpha_j=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$$
を得ます。必要なのが和や積なら、根そのものを解くことを目標にしません。既に具体的な$n$個の根を列挙できている場面では、因数定理と次数で積表示を確定できます。
$i$のべきが周期$4$、$\omega^2+\omega+1=0$を満たす非実数$\omega$のべきが周期$3$であることも、因子の発見に使えます。例えば実係数の$f$について$f(i)=0$なら$X^2+1$、$f(\omega)=0$なら$X^2+X+1$が因子です。指数を周期ごとにまとめるのが最初の操作です。

既知の二次関係があるとき

さらに、相反式に限らず、$\alpha^2+p\alpha+q=0$が既知なら、高次は
$$\alpha^{n+2}=-p\alpha^{n+1}-q\alpha^n$$
で下げられます。多項式を$X^2+pX+q$で割り、余り$R\alpha+S$だけ計算しても同じです。
$R\alpha+S=0$から$R=S=0$と比較するには、$R,S$が実数で$\alpha$が非実数であることが必要です。係数まで複素数なら、この比較はできません。

根のべき和を係数から求める：ニュートンの恒等式

根の和や積を係数から読む考え方を、根の二乗和・三乗和へ広げます。個々の根が複雑でも、同じ指数のべきを全て足すと、係数だけで順に計算できます。これがニュートンの恒等式です。
まず最高次係数で割り、方程式を
$$f(X)=X^n+c_1X^{n-1}+\cdots+c_n=0$$
とします。$n$は正整数、$c_j$は複素数でも構いません。根を重複度込みで$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$とし、
$$S_k=\sum_{j=1}^n\alpha_j^k\quad(k\geq1),\qquad S_0=n$$
と定めます。$S_k$を根の$k$乗和、まとめて「べき和」と呼びます。$S_0=n$は根の個数を数える約束であり、零根があるときに$0^0$を計算する意味ではありません。

例えば次数が3以上なら、
$$\begin{aligned} S_1&=-c_1,\\ S_2&=-c_1S_1-2c_2,\\ S_3&=-c_1S_2-c_2S_1-3c_3. \end{aligned}$$
従って
$$S_2=c_1^2-2c_2,\qquad S_3=-c_1^3+3c_1c_2-3c_3.$$
二次式の三乗和では、次数を超えるので後者の漸化式を使います。式に存在しない係数を不用意に読み取らないよう、最初に次数を確認します。

高校数学での導出：因数で割った商の係数を比較する

因数分解$f(X)=\prod_{j=1}^n(X-\alpha_j)$が与えられているとして証明します。一般の複素多項式の根の存在定理や無限級数は使いません。根が重なっていても、因子を一つずつ番号付きで扱えば同じ議論ができます。
第$j$番目の因子を一つ除いた商を
$$q_j(X)=\prod_{h\ne j}(X-\alpha_h)$$
とします。$f(X)=(X-\alpha_j)q_j(X)$で高次から係数を比較すると、$0\leq k\leq n-1$に対し、$q_j$の$X^{n-1-k}$の係数は
$$\alpha_j^k+c_1\alpha_j^{k-1}+\cdots+c_k$$
です。$k=0$のときは係数1を意味します。実際、最高次係数は1で、次の係数を求めるたびに「前の係数に$\alpha_j$を掛け、$f$の対応する係数を足す」という操作になります。
一方、$q_1+\cdots+q_n$の$X^{n-1-k}$の係数は$(n-k)c_k$です。理由は、$f$を展開して$c_k$を作る各項が、$n$個の因子のうち$k$個から定数部分を選んでできるためです。この$k$個を残したまま除ける因子は$n-k$個あり、商の総和では各項がちょうど$n-k$回ずつ現れます。ここでは$c_0=1$とします。
従って$1\leq k\leq n-1$では
$$\begin{aligned} S_k+c_1S_{k-1}+\cdots+c_{k-1}S_1+nc_k &=(n-k)c_k, \end{aligned}$$
となり、移項すれば前者の公式です。残る$k=n$では、各根が満たす$f(\alpha_j)=0$を全て足すと
$$S_n+c_1S_{n-1}+\cdots+c_{n-1}S_1+nc_n=0$$
を得ます。$k>n$では$f(\alpha_j)=0$に$\alpha_j^{k-n}$を掛けて足せば、後者の公式です。いずれも根で割らないので、零根や重根があっても成立します。

定数項が影響しない範囲を利用する

$k< n$なら$S_k$は$c_1,\ldots,c_k$だけで決まり、定数項$c_n$は影響しません。より一般に、同じ次数で最高次係数を1にそろえた二つの多項式の上位$k$個の係数が一致すれば、最初の$k$個のべき和が一致します。これは上の公式を低い指数から順に使えば分かります。
従って、積の形の$n$次多項式$F(X)$について$F(X)=t$の根の$k$乗和を求めるとき、$k< n$なら、根が読み取りやすい$F(X)=0$に比較して構いません。ただし比較するのは根全体のべき和であり、個々の根が同じという意味ではありません。$k=n$になると定数項が初めて現れます。

べき和から係数を復元し、別の総和を求める

次の例題では、係数からべき和を求める向きを逆にします。根全体のべき和が与えられたら、ニュートンの恒等式で係数を低次の式から順に決められます。得られた多項式は、さらに別の総和を計算するときに、各根の高いべきを下げるために使えます。

模範解答

（1）$S_k=\sum_{j=1}^4\alpha_j^k\ (k\geq1)$とおき、
$$f(X)=X^4+c_1X^3+c_2X^2+c_3X+c_4$$
とする。ニュートンの恒等式より、
$$\begin{aligned} S_1+c_1&=0,\\ S_2+c_1S_1+2c_2&=0,\\ S_3+c_1S_2+c_2S_1+3c_3&=0,\\ S_4+c_1S_3+c_2S_2+c_3S_1+4c_4&=0. \end{aligned}$$
与えられた値を順に代入すると
$$c_1=0,\quad c_2=-2,\quad c_3=-2,\quad c_4=1.$$
従って
$$\boxed{f(X)=X^4-2X^2-2X+1}.$$

（2）各$j$について$f(\alpha_j)=0$であるから、
$$\alpha_j^4=2\alpha_j^2+2\alpha_j-1.$$
両辺に$\alpha_j^2$を掛けて全て足すと、
$$S_6=2S_4+2S_3-S_2=16.$$
従って求める値は
$$\begin{aligned} \sum_{j=1}^4(\alpha_j^2-1)^3 &=S_6-3S_4+3S_2-4\\ &=16-12+12-4=\boxed{12}. \end{aligned}$$

解説

（1）では方程式の係数ではなく、根全体のべき和が与えられています。求める多項式の最高次係数は1なので、ニュートンの恒等式を「べき和から係数を決める」向きに使います。$k$番目の式でまだ決まっていない係数は$c_k$だけです。従って、低い指数から使えば四つの係数が順に一意に決まり、根を一つずつ求める必要はありません。

（2）の式は、全ての根に同じ多項式を代入した値の和です。まず$(X^2-1)^3=X^6-3X^4+3X^2-1$と展開すると、足りない情報が$S_6$だけだと分かります。一方、（1）で得た方程式の$X^3$の係数は零です。そのため、根の方程式に$\alpha_j^2$を掛けて足せば、$S_6$を既知の$S_4,S_3,S_2$だけで表せます。$S_5$を計算する必要はありません。一般には低い指数から順に進めますが、係数が零の項を消した後に必要なべき和が全てそろっていれば、その指数へ直接進めます。

同じ計算を余りで整理することもできます。多項式の恒等式
$$\begin{aligned} (X^2-1)^3 &=(X^2-1)f(X)+2X^3-2X \end{aligned}$$
に$X=\alpha_j$を代入すると、各項は$2\alpha_j^3-2\alpha_j$に置き換わり、総和は$2S_3-2S_1=12$です。高いべきの和を求める方法と、代入する多項式を根の方程式で割った余りへ置き換える方法は、同じ関係を異なる順序で利用しています。

次数を超えるべき和・逆数・平行移動への応用

高い指数では、根の方程式がべき和の漸化式になります。例えば$X^3-2X+1=0$の根を重複度込みで数えると、$S_0=3,S_1=0,S_2=4$で、
$$S_k=2S_{k-2}-S_{k-3}\quad(k\geq3)$$
です。従って$S_3=-3,S_4=8,S_5=-10,S_6=19$と進められます。初期値が不足したら、根を解かず、低次のニュートンの恒等式へ戻ります。
負のべきが要求された場合は、まず零根がないこと、すなわち$c_n\ne0$を確認します。$Y=1/X$で逆数を根とする多項式は
$$Y^n+\frac{c_{n-1}}{c_n}Y^{n-1}+\cdots+\frac1{c_n}=0$$
です。これに同じ手順を適用すれば、逆数のべき和が求まります。例えば補例Cでは$c_4=1$なので零根はなく、逆数和は$-c_3/c_4=2$です。零根がある場合、全根の逆数和は定義できません。
$(\alpha_j-a)^k$の総和なら、$a$を指定された定数として$X=Y+a$を代入し、$f(Y+a)$の根のべき和として処理できます。指数が小さければ二項展開から既知の$S_j$を組み合わせる方が短い場合もあります。また、根に同じ多項式$H$を代入した値の総和は、$H$を展開してべき和の一次結合に直せます。次数が大きい$H$なら、先に$f$で割った余りを求めると、各根で商の部分が零となり、必要なべき和を$n-1$乗以下へ減らせます。

既存の定石との使い分け

根と係数の関係は$S_1$や根の積を直ちに与え、ニュートンの恒等式は根と係数の情報を高いべき和へつなぎます。既知の二次関係で各根の次数を下げる方法は、ここで使った「根の方程式を掛けて足す」操作の二次の場合です。
1の$n$乗根なら、第4.3節の等比和を使う方が短いことがあります。実際、$X^n-1$では$1\leq k< n$のべき和は零で、$S_n=n$となり、以後は$S_k=S_{k-n}$です。係数がほとんど零になる構造が、図形の等間隔性と同じ結論を与えています。逆に、一般の係数が与えられ、根の配置が読み取りにくい問題では、ニュートンの恒等式が直接使えます。
最初の$n$個のべき和から係数を求める逆向きの問題でも、$kc_k$以外は既知なので、$c_1,c_2,\ldots,c_n$を順に復元できます。ただし最高次係数は根の情報だけでは決まらないため、最高次係数1という基準を付けて考えます。一般の対称式の理論や行列による表現を前提にする必要はありません。

4.2　実係数・非実根・同じ関数値から因子を作る

性質と導出

実係数多項式$f$では$\overline{f(\alpha)}=f(\overline\alpha)$です。したがって非実根$\alpha$があれば$\overline\alpha$も根で、
$$ (X-\alpha)(X-\overline\alpha) =X^2-2\operatorname{Re}\alpha\,X+|\alpha|^2 $$
を因子に持ちます。根を直接解くより、実部と絶対値で実二次因子を作る方が軽い場合が多くあります。重複度も同じです。実二次因子で割った商が再び実係数なので、繰り返し因子を取り出して確かめられます。
条件が$f(\alpha)=c$なら、根の問題へ直すために$f-c$を作ります。$c$が実数なら$f-c$も実係数です。$c$が複素数の場合には、同じ共役根の追加を無条件に行えません。

模範解答

$f(X)-2$は相異なる四根$1\pm i,-1\pm i$を持つ。次数と最高次係数から
$$ \begin{aligned} f(X)-2&=\{(X-1)^2+1\}\{(X+1)^2+1\}\\ &=X^4+4. \end{aligned} $$
よって$f(X)=X^4+6$で、元の条件を満たす。

解説

「同じ関数値」が見えたので定数を引き、「実係数」が見えたので共役根を加えました。四次式に四つの相異なる根が得られたところで、最高次係数まで含めて多項式が確定します。一般の因数分解は
$$f(X)=a_n\prod_{j=1}^n(X-\alpha_j)$$
であり、最高次係数$a_n$を落としません。

根に絶対値が付くときの分岐
$z^2+pz+q=0$の二根$\alpha,\beta$について、$p,q$が実数なら、実根か非実根かで絶対値の扱いが変わります。例えば
$$ \begin{gathered} |\alpha-i|^2+|\beta-i|^2\\[3pt] =\begin{cases}p^2-2q+2&p^2-4q\geq0,\\2q+2&p^2-4q<0.\end{cases} \end{gathered} $$
実根なら各項は$\alpha^2+1,\beta^2+1$で、根の和積を使います。非実根なら$\beta=\overline\alpha$で$|\alpha|^2=q$となり、二項を足したとき虚部の一次項が消えます。重解では上側の式が使え、境界で二式は一致します。
「二根の積だから絶対値二乗」と読むのは、共役根対のときだけです。根の種類が曖昧なら判別式から分け、最後に元条件の重解の許否も確認します。

4.3　1の乗根で、等間隔の角の和と積を求める

性質と導出

正整数$n$に対し、1の$n$乗根は
$$ \begin{gathered} \zeta_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\\[3pt] k=0,\ldots,n-1 \end{gathered} $$
です。既知の相異なる$n$個の根と因数定理から
$$X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\zeta_k)$$
を得られます。一般の高次方程式の根の存在定理を使わなくても、この式は導けます。
和を求めるなら、$\zeta^n=1,\ \zeta\ne1$から
$$1+\zeta+\cdots+\zeta^{n-1}=0.$$
この式の$\zeta$は、べき乗で全ての根を一巡するものでなくても成立します。ただし、$\zeta$のべきが「全根の列挙」であると主張するには、重複せず一巡することが別に必要です。
全根のべき和は、整数$m$に対して
$$ \sum_{k=0}^{n-1}\zeta_k^m= \begin{cases} n& m\text{が}n\text{の倍数},\\ 0& m\text{が}n\text{の倍数でない}. \end{cases} $$
各根は非零なので負の$m$でもよく、等比和から証明できます。正多角形の中心が頂点の平均になることも、この和の消失で分かります。
積を求めるときは、$X$へ値を代入できる形を作ります。$n\geq2$では
$$\prod_{k=1}^{n-1}(X-\zeta_k)=1+X+\cdots+X^{n-1}$$
なので、
$$\boxed{\prod_{k=1}^{n-1}(1-\zeta_k)=n}.$$
$X=-1$の代入も、$1+\zeta_k$の積に使えます。どの根を含み、$1$や$-1$を除いたかを先に確認しましょう。

模範解答

$\zeta=\cos(2\pi/5)+i\sin(2\pi/5)$、$t=\zeta+\zeta^{-1}=2\cos(2\pi/5)$と置く。
$$ \begin{gathered} 1+\zeta+\zeta^2+\zeta^{-2}+\zeta^{-1}=0,\\[3pt] \zeta^2+\zeta^{-2}=t^2-2 \end{gathered} $$
より$t^2+t-1=0$。$t>0$なので$t=(\sqrt5-1)/2$、したがって
$$\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

解説

等間隔の角が1の5乗根を作り、求める余弦は共役な二根の和に当たります。根を個別に解く代わりに、逆数対$t$を使って低次化しました。新しく得た$t^2+t-1=0$は実数の二次方程式で、角の範囲が符号を選びます。

4.4　発展：積の恒等式から根の逆数和を得る

高校数学からの導出

多項式$p(X)$に対し、各項$aX^m$を$maX^{m-1}$へ置き換えた多項式を$p'(X)$と書きます。ここでは複素変数の極限として微分を定義する必要はありません。$X^rX^s$について積の公式が成り立つことを確かめ、展開して足せば、多項式の積の微分公式は係数の代数的な恒等式として成立します。
したがって$p(X)=\prod_{j=1}^n(X-a_j)$なら、
$$p'(X)=\sum_{k=1}^n\prod_{j\ne k}(X-a_j).$$
$p(X)\ne0$のところで割れば
$$\boxed{\frac{p'(X)}{p(X)}=\sum_{j=1}^n\frac1{X-a_j}}.$$
根そのものへ代入する場合は分母が零なので、因子を一つ外した多項式へ戻します。複素対数を取って導く必要はありません。

模範解答

$$ \begin{gathered} p(X)=1+X+\cdots+X^{n-1}\\[3pt] =\prod_{k=1}^{n-1}(X-\zeta_k) \end{gathered} $$

と置く。$p(1)=n$、$p'(1)=n(n-1)/2$なので、求める和は$p'(1)/p(1)=(n-1)/2$。

解説

「根との差の逆数の和」が積の微分の入口です。根$1$を含む$X^n-1$をそのまま使うと、$X=1$で割れません。求める和に含まれない因子を先に外しました。

第5章　差・比・共役積で点の配置を調べる

5.1　回転・拡大・平行移動の中心をそろえる

性質と導出

原点中心に角$\theta$だけ回転し、長さを$\rho>0$倍する操作は
$$w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)z.$$
中心が$a$なら、原点を$a$へ合わせて
$$\boxed{w-a=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)(z-a)}$$
です。原点中心の式へ、中心の座標をそのまま足すだけではありません。

模範解答

$$ \begin{aligned} w-(1+i)&=i\{2-(1+i)\}\\ &=i(1-i)=1+i \end{aligned} $$
より、$w=2+2i$。

解説

中心を引いた差が回転する量です。「反時計回り$90^\circ$」から係数$i$が直ちに決まり、中心を戻して終了します。時計回りなら$-i$です。回転後の中心からの距離と向きを検算すると、平行移動の符号違いを防げます。

$\displaystyle {\color{#0f766e}\begin{xy} 0;<1.4em,0em>: (0,0)*{\bullet}="A",(2,-2)*{\bullet}="Z",(2,2)*{\bullet}="W", "A";"Z" **\dir{-} ?>*\dir{>}, "A";"W" **\dir{-} ?>*\dir{>}, (0.4,-0.4);(0.8,0) **\dir{-}, (0.8,0);(0.4,0.4) **\dir{-}, (-1.45,-0.2)*{1+i}, (2.6,-2.5)*{\color{#1d4ed8}z=2},(3,2.5)*{\color{#7e22ce}w=2+2i}, (0,0)*\cir<3.9592em>{} \end{xy}}$

図2　中心からの二つの差が、反時計回り90度の回転で対応します

一般の$w=az+b,\ a\ne0$は、定数倍と平行移動の合成です。$a\ne1$なら不動点$c=b/(1-a)$を求め、
$$w-c=a(z-c)$$
として中心・倍率・角を読めます。$a=1$なら平行移動、$a=0$なら定点$b$です。
$w=a\overline z+b$には共役による反射も含まれます。まず実軸対称、次に$a$倍、最後に$b$の平行移動、と分解します。常に一つの直線に関する反射だけになるわけではありません。例えば$w=\overline z+1$は実軸対称と実方向の平行移動の合成で、不動点を持ちません。反射軸そのものが必要なら、不動点の条件を 2.3 の共役一次式で調べます。
同じ中心から等角間隔で点を並べる正$n$角形は
$$ \begin{gathered} a+R(\cos\theta_k+i\sin\theta_k),\\[3pt] \theta_k=\theta+\frac{2k\pi}{n},\quad k=0,\ldots,n-1 \end{gathered} $$
で作れます。$R>0,\ n\geq3$です。中心・一頂点・回転角を読み取れば、残りの頂点を個別に解く必要はありません。

5.2　辺の比と、0・1または単位円への正規化

性質と導出

点$A(a),B(b)$について、$\overrightarrow{AB}$に対応する複素数は$b-a$、距離$AB$は$|b-a|$です。角を扱うときは、二辺の始点を同じ頂点にそろえます。
$u=b-a\ne0,\ v=c-a\ne0$なら
$$q=\frac{c-a}{b-a}=\frac vu$$
の絶対値が$AC/AB$、偏角が$AB$から$AC$への向き付き角です。求めるのが辺の比・角・相似なら、この商一つにまとめると情報が減ります。

模範解答

係数の絶対値は$1$、偏角は$\pi/3$なので$AB=AC$、$\angle BAC=\pi/3$。よって正三角形である。

解説

「差の一次関係」が見えているので商を作り、絶対値と角を読みました。$q$が実数なら三点は共線で三角形になりません。また、通常の内角は$0$から$\pi$の間にあり、向き付き角が負なら、その値をそのまま内角と呼びません。例えば$q$の偏角が$-\pi/3$なら、通常の内角は$\pi/3$で向きが逆です。

式に頂点$a,b,c$がそのまま現れても、
$$Aa+Bb+Cc=0,\qquad A+B+C=0$$
なら
$$B(b-a)+C(c-a)=0$$
と差へ直せます。係数和が零であることは、平行移動しても変わらない条件であるという目印です。
さらに差だけの同次式なら、$u=b-a$で割って$t=(c-a)/u$にすると、一辺の長さと全体の向きを取り除いた「形だけの方程式」になります。例えば$(b-a)^2+(c-a)^2=0$なら$t=\pm i$で、$A$を直角頂点とする直角二等辺三角形です。
正規化には二つのよく使う選択があります。

• 基準の二点・一辺が繰り返されるなら、$u=(z-a)/(b-a)$で二点を$0,1$へ。
• 同一円周上の点と共役が多いなら、$u=(z-c)/R$で中心$c$・半径$R>0$の円を単位円へ。
  第一の正規化では長さが$1/|b-a|$倍、面積が$1/|b-a|^2$倍になります。最後に戻す尺度を残します。原点が特別な定点として条件に入っている問題で、条件も変換せずに頂点を勝手に零と置いてはいけません。複数の異なる円も、同じ変換で全て単位円にできるわけではありません。
  正規化が有効か迷ったら、「どの文字が消え、どの式が使えるようになるか」を確認します。中点を一回取るだけなら、正規化せず平均する方が短い場合もあります。

5.3　分点・中点・重心を実数の重みで表す

性質と導出

$AP:PB=m:n$、$m,n>0$なら、内分点は
$$p=\frac{na+mb}{m+n}.$$
外分点は
$$p=\frac{mb-na}{m-n}\qquad(m\ne n).$$
分子の係数は「近い側の比」と取り違えやすいので、$p-a$と$b-p$の比で確認します。$m=n$の外分点は有限点として存在しません。
中点は$(a+b)/2$、三角形の重心は$(a+b+c)/3$です。中点を何度も作る問題なら、各点の式を順に代入して係数をまとめます。

模範解答

$$d=\frac{b+c}{2},\qquad e=\frac{a+d}{2}=\frac{2a+b+c}{4}.$$

解説

中点という条件から、迷わず平均します。得た実数の重みが非負で和$1$なら、点は三角形の内部または辺上にあります。負の係数を含む場合の内外判定は13.1で扱います。

一般の加重平均$\sum\lambda_j a_j/\sum\lambda_j$では、重みが実数で分母が非零かを確認します。和が零なら位置の平均とは読めませんが、 5.2 の差の式へ直せる可能性があります。

5.4　共線・垂直・面積を共役積で一緒に読む

性質と導出

$u=b-a,\ v=c-a$とします。二方向が非零なら、そのなす向き付き角$\theta$を用いて
$$\overline u v =|u||v|(\cos\theta+i\sin\theta)$$
です。ここから
$$ \begin{aligned} A,B,C\text{が共線} &\iff\operatorname{Im}\{\overline{b-a}(c-a)\}=0,\\ AB\perp CD &\iff\operatorname{Re}\{\overline{b-a}(d-c)\}=0,\\ [ABC]&=\frac12\operatorname{Im}\{\overline{b-a}(c-a)\} \end{aligned} $$
を得ます。最後は向きを付けた面積で、通常の面積は絶対値です。垂直を線分の関係として述べるときは、両線分が非零であることが必要です。一致点を含めて直線の方程式を書く場合は、共役積の実部・虚部が零という式をそのまま使えます。
また、
$$\cos\angle BAC= \frac{\operatorname{Re}(\overline u v)}{|u||v|}$$
なので、鋭角なら実部正、直角なら零、鈍角なら負です。鋭角三角形を要求されたら、三頂点それぞれで二辺を作ります。一頂点だけの判定では終わりません。

模範解答

面積は$\dfrac12|\operatorname{Im}(2(1+i))|=1$。
$B$を始点とする二辺は$-1-i,\ 1-i$で、
$$\operatorname{Re}\{(-1+i)(1-i)\}=\operatorname{Re}(2i)=0.$$
よって$\angle OBA$は直角。

解説

面積では$O$、求角では$B$へ始点を変えました。辺の向きを逆にすると共役積の符号が変わるので、始点をそろえてから計算することが第一手です。垂直線の傾きで割る必要がなく、鉛直方向も同じ式で扱えます。

距離二乗の差は交差項だけを残します。特に
$$|z|=|z-a|\iff2\operatorname{Re}(\overline a z)=|a|^2.$$
$a\ne0$なら垂直二等分線、$a=0$なら全平面です。例えば
$$|b|^2+|c-d|^2=|d|^2+|b-c|^2$$
は、展開して$\operatorname{Re}\{\overline c(b-d)\}=0$に直ります。非零の二方向なら垂直という意味です。「距離二乗の和の等式」が共役積へ変わったら、ここで同じ実部の判定を使います。

5.5　相似と外側の配置で、向きを選ぶ

性質と導出

三角形$ABC$と$DEF$の頂点の対応を$A\leftrightarrow D,\ B\leftrightarrow E,\ C\leftrightarrow F$と固定します。非退化な三角形について、相似の条件は
$$ \begin{gathered} \frac{f-d}{e-d}=\frac{c-a}{b-a}\\[3pt] \text{または}\quad\frac{f-d}{e-d}=\overline{\left(\frac{c-a}{b-a}\right)}. \end{gathered} $$
同じ向きの相似なら前者、反転した向きなら後者です。角や辺の対応を固定せず、都合のよい商を比較しないでください。
例えば基準三角形が$0,1,i$なら、$D(d),E(e)$に対して第三頂点は$d+i(e-d)$または$d-i(e-d)$です。辺の外側などの指定があれば、どちら側へ置くかで符号を選びます。
辺$AB$上の正三角形の第三頂点は
$$c=a+(b-a)\left(\cos\frac{\pm\pi}{3}+i\sin\frac{\pm\pi}{3}\right).$$
「外側」という言葉は、元の三角形の第三頂点と反対側という意味です。図の向きを一度固定するか、 5.4 の符号付き面積で側を比べます。計算結果がうまくなる方を後から選ぶ方法ではありません。
正方形なら、対角線の中点が一致することと、隣り合う非零の辺が$\pm i$倍であることを使えます。頂点順を$A,B,C,D$とすると
$$a+c=b+d,\qquad (d-a)^2+(b-a)^2=0$$
が正方形の条件です。非零辺のもとで$(d-a)/(b-a)=\pm i$となり、前者から残る頂点も決まるので十分です。

5.6　同次な形状条件を、辺比の方程式へ直す

性質と導出

三点が相異なるとき、
$$\boxed{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0}$$
は正三角形の必要十分条件です。実際、$u=b-a\ne0,\ t=(c-a)/u$を代入すると左辺は$u^2(t^2-t+1)$となり、
$$t=\frac{1\pm\sqrt3i}{2}$$
です。 5.2 の辺比に戻せば正三角形、逆も代入で確認できます。三点相異を外すと$a=b=c$も式を満たすので、方程式だけを無条件に図形と同一視しません。
四乗の和などでも、最初に比へ落とす点は同じです。得た多項式に左右対称の係数があれば 3.5 の逆数対で低次化し、非実根を得たらその絶対値と角を読みます。総合問題3で、この操作を連続して実行します。
因数分解が進まなければ、元の文字を増やす前に、次数・係数の対称性・前の小問で現れた多項式を確認します。処理の出口は、全ての比の候補を調べて、退化しない図形と逆の成立を確定したところです。

第6章　直線と円を方程式にする

6.1　直線の二つの表示と、円の一般式

性質と導出

直線は、方向か法線のうち与えられている方に合わせて表します。$a$を通り非零の方向$d$を持つ直線は
$$\operatorname{Im}\frac{z-a}{d}=0$$
です。点$a$自身も含むので、分子の非零は要求しません。法線を非零の$n$で指定するなら、
$$\operatorname{Re}\{\overline n(z-a)\}=0$$
と書けます。実部を共役の和で表せば、これらは$Bz+\overline B\,\overline z+C=0$（$C$は実数）という形になります。

例えば$x+y=1$は$\operatorname{Re}\{(1-i)z\}=1$、すなわち$(1-i)z+(1+i)\overline z-2=0$です。次は二次項を加えた場合を分類します。

円の式を平方完成する

中心$c$、半径$R\geq0$の円の式は
$$ \begin{gathered} |z-c|^2=R^2\\[3pt] \iff |z|^2-\overline c z-c\overline z+|c|^2-R^2=0. \end{gathered} $$
逆に
$$A|z|^2+Bz+\overline B\,\overline z+C=0,\qquad A,C\in\mathbb R$$
なら、$A\ne0$のとき
$$ \left|z+\frac{\overline B}{A}\right|^2 =\frac{|B|^2-AC}{A^2}. $$
右辺が正なら円、零なら一点、負なら空集合です。$A=0,\ B\ne0$なら直線、$A=B=0$なら$C=0$で全平面、$C\ne0$で空集合です。
係数がこの共役の組になっていなければ、実部・虚部に分けます。例えば$|z|^2+z-\overline z-1=0$は 2.4 の通り二点だけです。「$|z|^2$があるから円」という判断はできません。

模範解答

$$|z-2|^2=1$$
より、中心$2$、半径$1$の円。

解説

式全体が実数であることを確認し、平方完成します。半径二乗の符号まで決めれば分類は終了です。円の共通点を求めるときは、二つの円の式を引いて二次項を消すと、共通弦を含む直線が得られます。同心なら直線にはならず、同一円か交点なしを別に調べます。

円周上の点$p$での接線は、半径$p-c$と接線方向$z-p$が垂直なので
$$\operatorname{Re}\{\overline{p-c}(z-p)\}=0.$$
前提は$|p-c|=R>0$です。接点が円上か分からないまま接線式を使いません。円・直線の式が得られた後に距離を求めるなら、ここで最適化の 9.1 へ進みます。

6.2　反射・垂線の足・点と直線の距離

性質と導出

直線が$a+td\ (t\in\mathbb R,\ d\ne0)$で与えられたら、$a$を引き、$d$で割ると実軸になります。実軸対称で共役を取り、元へ戻すと、$z$の反射点は
$$\boxed{z'=a+\frac d{\overline d}(\overline z-\overline a)}.$$
垂線の足は反射点との中点$h=(z+z')/2$です。原点を通る方向$d$への足なら
$$h=\frac{\operatorname{Re}(\overline d z)}{|d|^2}\,d$$
とも書けます。方向へ回転して実部だけを残す操作です。

模範解答

方向$d=1+i$、$a=0$より、反射点は
$$z'=\frac{1+i}{1-i}(2-i)=i(2-i)=1+2i.$$
したがって足は$h=(3+3i)/2$。

解説

足を未知数として共線・垂直の二条件を連立しても解けます。方向がすぐ分かる直線なら反射の中点が短く、法線形が既に与えられているなら次の直接式が短くなります。求めた足が直線上にあり、元の点との差が直線に垂直かを確かめて終了します。

直線が
$$\overline A z+A\overline z+C=0,\qquad A\ne0,\ C\in\mathbb R$$
なら、$A$は法線方向です。$\operatorname{Re}(\overline A z)=-C/2$と読めるので、距離と反射点は
$$ \begin{aligned} \text{点 }z\text{ と直線の距離}&= \frac{|\overline A z+A\overline z+C|}{2|A|},\\ z'&=-\frac A{\overline A}\,\overline z-\frac C{\overline A}. \end{aligned} $$
反射式は$z'=z-\dfrac{\overline A z+A\overline z+C}{|A|^2}A$から整理したものです。法線方向に符号付き距離の二倍だけ戻しています。分子は実数であること、$A\ne0$であることを使います。

6.3　単位円の弦・接線を短い式にする

性質と導出

$|a|=|b|=1,\ a\ne b$なら、弦$AB$を含む直線は
$$\boxed{z+ab\overline z=a+b}.$$
導出は共線条件からできます。$\overline a=1/a,\ \overline b=1/b$より、
$$ \begin{gathered} \frac{z-a}{b-a}=\frac{\overline z-1/a}{1/b-1/a}\\[3pt] \iff z-a=-ab\overline z+b \end{gathered} $$
で、上の式になります。$a=-b$という直径の場合も成立します。$a=b$のときは弦を定められず、同じ式を接線と混同しないでください。
原点からこの直線への足は$(a+b)/2$、原点を通る垂線は
$$z-ab\overline z=0.$$
実際、前者は弦の中点で、後者の式へ代入しても零になります。対蹠点なら足は零ですが、垂線の式は有効です。
接点$a$における単位円の接線は
$$\overline a z+a\overline z=2.$$

模範解答

直線は$z+i\overline z=1+i$、すなわち$x+y=1$。足は$(1+i)/2$。

解説

「同じ単位円上の二点と弦」が入口です。一般の座標連立より式が短くなります。外接円の中心・半径が別の値なら、5.2で単位円へ正規化し、求めた点を戻します。
共役一次式が得られたので、二直線の交点などは2.3へ戻って処理できます。単位円に置くことが目的なのではなく、共役を逆数へ変えて弦の式を軽くすることが目的です。

6.4　三角形の中心を定義から求める

性質と導出

外心は二つの等距離条件、垂心は二本の高さの垂直条件から求めます。外心を$o$とすると$|o-a|=|o-b|=|o-c|$を二乗して一次式二本へ。単位円上の三頂点なら外心は零で、垂心は
$$h=a+b+c$$
です。例えば$h-a=b+c$について
$$\operatorname{Re}\{\overline{c-b}(b+c)\} =\operatorname{Re}(\overline c b-\overline b c)=0$$
なので、$A$からの高さの直線上にあります。他の高さも同様です。高さを含む直線の所属条件なので、$h=a$の場合に$h-a=0$を誤って排除しません。
一般の外心$o$なら、単位円への移動・拡大から$h=a+b+c-2o$と戻せます。
内心は、対辺の長さを$A_0=|b-c|,\ B_0=|c-a|,\ C_0=|a-b|$と書けば
$$j=\frac{A_0a+B_0b+C_0c}{A_0+B_0+C_0}.$$
角の二等分線が対辺を隣辺比に内分することを使い、 5.3 の分点式を二回適用して得られます。例えば$A$の二等分線の足$d=(C_0c+B_0b)/(B_0+C_0)$と$a$の実数の加重平均になり、他の頂点からも同じ点になるので内心です。
中心の名前だけを特別な公式へ対応させるより、等距離・垂直・内分という既存の入口へ戻す方が、与えられた配置に合わせやすくなります。

6.5　四点の共円を、一般式と複比で判定する

性質と導出

既知の非共線な三点を通る円があるなら、その円の式へ第四点を代入する方法が安全です。例えば$1,-1$を通る円は、中心の実部が零なので、一般式の未知量を一つ減らせます。総合問題4で使います。
四つの点が対称に現れる式には、複比
$$Q=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)} {(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$$
を使う方法もあります。四点相異のもとで、$Q$が実数であることは「四点が同一円周上、または同一直線上」にあることと同値です。
これは二つの商の偏角が$\pi$の整数倍だけ一致する、つまり二つの向き付き角が同じ円を見込む条件として説明できます。代数だけで確かめるには、平行移動と非零定数倍で$z_3=0,\ z_2=1,\ z_1=t,\ z_4=w$とします。四点相異なので$t\ne0,1,\ w\ne0,1,t$です。
$$Q=\frac{t(1-w)}{t-w}$$
が実数である条件を分母を払って整理すると
$$ (t-\overline t)|w|^2 +(\overline t-|t|^2)w+(|t|^2-t)\overline w=0. $$
$t$が非実数なら$t-\overline t$で割ると 6.1 の円の形になり、$w=0,1,t$がその円の式を満たすことから、三点を通る円に確定します。$t$が実数なら$t\ne0,1$より式は$w-\overline w=0$となり、同一直線に確定します。除いた三点を実際の四点の条件へ戻すことで、主張が示されます。
したがって共円と結論する前に、三点非共線を別に確保します。例えば$0,1,2,3$の$Q$は$4/3$で実数ですが、四点は円周上にはありません。
非退化な一次分数変換$f(z)=(az+b)/(cz+d)$について
$$f(u)-f(v)=\frac{(ad-bc)(u-v)}{(cu+d)(cv+d)}$$
なので、四つの差を組んだ$Q$では余分な因子が全て消えます。よって複比は不変です。各点と像が有限で相異なり、分母が非零である条件を保ちます。これは 8.3 の分数変換と結び付きますが、定理名だけを覚える必要はなく、上の差の式から再現できます。

第7章　距離・角の条件から領域を確定する

7.1　等距離・距離比の境界を作る

性質と導出

$|z-a|=|z-b|$は、$a\ne b$なら垂直二等分線です。二乗すれば$|z|^2$が消えて直線になります。$a=b$なら全平面です。
$a\ne b,\ k>0$について
$$|z-a|=k|z-b|$$
は、$k=1$なら同じ直線、$k\ne1$ならアポロニウスの円で、
$$ \boxed{\text{中心 }\frac{a-k^2b}{1-k^2},\qquad \text{半径 }\frac{k|a-b|}{|1-k^2|}} $$
です。公式を忘れても、二乗して$|z|^2$の係数をまとめ、 6.1 で平方完成すれば再現できます。

模範解答

二乗して整理すると$|z|^2-8\operatorname{Re}z+12=0$。よって$|z-4|=2$。

解説

距離比という条件から二乗し、円の一般式にした後、中心と半径を読みました。定数倍を先に外せば、分数の絶対値一定も同じ入口になります。ただし商の分母が零となる点は、最初から除きます。

例えば$|(z-a)/(z-b)|=k$と、距離の式$|z-a|=k|z-b|$は、$z=b$を許すかが異なります。$k=0$なら距離の式は$z=a$ですが、商ではさらに$a\ne b$が必要です。
$a=b$なら、距離の式は$k=1$で全平面、$k\ne1$で一点$a$です。商では$a$を除くため、それぞれ全平面から$a$を除いた集合、空集合になります。商の絶対値を負の定数と等しいとする条件には解がありません。

7.2　絶対値不等式の側と境界を決める

性質と導出

$$|z-a|\leq k|z-b|$$
を、$k>0$として考えます。最初に等号の境界を作り、二乗して
$$ \begin{aligned} &(1-k^2)|z|^2\\ &\quad-2\operatorname{Re}\{(\overline a-k^2\overline b)z\}\\ &\quad+|a|^2-k^2|b|^2\leq0 \end{aligned} $$
とすれば、半平面・円板の内側・外側へ直せます。係数が消える場合は、全平面・一点などの退化も元の式で分類します。$1-k^2$で割るとき、符号が負なら不等号の向きが変わります。迷ったときは元の不等式を満たす試験点を一つ選び、図の側と一致するか確認します。
例えば$|z|<|z-2|$なら、$x^2+y^2<(x-2)^2+y^2$より$x<1$です。境界$x=1$は含みません。複数の条件があれば、各条件の表す集合の共通部分を取ります。
図だけで側を決めず、方程式・符号・試験点を一致させてください。分母の除外点が境界や内部に残ることもあります。

7.3　角条件で、反対向きと反対の弧を除く

性質と導出

$b\ne a$のもとで、
$$\frac{z-a}{b-a}\in\mathbb R,\quad \frac{z-a}{b-a}\geq0,\quad 0\leq\frac{z-a}{b-a}\leq1$$
は、それぞれ直線$AB$、$A$から$B$方向の閉半直線、線分$AB$を表します。正の条件にすれば端点$A$を除きます。比の実数性だけでは方向や線分の範囲までは決まりません。
非零の商$Q$の偏角を$\theta$に指定するときは、
$$ \begin{gathered} \operatorname{Im}\{(\cos\theta-i\sin\theta)Q\}=0,\\[3pt] \operatorname{Re}\{(\cos\theta-i\sin\theta)Q\}>0 \end{gathered} $$
とすれば、角が$\theta$の方向と反対向きを区別できます。偏角の代表値が指定されていれば、最後にその区間へ戻します。
特に$Q=(z-a)/(z-b)$は二定点を見込む角です。$\theta$が$\pi$の整数倍でなければ円の一方の弧になり、整数倍なら直線の一部になります。$z=a,b$は偏角や分母を定義できないので除きます。

模範解答

$z=x+iy,\ z\ne0,1$とすると
$$\frac z{z-1}= \frac{x^2+y^2-x-iy}{(x-1)^2+y^2}.$$
指定された角の条件は$x^2+y^2-x=0,\ y<0$。したがって
$$\boxed{|z-1/2|=1/2,\quad\operatorname{Im}z<0}.$$
この下半円上では$z\ne0,1$で、商は正の純虚数となるので十分でもある。

解説

実部零だけで止めると円全体を含めてしまいます。虚部の符号が弧を選び、端点の除外も同時に確かめられます。「一定角だから円」という判断は候補を得る段階であり、ここまで調べて軌跡が確定します。

7.4　円と開半直線の共有点を正の根で判定する

性質と導出

方向を単位複素数$d$、円の中心を$c$、半径を$R>0$とし、半直線を$td,\ t>0$とします。$c\overline d=p+iq$と置くと
$$ |td-c|=R \iff(t-p)^2+q^2=R^2. $$
よって共有点の必要十分条件は
$$\boxed{\Delta=R^2-q^2\geq0,\qquad p+\sqrt\Delta>0}.$$
前半が実根の存在、後半が少なくとも一つの根が正であることです。閉半直線なら後半を$\geq0$に変えます。
例えば中心$-1$・半径$1$の円と正実半直線は、直線までの距離が半径以下でも交わりません。二根は$0,-2$で、原点しか接していないからです。中心$1+i$・半径$1$なら二根は重根$1$となり、非零接点を含みます。逆に中心$-1/2$・半径$1$なら最大根$1/2>0$で、中心の射影が負でも共有点があります。
「円と直線の距離」だけでは不足し、「正の根」という新しい実数条件へ進むことが、この型の内部判断です。

第8章　写像を逆算して、像の全体を求める

8.1　逆式・媒介表示・共有点だけの判定を選ぶ

性質と導出

$z\in D$が動き$w=f(z)$のとき、求める集合は「ある$z\in D$が存在して$w=f(z)$となる$w$」の全体です。消去で得た方程式を満たすだけでは、元の点が存在するとは限りません。
式の形による分岐も明確です。一次式は 5.1 、逆数は 8.2 、一次分数式は 8.3 、二乗は 8.5 、相反式は 8.6 、共役を含む一次式は 8.7 へ進みます。
例えば$w=2iz+3,\ |z|=1$では$|w-3|=2$を得ます。逆にこの円上の任意の$w$から$z=(w-3)/(2i)$を作れば$|z|=1$で、円全体が像です。「回転拡大された円」という予測と、逆式による十分性が一致します。

8.2　逆数と反転、線分から円弧への対応

性質と導出

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$に対して、$1/z$は半径$1/r$・角$-\theta$です。一方、単位円に関する反転は「同じ半直線上で距離の積が1」なので$1/\overline z$です。逆数は、反転の後に実軸対称を行ったものです。
中心$c$、半径$R>0$の円に関する反転なら
$$w=c+\frac{R^2}{\overline z-\overline c},\qquad z\ne c.$$
共役があるかないかで、像の向きが変わります。

円・直線の式
$$A|z|^2+Bz+\overline B\,\overline z+C=0,\qquad A,C\in\mathbb R$$
へ$z=1/w$を代入し、$|w|^2$を掛けると
$$C|w|^2+\overline B w+B\overline w+A=0,\qquad w\ne0.$$
円か直線になると予測できますが、最後に$w=0$の除外を戻します。
原点を通る円周は、原点を除いて直線全体へ移ることがあります。原点を通らない直線は、原点を欠く円へ移ります。原点を通る直線は、原点を欠く直線へ移ります。元で一点を除いたという理由だけで、像にも別の欠点が一つ残ると考えてはいけません。

模範解答

$w\ne0$であり、$\operatorname{Re}(1/w)=1$から
$$\operatorname{Re}w=|w|^2 \iff |w-1/2|=1/2.$$
逆に、この円上の$w\ne0$に対し$z=1/w$は$\operatorname{Re}z=1$を満たす。したがって円$|w-1/2|=1/2$から原点を除いたもの。

解説

方程式を得た後、逆数の像は零にならないという除外を残しました。逆向きには
$$ \begin{gathered} z\ne0,\quad |z-1/2|=1/2\\[3pt] \iff\operatorname{Re}(1/z)=1 \end{gathered} $$
です。この直径$0,1$の円は、逆数で実部一定の直線へ移る、実戦で便利な形です。

線分なら円全体で終わらない
$z=1/2+it,\ -\sqrt3/2\leq t\leq\sqrt3/2$の逆数像では、
$$|w-1|=1,\qquad \operatorname{Re}w=\frac{1/2}{1/4+t^2}\geq\frac12.$$
逆に円$|w-1|=1$上で$\operatorname{Re}w\geq1/2$なら、$w\ne0$で$\operatorname{Re}(1/w)=1/2$、さらに$|\operatorname{Im}(1/w)|\leq\sqrt3/2$となるので、指定線分の元像があります。よって答えは
$$|w-1|=1,\quad\operatorname{Re}w\geq1/2$$
の円弧です。両端を含み、元の中点$1/2$の像$2$を通ります。円の短い弧・長い弧を見た目だけで選ばず、媒介変数の範囲か中間点で選別します。

8.3　一次分数変換の退化・極・逆式

性質と導出

一次分数式$w=(az+b)/(cz+d)$では、分母が恒等的に零でないことを先に確かめます。

$$w=\frac{az+b}{cz+d}$$
では、最初に$ad-bc$と$cz+d=0$を調べます。分母が恒等的に零なら写像を定義できません。$ad-bc=0$なら、定義できる点では定数になりますが、約分前の分母の除外は残します。
$ad-bc\ne0$なら逆式は
$$\boxed{z=\frac{b-dw}{cw-a}},\qquad cw-a\ne0.$$
始域の条件へ代入し、円・直線・領域の式へ戻します。$c=0$なら一次変換です。$c\ne0$なら$w=a/c$は有限の元像を持たないため、得た像の式にこの値が入るかを確認します。

模範解答

元の極$z=1/3$は単位円上にない。逆式は$z=(w+1)/(3w-1)$なので、
$$|w+1|=|3w-1|\iff |w-1/2|=1/2.$$
この円に$w=1/3$は含まれない。よって全ての円周上の$w$から逆式で単位円上の$z$を作れ、像はこの円全体。

解説

7.1の距離比へ自然に帰着しましたが、そこで終わらず逆式の分母を検査しました。この例では分母零の候補は円上にないので、余分な除外点を付けません。

図形変換として見通しを作りたいときは、
$$ \frac{az+b}{cz+d} =\frac ac+\frac{bc-ad}{c^2(z+d/c)} \qquad(c\ne0) $$
と分解できます。平行移動、逆数、定数倍、平行移動の順です。分解で像の種類を予測し、逆式で全点の実現を確認する、と役割を分けると自然です。

8.4　円板の像を、二乗差と逆式で示す

性質と導出

$|N/D|\leq1$を示すなら、まず$D\ne0$を保証し、
$$|D|^2-|N|^2\geq0$$
へ直します。商の実部・虚部を長く展開するより、交差項が打ち消し合うことが多くあります。

模範解答

$|\overline a z|<1$より分母は非零。また、
$$ \begin{gathered} |1-\overline a z|^2-|z-a|^2\\[3pt] =(1-|a|^2)(1-|z|^2)>0 \end{gathered} $$
なので$|w|<1$。
逆に任意の$|w|<1$に対し
$$z=\frac{w+a}{1+\overline a w}$$
と置く。分母は非零で、
$$ \begin{gathered} |1+\overline a w|^2-|w+a|^2\\[3pt] =(1-|a|^2)(1-|w|^2)>0 \end{gathered} $$
から$|z|<1$であり、元の写像式も満たす。したがって像は単位円の内部全体。

解説

包含を示す二乗差と、十分性を示す逆式を分けました。閉円板や円周でも同じ恒等式が使え、$|a|<1$なら分母は非零です。$a$の範囲を変えれば符号や極の位置が変わるので、そのまま同じ結論を流用しません。
$|a|=1$では$a-b=a(1-\overline a b)$なので、
$$\left|\frac{a-b}{1-\overline a b}\right|=1\qquad(b\ne a).$$
等号が常に成り立つ形ですが、$b=a$では$0/0$となります。単位円条件を使う前に分母を確認する好例です。

等距離から取り出した交差項を代入する実演も置きます。$0<|\alpha|<1,\ |z|=|z-\alpha|$なら
$$2\operatorname{Re}(\overline\alpha z)=|\alpha|^2.$$
ゆえに$1+\overline\alpha z=0$は、実部が$-1$となるため不可能です。さらに
$$ \begin{gathered} |1+\overline\alpha z|^2-|z-2\alpha|^2 \\[3pt] =(1-|\alpha|^2)(1-|z|^2). \end{gathered} $$
したがって$|z|\leq1$なら$\left|(z-2\alpha)/(1+\overline\alpha z)\right|\leq1$で、等号は元の等距離条件を満たす$|z|=1$の点で成立します。等距離を読んだ段階と、得た実部を二乗差へ使う段階は、どちらも既存の入口です。

8.5　二乗写像では、始域の実パラメータを残す

性質と導出

逆式が多価になる写像では、始域を先に一つの実パラメータで表す方が自然です。直線なら実数$t$、円なら角$t$、半直線なら正の半径$r$を動かします。何が一定で、何が自由かは問題文に書かれています。
二乗写像
直線$z=1+it,\ t\in\mathbb R$を$w=z^2$で送ると
$$ \begin{gathered} x=1-t^2,\quad y=2t\\[3pt] \Longrightarrow\quad x=1-y^2/4. \end{gathered} $$
任意の実数$y$から$t=y/2$を戻せるので、放物線全体です。$t$の区間が指定されていれば、同じ区間から得られる部分だけにします。
原点を通る直線$z=td$なら$w=t^2d^2$であり、放物線ではなく半直線へ退化します。原点を始域から除けば、像の原点も除きます。「二乗した直線はいつも非退化な放物線」とはしません。

8.6　相反写像の楕円・線分・双曲線の片枝

性質と導出

円を相反写像で送る
$c>0,\ |z|=r>0,\ w=z+c/z$なら、
$$ \begin{gathered} z=r(\cos t+i\sin t),\\[3pt] w=(r+c/r)\cos t+i(r-c/r)\sin t. \end{gathered} $$
$r\ne\sqrt c$なら楕円
$$\frac{x^2}{(r+c/r)^2}+\frac{y^2}{(r-c/r)^2}=1$$
の全体、$r=\sqrt c$なら実線分$[-2\sqrt c,2\sqrt c]$です。楕円の全点から$\cos t,\sin t$を戻せること、線分では$\cos t$が$[-1,1]$全体を動くことが十分性です。零となる半軸で割ってはいけません。
係数$c$が非零複素数なら、その偏角の半分を使います。$c=|c|(\cos2\phi+i\sin2\phi)$、
$$z=(\cos\phi+i\sin\phi)u$$
と置くと
$$w=(\cos\phi+i\sin\phi)\left(u+\frac{|c|}{u}\right).$$
二項に共通の回転因子を作るための半角です。都合のよい回転を思い付く操作ではありません。$c=0$なら元の一次写像へ戻ります。
半直線を動く場合
$a>0,\ \arg z=\pi/4,\ w=z+a^2/z$なら、$z=r(1+i)/\sqrt2,\ r>0$とし、
$$x=\frac{r+a^2/r}{\sqrt2},\qquad y=\frac{r-a^2/r}{\sqrt2}.$$
よって$x^2-y^2=2a^2,\ x>0$です。逆に右枝の任意の点から$r=(x+y)/\sqrt2>0$を戻せます。左枝は得られません。消去した双曲線の式だけで終えると、半径の正値条件を落とします。

8.7　共役一次写像の楕円と退化

性質と導出

共役を含む一次写像
$w=az+b\overline z+c$で$|z|=1$なら、$z=\cos t+i\sin t$を代入して実虚部を整理します。例えば$w=2z+\overline z$は$w=3\cos t+i\sin t$で、半軸$3,1$の楕円全体です。
一般には半軸の長さが$|a|+|b|,\ \bigl||a|-|b|\bigr|$になります。導くには$a=A(\cos\alpha+i\sin\alpha)$、$b=B(\cos\beta+i\sin\beta)$とし、
$$ \begin{gathered} u=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}+i\sin\frac{\alpha+\beta}{2},\\[3pt] v=\cos\frac{\beta-\alpha}{2}+i\sin\frac{\beta-\alpha}{2} \end{gathered} $$
と置きます。$z=v(\cos t+i\sin t)$なら
$$\frac{w-c}{u}=(A+B)\cos t+i(A-B)\sin t.$$
$A=B>0$で線分、$A=B=0$で点、片方だけ零なら円です。零係数の角は便宜上任意に取れ、結果の円・点の集合は変わりません。
$|a|\ne|b|$なら 2.3 の共役連立で逆に戻せます。等しい場合の退化は、まさに一実パラメータしか像に残らないことを表しています。

8.8　補助手段：単位円の有理パラメータ表示

性質と導出

三角関数を残した消去が進みにくいときは、
$$ z=\frac{1-t^2+2it}{1+t^2},\qquad t\in\mathbb R $$
を使えます。$t=\tan(\theta/2)$による半角の置換です。分母$1+t^2$は正で、$z=-1$を除く単位円の全点を表します。実際、$z=x+iy,\ |z|=1,\ z\ne-1$から$t=y/(1+x)$と置けば上の式に戻ります。
角や円弧の範囲があるなら$t$の区間へ変換し、取り落とした$z=-1$を別に元の条件で確認します。非零の式を約分した場合、その零も除外条件として保持します。
例えば$|z|=1,\ 2\operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z=2$なら
$$2(1-t^2)+2t=2(1+t^2)$$
から$t=0,1/2$、よって$z=1,(3+4i)/5$です。$z=-1$は元の一次条件を満たしません。
この例は円と直線の成分連立でも短く解けます。有理式にすればいつも第一選択になるわけではありません。極形式・共役の逆数化・逆式のいずれでも整理できないとき、有限次数の実数式へ戻す確実な選択肢として持っておきます。

第9章　評価の式と、達成する点をそろえる

9.1　三角不等式と、円・円板上の距離

性質と導出

二項の和は、向きを含めて評価する

上下界が目的なら
$$\bigl||u|-|v|\bigr|\leq|u+v|\leq|u|+|v|$$
を使います。非零の二項について、上側の等号は同じ方向、下側の等号は反対方向のときです。零を含む場合は元の式で確認します。例えば$\operatorname{Re}(u\overline v)\leq|u||v|$を上の展開式へ入れれば上側が得られます。実部が絶対値に等しいのは$u\overline v$が非負実数のときであり、等号の向きも説明できます。
一般の実数式$A,B$を二乗するときは、両者が非負か確認してください。$A^2=B^2$から常に$A=B$が従うわけではありません。

円周・円板・開円板を区別する

$|z-c|=R$の円周上で$d=|c-a|$とすると
$$\boxed{|d-R|\leq|z-a|\leq d+R}.$$
中心$c$、定点$a$、動点$z$を一直線に並べる位置で両端が実現します。$a=c$なら距離は常に$R$、$R=0$なら一点の場合として直接確かめます。
閉円板$|z-c|\leq R$では、
$$ \begin{gathered} \text{最小値}=\begin{cases}0&d\leq R,\\d-R&d>R,\end{cases}\\[3pt] \text{最大値}=d+R. \end{gathered} $$
$a$が円板の内部なら、最小値は$z=a$での零です。円周だけの場合の$R-d$と取り違えません。
開円板では、境界にしかない候補は達成されません。例えば$|z-2|<2$上で$|z-3i|$は、両端を含まない
$$\sqrt{13}-2<|z-3i|<\sqrt{13}+2$$
です。範囲の端を最大値・最小値と呼ぶ前に、動点がその位置を取れるかを確かめます。
$a\ne0$なら
$$|az+b|=|a|\,|z+b/a|$$
なので一次式の絶対値も距離です。$a=0$は定数として処理します。
例えば$|z|=1$で$|2z^2+z|$を求めるなら、
$$|2z^2+z|=|2z+1|=2|z+1/2|$$
より最小$1$、最大$3$で、それぞれ$z=-1,1$が達成します。二次式という見た目から、すぐに三角関数の微分へ進む必要はありません。

9.2　偏角の端を接線で求め、累乗後の増減を調べる

性質と導出

ここでは$R>0$とします。$R=0$なら点$c$一つなので、$c\ne0$ではその偏角だけ、$c=0$では偏角は定義できません。
原点が円$|z-c|=R$の外部なら、中心の偏角を$\phi$とし、$0\leq\delta<\pi/2$を
$$\sin\delta=R/|c|$$
で定めます。二本の接線から偏角の範囲は$\phi-\delta$から$\phi+\delta$です。両接点で端を達成し、中間方向も円と交わります。代表値の区間をまたぐなら、二つの区間に分けて表します。
原点が円周上で$R>0$なら、原点を除いた偏角は$\phi-\pi/2$と$\phi+\pi/2$の間で、両端を含みません。原点が円内部なら全方向が実現します。円が原点一点の場合には偏角そのものが定義できません。
例えば中心$2$・半径$1$なら、偏角は$[-\pi/6,\pi/6]$。この角を累乗で何倍かして三角関数へ渡すときは、 3.2 で述べた増減区間の確認を加えます。

9.3　距離二乗和を、重み付きの中心へまとめる

性質と導出

複数の距離二乗が足されていたら、交差項の一次式をまとめます。実数$\lambda_j\geq0$、$\Lambda=\sum\lambda_j>0$、$g=\sum\lambda_j a_j/\Lambda$に対して、
$$ \begin{aligned} \sum_j\lambda_j|z-a_j|^2\\ &=\Lambda|z-g|^2\\ &\quad+\sum_j\lambda_j|a_j|^2-\Lambda|g|^2 \end{aligned} $$
です。各項を$z\overline z-\overline{a_j}z-a_j\overline z+|a_j|^2$と展開すれば、両辺の係数が一致します。
無制約なら最小は$z=g$。円・直線などの制約があれば、$g$からその図形までの距離の問題へ戻ります。係数が負の場合まで、最小という結論をそのまま拡張しません。
実際、上の恒等式自体は実数の重みで$\Lambda\ne0$なら成立します。$\Lambda<0$では、距離を最小にする点が目的式を最大にする点になります。$\Lambda=0$なら平方完成の分母で割らず、
$$ \begin{aligned} \sum_j\lambda_j|z-a_j|^2\\ &=-2\operatorname{Re}\left(\overline{\sum_j\lambda_j a_j}\,z\right)\\ &\quad+\sum_j\lambda_j|a_j|^2 \end{aligned} $$
という一次の実部へ戻します。例えば円周上なら$z=c+R(\cos t+i\sin t)$を入れ、実部の値域を求めます。一次の係数も零なら定数です。重みの符号と和を確認すれば、この分岐も計算前に判断できます。

模範解答

$$|z|^2+|z-2|^2=2|z-1|^2+2.$$
単位円上で$0\leq|z-1|\leq2$なので、最小$2$を$z=1$、最大$10$を$z=-1$で取る。

解説

個々の距離を別々に最適化せず、重み付きの中心$1$へまとめました。目的式が定数と距離二乗になったところで9.1の入口です。

9.4　曲線の条件で目的式を実数一変数へ下げる

性質と導出

二定点からの距離の和が一定なら、焦点を持つ楕円です。和が焦点間距離より大きいときに非退化、等しいときは二焦点を結ぶ線分、小さいときは空集合です。楕円と分かった後、目的式の実部を$x,y$で書き、楕円の式で一方を消します。

模範解答

$z=x+iy$とすると焦点条件は$x^2/4+y^2=1$。したがって$-2\leq x\leq2$で、
$$ \begin{aligned} \operatorname{Re}(z+1)^2&=(x+1)^2-y^2\\ &=\frac54x^2+2x\\ &=\frac54\left(x+\frac45\right)^2-\frac45. \end{aligned} $$
最小値は$-4/5$で、$z=(-4\pm\sqrt{21}i)/5$が達成する。最大値は両端を比較して$9$で、$z=2$が達成する。

解説

実部を取る前に複素式を微分するのではなく、実数の二次式へ直しました。$x$の許容区間を残し、極値候補に対応する$y$が実際に存在するところまで確認しています。

9.5　分数の実部は、固定した成分と残る自由度で調べる

性質と導出

逆数の実部は、絶対値だけでも偏角だけでも決まりません。$z=x+iy\ne0$なら
$$\operatorname{Re}\frac1z=\frac{x}{x^2+y^2}.$$
領域の条件が$y^2\geq h(x)$のような形なら、すぐに二変数を同時に動かすのでなく、まず$x$を固定します。$v=y^2$と置けば、$v\geq0$を満たす実数一変数の分数になります。

例えば$v\geq h(x)$なら、$v=y^2\geq0$も必要です。許される最小の$v$は、$h(x)\leq0$なら$0$、$h(x)>0$なら$h(x)$です。ただし$x=0$では原点を除くため、$v=0$は選べません。$h(x)$の符号が変わる場所で、$v=0$の部分と$v=h(x)$の部分に分かれます。反対側の最値を調べる場合は、$v$の上限があるかを確認します。$v\to\infty$で値が零へ近づいても、零を達成する$x=0$の点がなければ最値とは呼べません。
ここで「境界を調べる」のは憶測ではありません。固定した$x$について残る変数への単調性を示したからです。任意の分数関数へ無条件に使える定石ではなく、分子を固定すると分母の変化が読みやすい場面で使います。第14章の逆数の実部を扱う総合問題では、この手順で最値の候補を探した後、短い不等式の答案にまとめます。

9.6　積の和を評価する：二乗和との対応

性質と導出

積の和と二乗和が同時に現れる場合は、項どうしの対応を保って評価します。複素数$u_1,\ldots,u_n$、$v_1,\ldots,v_n$について
$$ \left|\sum_{j=1}^n u_j\overline{v_j}\right|^2 \leq\left(\sum_{j=1}^n|u_j|^2\right) \left(\sum_{j=1}^n|v_j|^2\right) $$
が成立します。複素数の場合のコーシー・シュワルツの不等式ですが、次の二乗の展開だけで導けます。
$$ \begin{gathered} S=\sum u_j\overline{v_j},\\[3pt] U=\sum|u_j|^2,\qquad V=\sum|v_j|^2 \end{gathered} $$
とします。$V=0$なら全ての$v_j$が零なので成立します。$V>0$なら$t=S/V$と置き、
$$ \begin{aligned} 0&\leq\sum|u_j-tv_j|^2\\ &=U-2\operatorname{Re}(\overline tS)+|t|^2V\\ &=U-\frac{|S|^2}{V} \end{aligned} $$
を得ます。等号は、全ての$j$について$u_j=tv_j$となるとき、かつそのときに限ります。$V=0$は別に扱います。

模範解答

上の不等式で$(u_1,u_2)=(z,w)$、$(v_1,v_2)=(1,-2i)$とすると、$|z+2iw|^2\leq5$。$z=t,w=-2it,|t|=1/\sqrt5$で等号が成立するので最大値は$\sqrt5$。最小値は非負性から零以上で、$z=-2i/\sqrt5,w=1/\sqrt5$なら零を取る。よって最小値は$0$。

解説

制約が二乗和なので、各項を別々に三角不等式で評価するより、二乗和をそのまま使う方が達成条件までそろいます。最大値の等号条件と、最小値で一次式を零にする条件は別々に作ります。

第10章　複数の変数を、実現できる条件へまとめる

10.1　二動点の和・積と、相異性の保持

性質と導出

二つの変数が独立に動けるか、相異なる必要があるか、同じ媒介変数で結ばれているかを先に確認します。
中心を除いた二円周の半径が$r,s\geq0$なら、和の範囲は
$$|r-s|\leq|w|\leq r+s.$$
上・下界だけでなく全中間半径が実現します。実際、$u+v=w,\ |u|=r,\ |v|=s$は、中心$0$・半径$r$の円と中心$w$・半径$s$の円の共有点の存在に等価で、二円の交点条件がちょうどこの不等式です。零半径や$w=0$は直接確かめられます。
円板$|u|\leq r$と円周$|v|=s$の和なら、
$$\begin{cases}0\leq|w|\leq r+s&r\geq s,\\s-r\leq|w|\leq r+s&r< s.\end{cases}$$
この範囲の$w\ne0$へ、$w$と同方向で長さ$s$の$v$を選べば$|w-v|=\bigl||w|-s\bigr|\leq r$なので実現できます。$w=0$は$s\leq r$のときに実現します。二円板の和は半径$r+s$の円板全体で、$u=rw/(r+s),\ v=sw/(r+s)$が逆構成です。$r+s=0$は一点です。
中心や平均の係数が付いていれば、最初に中心を引き、最後に半径も同じ倍率で戻します。

模範解答

$w=(u+v)/2$とすると
$$w-(4+3i)=\frac u2+\frac{v-(8+6i)}2.$$
右辺は半径$1/2$の円板と半径$3/2$の円周の和なので、
$$1\leq|w-(4+3i)|\leq2.$$
面積は$\pi(2^2-1^2)=3\pi$。

解説

半径を平均の係数$1/2$で縮めてから公式を使いました。もし最初の条件が$|u|\leq2$なら、半径は$1,3/2$となり、内半径$1/2$・外半径$5/2$、面積$6\pi$です。条件の数値を一つ変えると穴の大きさが変わるので、元の半径を丁寧に読みます。

積では、一方の変数$\beta$が単位円全体を独立に動くなら、$|\alpha\beta|=|\alpha|$で、$\beta$が全方向を作ります。したがって$\alpha$の絶対値の値域を半径とする全点が像になります。角が制限されている場合や二変数が従属する場合に、この結論を流用しません。
和では一方を固定した平行移動、積では半径と角の分担、二乗では成分の媒介表示。この選び分けを総合問題7で同じ二動点を使って比較します。
「相異なる二点」を変数変換で保持する
実数$s,t$の和と二乗和が見えたら、
$$ \begin{gathered} u=s+t,\quad v=s-t,\\[3pt] s^2+t^2=\frac{u^2+v^2}{2},\\[3pt] st=\frac{u^2-v^2}{4} \end{gathered} $$
が自然です。逆式$s=(u+v)/2,\ t=(u-v)/2$も残します。$s\ne t$は$v^2>0$となり、像の境界を除くことがあります。
ただし、元の点を$Z(s),Z(t)$と書いたとき、「点が異なる」と「媒介変数が異なる」が等価なのは、表示が単射である場合です。$Z(t)=\cos t+i\sin t,\ t\in\mathbb R$では$0$と$2\pi$が同じ点を表します。総合問題13では逆数による単射な表示を使い、この問題を避けます。

10.2　制約式を変数に置き、逆連立で独立性を示す

性質と導出

$|L_1(\alpha,\beta)|\leq r,\ |L_2(\alpha,\beta)|\leq s$のような制約では、$u=L_1,\ v=L_2$を置きます。元の$\alpha,\beta$を任意の$u,v$から戻せるなら、二つの円板を独立に動かせます。
例えば$u=\alpha+\beta,\ v=\alpha-\beta$なら、$\alpha=(u+v)/2,\ \beta=(u-v)/2$です。$|u|\leq1,\ |v|\leq3$のもとで
$$\alpha+i\beta=\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v$$
は半径$2\sqrt2$の円板全体を動きます。各定数倍が円板を作り、その和を 10.1 で処理したからです。
制約式を二つ置いたという事実だけで独立性が保証されるわけではありません。例えば二つの式が同じなら、二変数として自由に選べません。
また、三角不等式で得た上界を最大値と呼ぶには、全ての項が最大長を取り、同じ方向へ向くことを元の係数で同時に実現できるか確認します。一般の目標値が円板内部にある場合に、境界の等号条件を強制する方法も誤りです。総合問題8ではこの違いを確かめます。

10.3　動く図形族を、区間内パラメータの存在へ

性質と導出

実数$t$の値ごとに決まる図形を$C_t$とします。$t$を許された範囲で動かしたとき、少なくとも一つの$C_t$に属する点の全体が通過領域です。この領域を調べる際は、$w$を固定して「この点を作る許容$t$があるか」と読み替えます。$F(w,t)=0$が$t$の二次式なら、次を順に調べます。

1. 二次係数が零となる場合を先に分け、一次式・恒等式・矛盾を処理する。
2. 二次なら実根があるかを調べる。
3. 少なくとも一根が$t$の許容区間に入り、元の除外条件も満たすかを調べる。
4. その$t$から、必要なら元の$z$まで構成する。
   直接根が簡単なら解の公式で区間へ戻します。式が重いときは、二次関数の端点と区間内の頂点で最小・最大を調べ、値域に零が入るかを判定しても構いません。開区間では端の零が実現するとは限らないので、根を直接照合する方法が安全です。
   例えば$C_t:|w-t|=1,\ -1\leq t\leq1$なら
   $$t=x\pm\sqrt{1-y^2}$$
   のいずれかが$[-1,1]$へ入ることが必要十分です。$|y|\leq1$だけでは不足します。点$(3,0)$では実根$2,4$があっても、どちらも許容区間外です。
   除外点が動くときも、点ごとに存在を判定します。$C_0$が単位円から$1$を除いたもの、$C_1$が単位円から$-1$を除いたものなら、和集合は単位円全体です。各図形の除外点をまとめて和集合から引く方法は誤りです。
   一方、ある候補点を作る$t$が一意で、その$t$ではまさに除外点になるなら、その点は実現しません。この区別を含む詳しい実演が総合問題12です。

   手順｜C35　適用条件と実行の要点

   どの条件で使うか　図形$C_t$や係数が区間を動き、その全体の通過領域を問われる。

   
   

   何を得るか　候補点を固定し、許された$t$が少なくとも一つあるかを問う。

   
   

   操作と分岐　$F(w,t)=0$を$t$の方程式として解く。次数低下を分け、実根・区間内の根・元の除外を順に調べる。閉区間なら連続な二次関数の最小最大に零が挟まれるかでもよい。

   
   

   止まったとき・終了時　判別式だけでは区間制限が抜ける。同じ点を別の$t$が実現できるなら、その点は除かない。最後に$t$と必要な元の点を構成する。

   
   

10.4　根を固定して、許される係数を逆算する

性質と導出

実係数の$z^2+pz+q=0$で、$p,q$がそれぞれ区間を動くとします。解の公式で二係数を同時に動かす前に、根$z=x+iy$を固定します。
$$ \begin{cases} x^2-y^2+px+q=0,\\ y(2x+p)=0. \end{cases} $$
非実数枝$y\ne0$なら$p=-2x,\ q=x^2+y^2$に確定します。これを係数の範囲へ戻せば必要十分条件です。
実数枝$y=0$は別に残します。$p_0\leq p\leq p_1,\ q_0\leq q\leq q_1$なら、$x^2+px$の値域
$$ \begin{cases}\left[x^2+p_0x,\ x^2+p_1x\right]&x\geq0,\\\left[x^2+p_1x,\ x^2+p_0x\right]&x<0\end{cases} $$
が$[-q_1,-q_0]$と交わることが必要十分です。$x$の符号で端が入れ替わるので、必要なら正負に分けて書きます。最後に選んだ値から実際の$p,q$を戻せば、根の実現も示せます。
この二枝を分けないまま$y$で割ると、実軸上の長い線分を落とすことがあります。総合問題9で全領域を求めます。
反対に「特定の種類の根を持つ係数の軌跡」なら、根をパラメータにします。例えば
$$z^2-\alpha z+2i=0$$
は零根を持たず、$\alpha=z+2i/z$です。
実数根$t\ne0$を持つなら$\alpha=t+2i/t$なので、$\alpha=x+iy$の軌跡は$xy=2$の両枝全体。単位円上の根を持つなら 8.6 の半角回転により
$$ \alpha=\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right) (3\cos t-i\sin t). $$
したがって$\beta=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))\alpha$の軌跡は
$$\beta=\sin t+3i\cos t,\qquad x^2+y^2/9=1$$
です。全ての$t$が許されるため楕円全体となります。根の存在という条件を、既知の相反写像の入口へ移しました。

第11章　反復と有限集合に、保存される式を探す

11.1　数列の比と円の式を同時に帰納する

性質と導出

$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$、$b_n=a_{n+1}/a_n$なら、定義できる範囲で
$$b_{n+1}=1+\frac1{b_n}.$$
「全ての$b_n$が同じ円周上」という要求なら、一般項を求める前に円の式がこの変換で保存されるかを調べます。
最初の三点が非共線なら、 6.1 の円の一般式へ代入して中心・半径を決め、候補の式を作れます。異なる三点が共線なら有限半径の円は存在せず、三点に一致がある場合も円は一意に決まりません。その場合は定数列・直線上の不変性も確認し、元の要求を読み直します。三点を見て円を予測することと、全項について証明することは別です。
例えば$b_1=i,\ b_2=1-i,\ b_3=(3+i)/2$を通る円は
$$|b-1/2|=\frac{\sqrt5}{2} \iff |b|^2-\operatorname{Re}b=1.$$
$b$がこの円上なら$b\ne0$で、
$$ \begin{gathered} \left|1+\frac1b\right|^2\\[3pt] -\operatorname{Re}\left(1+\frac1b\right)-1\\[3pt] =-\frac{|b|^2-\operatorname{Re}b-1}{|b|^2}=0. \end{gathered} $$
よって円は保たれます。式を作れなければ、一般の円$|b|^2+A\operatorname{Re}b+B\operatorname{Im}b+C=0$を用意し、初期値や変換後の式から係数を決める方法に戻れます。
元の$a_n$が非零であることも同時に帰納します。分母の非零を未証明のまま全ての比を定義すると、論証が循環します。この点まで含めた模範解答は総合問題11に置きます。

11.2　不動点から一次分数漸化式の一般項を作る

性質と導出

$$z_{n+1}=f(z_n),\qquad f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$
で一般項を求めるときは、$p=f(p)$となる不動点との差を使います。まず元の分母、$ad-bc=0$の退化、$c=0$の一次漸化式を分けます。分母が恒等的に零なら定義できません。$ad-bc=0$なら定義できる点で定数ですが、その定数を次に代入しても定義できるかを確認します。
$c=0,\ d\ne0$では$A=a/d,\ B=b/d$と置きます。$A=0$なら$n\geq2$で$z_n=B$です。$A=1$なら$z_n=z_1+(n-1)B$、$A\ne0,1$なら
$$z_n=A^{n-1}\left(z_1-\frac{B}{1-A}\right)+\frac{B}{1-A}$$
です。以下では、残った一次分数型を処理します。
$ad-bc\ne0,\ c\ne0$なら、不動点は
$$cp^2+(d-a)p-b=0$$
の根です。この根が元の極にならないことは、極と不動点の式を両立させると$ad-bc=0$となることから確認できます。
異なる二つの不動点$p,q$
不動点の式を使って分子を因数分解すると
$$f(z)-p=\frac{(a-cp)(z-p)}{cz+d}$$
です。したがって
$$ \frac{f(z)-p}{f(z)-q} =\lambda\frac{z-p}{z-q},\qquad \lambda=\frac{a-cp}{a-cq}. $$
初期値が$q$なら定数列として分け、それ以外では
$$ \begin{gathered} u_n=\frac{z_n-p}{z_n-q},\\[3pt] u_n=\lambda^{n-1}u_1,\\[3pt] z_n=\frac{p-q\,u_n}{1-u_n} \end{gathered} $$
となります。$\lambda$の分子・分母は非零で、$c(p-q)\ne0$より$\lambda\ne1$です。途中で$u_n=1$となれば有限の$z_n$に戻れず、元の数列の定義が破れるので、その初期値や添字を除きます。
全項が定義できる場合、$|\lambda|<1$なら$q$の定数列を除いて$z_n\to p$。$|\lambda|>1$なら$p$の定数列を除いて$z_n\to q$です。$|\lambda|=1$では角や周期を調べます。不動点でない列は有限の極限を持ちません。実際、$|u_n|$が正の一定値で、$\lambda\ne1$なら$|u_{n+1}-u_n|$も正の一定値なので、有限の$z$への収束と両立しません。$q$への収束も$|u_n|$一定と両立しません。
重なった不動点$p$
重なった根の条件から$a-d=2cp$なので、$cz+d=c(z-p)+(a-cp)$と書けます。これを$f(z)-p$の式へ入れ、今度は$(z-p)$の逆数を使うと
$$\frac1{f(z)-p}=\frac1{z-p}+\frac c{a-cp}.$$
したがって$z_1=p$は定数列として分け、それ以外では
$$v_n=\frac1{z_n-p} =\frac1{z_1-p}+(n-1)\frac c{a-cp}$$
という等差数列です。$v_n=0$となる添字では有限の$z_n$へ戻れません。全項が定義できれば、差$c/(a-cp)$は非零なので$|v_n|\to\infty$、従って$z_n\to p$です。
例えば$z_{n+1}=z_n/(z_n+1),\ z_1=1$なら$p=0$で、
$$\frac1{z_{n+1}}=\frac1{z_n}+1$$
から$z_n=1/n$。逆に初期値$z_1=-1/2$なら$z_2=-1$の次で分母が零になり、全項を定義できません。一般項の形が得られても、元の式の定義域を最後まで確認します。
円上性だけなら 11.1 の保存式、一般項・極限ならこの不動点の変換、という要求による選択です。

11.3　有限個の非零複素数の積を比較する

性質と導出

正整数$n$に対し、集合$M$が相異なる$n$個の非零複素数からなり、任意の二元の積を再び含むとします。$z\in M$を固定すると、$u\mapsto zu$は$M$への写像で、$zu=zv$なら$u=v$なので単射です。有限個の$n$点を重複なく$n$点へ送るため、像は$M$全体です。
全要素の積$P\ne0$を比べると
$$P=\prod_{u\in M}(zu)=z^nP$$
なので$z^n=1$。$M$は$n$個の1の$n$乗根を全て含み、それ以外を含まない集合になります。群論の定理は必要ありません。

模範解答

上の議論から$M$は1の$n$乗根全体で、$1\in M$。負について閉じるので$-1\in M$、したがって$(-1)^n=1$より$n$は偶数。$n=4$なら$M=\{1,i,-1,-i\}$で、実際に積と負について閉じる。

解説

「有限個」と「非零」と「積で閉じる」が、全要素の積の比較の入口です。逆数について閉じることが追加されても、この結論は変わりません。必要性から候補集合を得た後、元の全ての閉性を逆に確認して終了します。

11.4　全ての根を保つ倍率を、次数の差から絞る

性質と導出

「全ての$f(z)=0$の解について$f(wz)=0$」なら、根集合全体を$w$倍して保つ条件です。非零の有限根集合で$w\ne0$なら、 11.3 と同じく乗算は根集合の並べ替えになります。$w=0$が可能かは$f(0)$で先に確認します。
根を全部具体計算しなくても、二つの多項式の差で次数を下げられる場合があります。

模範解答

$$ \begin{gathered} (z^2-1)f(z)=z^8-1,\\[3pt] f(1)=f(-1)=4 \end{gathered} $$
より、$f$の根は1の8乗根から$\pm1$を除いた相異なる6個。
$g(z)=f(wz)-w^6f(z)$と置くと
$$ \begin{aligned} g(z)&=(w^4-w^6)z^4\\ &\quad +(w^2-w^6)z^2+1-w^6. \end{aligned} $$
これは4次以下であり、その6個の根を持つから恒等的に零。定数項と$z^2$の係数から$w^6=1,\ w^2=1$、よって$w=\pm1$。逆に$f$は偶関数なので両方とも条件を満たす。

解説

入口は「全ての根」です。$f(wz)-w^6f(z)$は最高次項を消すために選びました。得られた式の次数上限より、相異なる根の数が多ければ恒等的に零です。これは因数定理を繰り返せば導け、一般の根の存在定理を用いていません。
一つの根を別の根へ送れる$w$を見つけても、それだけでは全根を保つことにはなりません。最後の十分性も全根について確認します。

第12章　三角関数の和・積を、根と係数へつなぐ

12.1　一定角の歩行と三角和を等比和にする

性質と導出

毎回、進む方向を$\theta$回転し、距離を$r$倍するなら、一回の変位が前回の
$$q=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$
倍です。出発点を原点とし、最初の変位を$v$とすると、$N$回後の位置は
$$ \begin{gathered} z_N=v(1+q+\cdots+q^{N-1})\\[3pt] =\begin{cases}v(1-q^N)/(1-q)&q\ne1,\\Nv&q=1.\end{cases} \end{gathered} $$
出発点が$z_0$なら右辺へ$z_0$を加えます。位置そのものを$q$倍する漸化式と取り違えないでください。各項が「変位」だから和を取ります。
$|q|<1$なら$|q^N|=|q|^N\to0$なので、$z_N\to v/(1-q)$です。これは極限値との差の絶対値が$|v||q|^N/|1-q|$であり、実部・虚部それぞれの誤差もこの値以下になることから、高校の実数の極限で説明できます。

模範解答

$q=(1+i\sqrt3)/4$と置くと$|q|=1/2$なので、求める和は
$$\operatorname{Re}\frac1{1-q} =\operatorname{Re}\frac4{3-i\sqrt3}=1.$$

解説

同じ角の正弦を虚部に補うと複素等比和になります。無限和の公式を使う前に$|q|<1$を確認し、有限和から余項を消しました。$|q|\geq1$へ同じ無限和を流用しません。初項が$k=1$なら、ここから最初の$1$を引く必要があります。

有限和も同じで、$\sin(\theta/2)\ne0$なら
$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta &=\frac{\sin((n+1)\theta/2)\cos(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)},\\ \sum_{k=0}^{n}\sin k\theta &=\frac{\sin((n+1)\theta/2)\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)}. \end{aligned} $$
等比和の分子・分母を 3.1 の半角の差でくくれば得られます。$\theta$が$2\pi$の整数倍なら比が$1$となるので、余弦和は$n+1$、正弦和は零と直接求めます。

12.2　等間隔の三角積を、弦長の積へ戻す

性質と導出

正整数$n$、$N=2n+1$に対して
$$ \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{N}&=\frac{\sqrt N}{2^n},\\ \prod_{k=1}^{n}\cos\frac{k\pi}{N}&=\frac1{2^n},\\ \prod_{k=1}^{n}\tan\frac{k\pi}{N}&=\sqrt N. \end{aligned} $$
覚えるだけでなく、入口を「等間隔の角の積」として、 4.3 の根の積へ戻せるようにします。
導出
$\zeta_k=\cos(2k\pi/N)+i\sin(2k\pi/N)$とすると、
$$N=\prod_{k=1}^{2n}|1-\zeta_k| =\left(2^n\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{N}\right)^2.$$
前半・後半の弦長が対になり、前半の正弦は全て正です。これで正弦積が得られます。
また、$k=1,\ldots,n$で$\sin(2k\pi/N)$を角$\pi-\theta$の正弦と同一視すると、$\sin(k\pi/N)$の$n$項を並べ替えたものになります。実際、整数$2k$と$N-2k$の小さい方は$1,\ldots,n$を重複なく動きます。小さい方が$2k$なら偶数、$N-2k$なら奇数です。同じ側では異なる$k$から同じ値は出ず、左右でも偶奇が異なるため重なりません。しかも各値は$1$以上$n$以下なので、ちょうど全ての整数を一巡します。したがって
$$ \begin{gathered} \prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{N}=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{2k\pi}{N}\\[3pt] =2^n\left(\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{N}\right)\left(\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{k\pi}{N}\right). \end{gathered} $$
正弦積は非零なので割れ、余弦積が得られます。正接積は両者の比です。
積から平方根を取るときの符号は、角が$(0,\pi/2)$にあることが決めています。角をずらした一般の積は 12.4 で扱います。

12.3　多倍角を多項式にし、値の和積を求める

性質と導出

ここでは$\cot\theta=\cos\theta/\sin\theta\ (\sin\theta\ne0)$という略記を使います。
ド・モアブルの定理を二項展開し、実部・虚部を取ると
$$ \cos n\theta= \sum_{j=0}^{[n/2]}(-1)^j{}_{n}C_{2j} \cos^{n-2j}\theta\sin^{2j}\theta $$
および、$n\geq1$で
$$ \begin{gathered} \sin n\theta\\[3pt] =\sum_{j=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^j{}_{n}C_{2j+1}\cos^{n-2j-1}\theta\sin^{2j+1}\theta \end{gathered} $$
を得ます。$[x]$は$x$以下の最大の整数です。正弦側の上限を$[n/2]$にしてしまうと、偶数$n$で不要な負の指数が現れます。
例えば$n=3$から$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$、$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$が得られます。
別の作り方として、
$$ \begin{gathered} T_0(X)=1,\quad T_1(X)=X,\\[3pt] T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X) \end{gathered} $$
と定めると、加法定理から$\cos n\theta=T_n(\cos\theta)$です。同じ漸化式で$U_0(X)=1,\ U_1(X)=2X$とすると
$$\sin((n+1)\theta)=U_n(\cos\theta)\sin\theta.$$
この書き方は、毎回二項展開する代わりに低い次数から多項式を作る方法です。$U_n$はこの節だけの多項式の記号であり、極形式の略号ではありません。

模範解答

$\sin\theta\ne0$のもとで、多倍角公式を割って
$$ \begin{gathered} \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin^{2n+1}\theta}\\[3pt] =\sum_{j=0}^n(-1)^j{}_{2n+1}C_{2j+1}(\cot^2\theta)^{n-j} \end{gathered} $$
を得る。右辺を$P_n(X)$とする。$\theta=k\pi/(2n+1),\ k=1,\ldots,n$では左辺が零で、角が$(0,\pi/2)$内を増えると$\cot^2\theta$は厳密に減る。よってこれらは$P_n$の相異なる$n$根。
最高次係数は$2n+1$、次の係数は$-{}_{2n+1}C_3$、定数項は$(-1)^n$なので、
$$ \begin{gathered} \boxed{\sum_{k=1}^n\cot^2\frac{k\pi}{2n+1}=\frac{n(2n-1)}3},\\[3pt] \boxed{\prod_{k=1}^n\cot^2\frac{k\pi}{2n+1}=\frac1{2n+1}}. \end{gathered} $$

解説

入口は、等間隔の角が$\sin((2n+1)\theta)=0$を満たすことです。求める値を多項式の根として列挙し、次数分の相異なる根がそろったところで根と係数へ進みました。個々の$\cot$の値を求める必要はありません。
直接の加法定理や12.2の根の積が短い場合もあります。和が必要か積が必要か、どちらなら低次の多項式や等比式が作れるかで選びます。一次結合$a\sin\theta+b\cos\theta$を一つの三角関数へまとめる操作は「三角関数の合成」であり、加法定理そのものとは呼び分けます。

12.4　角をずらした正弦・余弦・正接の積

性質と導出

正整数$N$と実数$\theta$について、
$$\boxed{\prod_{k=0}^{N-1}\sin\left(\theta+\frac{k\pi}{N}\right) =2^{1-N}\sin N\theta}.$$
全実数$\theta$で成立し、途中で正弦を分母にしていません。
導くには$q=\cos2\theta+i\sin2\theta$、$\zeta=\cos(2\pi/N)+i\sin(2\pi/N)$と置き、既知の全根の因数分解から
$$\prod_{k=0}^{N-1}(1-q\zeta^k)=1-q^N$$
を使います。各因子は
$$ \begin{gathered} 1-\cos2\alpha-i\sin2\alpha \\[3pt] =-2i\sin\alpha(\cos\alpha+i\sin\alpha) \end{gathered} $$
です。$\alpha=\theta+k\pi/N$について掛けると、角の和は$N\theta+(N-1)\pi/2$となります。
$$\begin{gathered}\prod_{k=0}^{N-1}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\\[3pt]=i^{N-1}(\cos N\theta+i\sin N\theta).\end{gathered}$$
また$(-2i)^Ni^{N-1}=-2^Ni$なので、両辺の非零の共通因子を除けば上の正弦積を得ます。この導出には複素指数関数を使っていません。
$\theta$を$\theta+\pi/2$に変えれば余弦積です。特に$N=2n+1$なら、
$$ \begin{gathered} \prod_{k=0}^{2n}\cos\left(\theta+\frac{k\pi}{2n+1}\right)\\[3pt] =(-1)^n2^{-2n}\cos((2n+1)\theta),\\[3pt] \prod_{k=0}^{2n}\tan\left(\theta+\frac{k\pi}{2n+1}\right)\\[3pt] =(-1)^n\tan((2n+1)\theta). \end{gathered} $$
正接の式は、左辺の全ての余弦と右辺の余弦が非零の範囲で使います。
例えば$N=3,\ \theta=\pi/18$を代入すると
$$ \begin{gathered} \tan\frac\pi{18}\tan\frac{7\pi}{18}\tan\frac{13\pi}{18}\\[3pt] =-\tan\frac\pi6=-\frac1{\sqrt3}. \end{gathered} $$
角の一つが$(\pi/2,\pi)$にあることによる負号と、三倍角の値を別々に確認できます。

12.5　発展：三角不等式で逆二乗級数を挟む

性質と導出

例題27の和$S_n=n(2n-1)/3$を使うと
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
も高校の不等式と極限で導けます。これは通常の複素数問題の第一手ではありませんが、得た多項式の和の情報を別の問題へ使う例として収録します。
弧度法で$0<\theta<\pi/2$なら$\sin\theta\leq\theta\leq\tan\theta$です。例えば$\theta-\sin\theta$と$\tan\theta-\theta$の導関数が非負で、零から増えることによって示せます。したがって
$$\cot^2\theta\leq\frac1{\theta^2}\leq1+\cot^2\theta.$$
$\theta=k\pi/(2n+1)$として和を取ると
$$ \frac{\pi^2S_n}{(2n+1)^2} \leq\sum_{k=1}^n\frac1{k^2} \leq\frac{\pi^2(S_n+n)}{(2n+1)^2}. $$
両端は$\pi^2/6$へ収束するので、部分和も同じ値へ収束します。無限和の値を前提にして$\cot$の式を導く循環はありません。

第13章　高校数学の道具を、配置の証明へ広げる

13.1　正の重みと符号付き面積で内外を判定する

性質と導出

非共線な三点$a,b,c$に対して
$$p=\frac{sa+tb+uc}{s+t+u},\qquad s,t,u>0$$
なら、$p$は三角形の内部です。$(tb+uc)/(t+u)$が辺$BC$の内部にあり、$p$はその点と$a$を結ぶ線分の内部にあるからです。逆に内部の点も、このような正の重みで表せます。非負の重みで和を正とすれば、辺や頂点を含む三角形全体になります。
負の重みを含む表示では、内部と決められません。係数の和を$1$に正規化した表示は非共線な三点について一意なので、例えば$p=a+b-c$は内部には入りません。
外部まで同じ式で扱うには、 5.4 の符号付き面積を用います。
$$ \begin{gathered} [PBC]+[PCA]+[PAB]=[ABC],\\[3pt] \boxed{p=\frac{[PBC]a+[PCA]b+[PAB]c}{[ABC]}}. \end{gathered} $$
いずれも各面積の虚部表示を展開して確認できます。分母は非零です。$P$が内部なら三つの面積は$[ABC]$と同符号、辺・頂点上なら一つ以上が零で、残りは同符号、外部なら逆符号のものが現れます。通常の非負の面積だけでは、外部についてこの重み公式をそのまま使えません。

模範解答

$A$を原点とし、必要なら図を反射して$\operatorname{Im}(\overline b c)>0$とする。外側指定から
$$ \begin{gathered} d=\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)b,\\[3pt] e=\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)c. \end{gathered} $$
したがって
$$ m-n=\frac{d+e}{2}-\frac{b+c}{4} =\frac{\sqrt3i}{4}(c-b). $$
$c-b\ne0$なので$(m-n)/(c-b)$は非零の純虚数。よって$MN\perp BC$。

解説

$C$は有向辺$AB$の左側にあるので$D$は右側、$B$は有向辺$AC$の右側にあるので$E$は左側です。これが二つの回転の符号を決めています。その後は中点の平均、最後に垂直の商へ進みました。外側という図形条件も、最初に符号付き面積で読み取れる条件です。

13.2　三次多項式の導関数の根の位置

性質と導出

$p(z)=(z-a)(z-b)(z-c)$とし、三根は相異なり非共線とします。$p'$は 4.4 で定めた二次多項式です。$p'(z)=0$を満たす$z$は、$a,b,c$の三角形の内部にあります。
まず$p'(a)=(a-b)(a-c)\ne0$で、他の根も同様なので、ここで$p(z)\ne0$です。 4.4 の式から
$$\frac1{z-a}+\frac1{z-b}+\frac1{z-c}=0.$$
逆数を共役で表して式の共役を取ると、
$$ \frac{z-a}{|z-a|^2}+\frac{z-b}{|z-b|^2} +\frac{z-c}{|z-c|^2}=0. $$
従って
$$ z= \frac{a/|z-a|^2+b/|z-b|^2+c/|z-c|^2} {1/|z-a|^2+1/|z-b|^2+1/|z-c|^2}. $$
三つの重みが有限で正なので、 13.1 の内部判定で終了します。
例えば$p(z)=z^3-1$なら$p'(z)=3z^2$の根は零で、1の3乗根の正三角形の内部にあります。重根や共線の三根では上の前提が変わるため、「三角形内部」という結論をそのまま使いません。
入口は$p'$の根の位置という要求、最初の操作は積から逆数和を作ることです。実部・虚部で二次方程式を全部解くより、位置の情報だけを短く取り出せます。

13.3　内接円と半角の和から、面積公式を導く

性質と導出

三角形の内接円半径を$r>0$、三頂点から接点までの接線長を$x,y,z>0$とします。各頂点の半角を$A/2,B/2,C/2$とすると、内心・接点・頂点の直角三角形から
$$ \begin{gathered} \arg(x+ri)=A/2,\quad\arg(y+ri)=B/2,\\[3pt] \arg(z+ri)=C/2. \end{gathered} $$
三つの角の和が$\pi/2$なので、積$(x+ri)(y+ri)(z+ri)$の実部は零です。
$$ \begin{gathered} xyz-r^2(x+y+z)=0,\\[3pt] r^2=\frac{xyz}{x+y+z}. \end{gathered} $$
半周長$s=x+y+z$、面積$S=rs$より、
$$ \begin{gathered} S=\sqrt{xyz(x+y+z)}\\[3pt] =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}. \end{gathered} $$
ここで辺長は$a=y+z,\ b=z+x,\ c=x+y$です。全て正なので、平方根の符号まで確定します。ヘロンの公式を得ました。

同じ考え方で、$\theta_1+\theta_2+\theta_3=\pi$、各$\cos\theta_j\ne0$なら、
$$ \begin{gathered} \tan\theta_1+\tan\theta_2+\tan\theta_3 \\[3pt] =\tan\theta_1\tan\theta_2\tan\theta_3. \end{gathered} $$
各因子$\cos\theta_j+i\sin\theta_j$の積の虚部を零とし、余弦の積で割ったものです。逆にこの等式だけから、角の和がちょうど$\pi$とは言えません。例えば三角が全て零でも等式は成立します。
三つの半角の和が$\pi/2$なら積の実部を零とし、非零の正弦で割って
$$ \begin{gathered} \cot\theta_1+\cot\theta_2+\cot\theta_3 \\[3pt] =\cot\theta_1\cot\theta_2\cot\theta_3 \end{gathered} $$
を得ます。三角形の半角なら正弦・余弦は全て正なので、分母の条件も満たされます。一般角では分母非零と角の範囲を別に確認します。

13.4　四点の距離の積を、三角不等式で比較する

高校数学からの導出

四点$A,B,C,D$の距離の積が三通り現れるときは、二つの差の積へ戻します。対応する複素数を$a,b,c,d$とすると、展開により
$$ \begin{aligned} (a-c)(b-d)&=(a-b)(c-d)\\ &\quad +(a-d)(b-c) \end{aligned} $$
です。三角不等式を使えば、任意の四点について
$$AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+AD\cdot BC$$
が得られます。

等号の理由を確かめます。平行移動・拡大縮小で単位円へ移し、$a=\cos\alpha+i\sin\alpha$などと置いて
$$\alpha<\beta<\gamma<\delta<\alpha+2\pi$$
とし、$\Phi=(\alpha+\beta+\gamma+\delta)/2$と置きます。第3章の半角の差の公式から、二つの積$(a-b)(c-d)$と$(a-d)(b-c)$は、ともに
$$-4(\cos\Phi+i\sin\Phi)$$
の正の実数倍です。実際、掛かる係数はそれぞれ
$$ \begin{gathered} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\gamma-\delta}{2},\\[3pt] \sin\frac{\alpha-\delta}{2}\sin\frac{\beta-\gamma}{2} \end{gathered} $$
で、各正弦は負、二つの積は正です。従って三角不等式の等号が成立します。

解法の選択理由

距離の積という設問は、差の積の恒等式を使う入口です。円周上の条件は三角不等式の等号を保証する役割を持ちます。共円だけを示したいなら第6章の複比の方が短いこともあります。ここでは等号からの逆を主張していません。一直線上の配置でも等号が起こるため、退化を除かずに「等号なら同一円周上」と結論してはいけません。

第14章　総合問題：得られた条件に同じ解法を適用する

14.1　総合問題1　複素数の不等式が、線分と円弧に分かれる

模範解答

$z=x+iy,\ r^2=x^2+y^2>0$とすると
$$z+\frac4z=x\left(1+\frac4{r^2}\right) +iy\left(1-\frac4{r^2}\right).$$
実数である条件は$y=0$または$r=2$である。

$y=0$では$x\ne0$で、$x<0$なら$x+4/x<0$となり不適。$x>0$なら$x+4/x\geq4$なので、残る条件は
$$ \begin{aligned} x+\frac4x\leq5&\iff x^2-5x+4\leq0\\ &\iff1\leq x\leq4. \end{aligned} $$
$r=2$では$4/z=\overline z$より式の値は$2x$である。従って$1\leq x\leq5/2$だが、円上で$x\leq2$なので条件は$x\geq1$となる。
逆に、以上の線分・円弧上の点はいずれも元の二つの不等式を満たす。求める集合は
$$ \begin{gathered} \{x\in\mathbb R:1\leq x\leq4\}\\[3pt] \cup\ \{z:|z|=2,\ \operatorname{Re}z\geq1\}. \end{gathered} $$

解説

不等式を見て、まず比較される式が実数であることを処理します。虚部を零にした結果が積になったので、二つの枝を同じ重さで残します。
実軸側では分母$x$の符号、円側では$\overline z=4/z$が新しい入口です。円弧を得たところで線分を捨てたり、実数側で初めから$x>0$と置いたりしないことが再現性を支えます。

判断｜途中結果を読む練習｜実数性と大小を分ける

虚部零から二枝を得る → 各枝で実数の不等式 → 端点を含むか元式で確認する。

復習する節：2.1　実数性・純虚数性と、大小条件の前処理、3.5　相反方程式と、実数性だけを求める場合

14.2　総合問題2　等しい累乗から、直線と整数条件を取り出す

模範解答

$z=0,i$はいずれも解でない。絶対値を取ると$|z|=|z-i|$なので、全ての解は
$$\operatorname{Im}z=\frac12$$
上にある。単位円との交点は
$$z_+=\frac{\sqrt3}{2}+\frac i2,\qquad z_-=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac i2.$$
これらについて
$$ \begin{gathered} \frac{z_+}{z_+-i}=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3,\\[3pt] \frac{z_-}{z_--i}=\cos\frac\pi3-i\sin\frac\pi3. \end{gathered} $$
従って各点が元の式を満たすことと、$n\pi/3$が$2\pi$の整数倍であることは同値。求める$n$は
$$\boxed{n=6m\quad(m=1,2,\ldots)}$$
であり、この場合の単位円上の解は$z_+,z_-$の両方である。

解説

両辺が同じ次数の累乗なので、絶対値から位置を、商から角を取り出します。単位円条件が加わった時点で、先に直線との交点を二点に絞ると計算が短くなります。
全解まで要求されたなら$q=z/(z-i)$と置き、$q^n=1,\ q\ne1$から
$$ \begin{gathered} q=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n,\\[3pt] z=\frac{iq}{q-1}\quad(k=1,\ldots,n-1) \end{gathered} $$
とします。$q=1$は元像を持たず、他の$n-1$点は全て元の式を満たします。要求に応じて、候補を絞る方法と全根を作る方法を選べます。

判断｜途中結果を読む練習｜等しい累乗が距離と角を同時に含む

絶対値で等距離 → 原式の商で乗根 → 単位円との共通点 → 整数指数。

復習する節：3.3　全ての乗根と、指定半直線の逆像、7.1　等距離・距離比の境界を作る

14.3　総合問題3　相反式の処理を、三角形の辺へ使う

模範解答

（1）$x=0$は解でないので$x^2$で割り、$t=x+1/x$と置くと
$$ \begin{gathered} x^2+\frac1{x^2}-2\left(x+\frac1x\right)+3\\[3pt] =t^2-2t+1=0. \end{gathered} $$
従って$t=1$であり、
$$\boxed{x=\frac{1+i\sqrt3}{2},\ \frac{1-i\sqrt3}{2}}.$$
元の多項式は$(x^2-x+1)^2$なので、どちらも二重根である。

（2）$u=b-a\ne0,\ t=(c-a)/(b-a)$とすると、条件は
$$1+(1-t)^4+t^4 =2(t^2-t+1)^2=0.$$
従って$t=(1\pm i\sqrt3)/2$で、$|t|=|t-1|=1$。よって
$$|c-a|=|b-a|=|c-b|$$
となり、三角形は正三角形である。逆に正三角形なら$t$は上のいずれかで、元の条件も成立する。

解説

（1）の入口は係数の左右対称です。（2）の入口は頂点そのものではなく「差」だけで書かれた同次数の式です。
差を一辺で割れば、平行移動・回転・拡大縮小に依存しない式になります。得られた式を展開すると（1）と同じ相反式が現れますが、その対応を事前に暗記する必要はありません。四次式の係数を読めば、3.5の入口に再び入れます。

判断｜途中結果を読む練習｜逆数対と同次式を低次化する

相反四次を一変数へ → 三点の差の比を作る → 非共線と回転角から形状。

復習する節：3.5　相反方程式と、実数性だけを求める場合、5.6　同次な形状条件を、辺比の方程式へ直す

14.4　総合問題4　三点を通る円を、一般式で確定する

模範解答

$1,-1$の垂直二等分線は虚軸なので、円の中心を$it\ (t\in\mathbb R)$と書ける。半径の二乗は$1+t^2$であり、円の方程式は
$$|z|^2-2t\operatorname{Im}z-1=0.$$
$r^2=|\alpha|^2>0,\ y=\operatorname{Im}\alpha\ne0$とすると、$\alpha$が円上にあることから
$$r^2-2ty-1=0.$$
$\beta=-1/\overline\alpha=-\alpha/r^2$について
$$|\beta|^2-2t\operatorname{Im}\beta-1 =\frac{1+2ty-r^2}{r^2}=0.$$
従って$\beta$も$C$上にある。

解説

三点が与えられ、未知の点の円上性を示す問題です。円周角の商を作る方法もありますが、既知の二点$1,-1$から中心が直ちに虚軸に制限されるので、一般式が短くなります。
$-1/\overline\alpha$を見たら、絶対値と虚部がそれぞれ$1/r$と$-y/r^2$になることを使います。円の式へ代入すると、既知の$\alpha$の式がそのまま残ります。

判断｜途中結果を読む練習｜円の係数を三点の条件で決める

実軸上の二点で中心の実部を確定 → 残る一点で虚部 → 候補点を円の式へ。

復習する節：6.1　直線の二つの表示と、円の一般式

14.5　総合問題5　三つの頂点で、鋭角条件を別々に立てる

模範解答

$z=x+iy,\ u=z-1$とする。頂点$1,z,z^2$における二辺の内積は、それぞれ
$$ \begin{aligned} \operatorname{Re}\{\overline u(z^2-1)\} &=|u|^2(x+1),\\ \operatorname{Re}\{\overline{(1-z)}(z^2-z)\} &=-|u|^2x,\\ \operatorname{Re}\{\overline{(1-z^2)}(z-z^2)\} &=|u|^2(|z|^2+x). \end{aligned} $$
非退化な鋭角三角形なら三つが正なので、
$$-1< x<0,\qquad x^2+y^2+x>0$$
が必要である。
逆にこの二条件を満たすとき、$y=0$なら$x^2+x<0$となり矛盾するので$y\ne0$。また
$$\operatorname{Im}\{\overline{(z-1)}(z^2-1)\} =|z-1|^2y\ne0$$
より三点は非共線である。上の三つの内積は全て正となるので十分でもある。求める範囲は
$$\boxed{-1<\operatorname{Re}z<0,\qquad |z+1/2|>1/2}.$$
全ての境界は含まない。

解説

「鋭角三角形」は三つの角の条件です。一つの角が鋭角であることだけから結論しません。各頂点から出る二辺を作り、5.4の実部による判定を三回使います。
不等式を得た後は、円の外側と帯の共通部分として読みます。さらに逆方向で三角形が退化しないことを確認しました。この確認があるため、実部の不等式だけで図形の前提を置き忘れずに済みます。

判断｜途中結果を読む練習｜鋭角は各頂点の実部が正という条件

共線を先に除外 → 三つの共役積 → 実部を因数分解して領域の共通部分。

復習する節：5.4　共線・垂直・面積を共役積で一緒に読む、7.2　絶対値不等式の側と境界を決める

14.6　総合問題6　一次分数の像で、除外した点が新しい穴になるとは限らない

模範解答

（1）$\alpha=x+iy$とすると$x^2+y^2=1,\ |x|=|y|$。指定された偏角から$x<0,\ y>0$なので、
$$\boxed{\alpha=\frac{-1+i}{\sqrt2}}.$$

（2）$\beta=(-1+i\sqrt3)/2$。$w\ne0$で、$z=\beta+1/w$なので、$|z|=1$は
$$|\beta w+1|^2=|w|^2 \iff2\operatorname{Re}(\beta w)+1=0.$$
$w=x+iy$とすると、求める候補は$x+\sqrt3y=1$。
逆にこの直線上の$w$は零でなく、$z=\beta+1/w$を定めれば$|z|=1$かつ$z\ne\beta$である。従って軌跡は
$$\boxed{x+\sqrt3y=1\quad(x,y\in\mathbb R)}$$
全体である。

解説

（1）は実部・虚部と角の象限、（2）は1の3乗根と逆変換です。元の除外点$\beta$は写像の極なので、有限の像に穴を作る点ではありません。
穴の有無は、元の図形の欠けた点の数から決めず、候補の各点に元像があるかで決めます。直線全体について逆変換が定義できることが結論を支えています。

判断｜途中結果を読む練習｜単位円条件から逆式の直線条件を出す

共役と絶対値で数を確定 → 逆式を単位円へ → 任意の直線上の点から元像を作る。

復習する節：2.1　実数性・純虚数性と、大小条件の前処理、8.3　一次分数変換の退化・極・逆式

14.7　総合問題7　同じ二変数でも、和・積・累乗では見る情報が違う

模範解答

$\alpha=1+it,\ -1\leq t\leq1$と書く。

（1）$\alpha+\beta=x+iy$とすると、$x=1+\operatorname{Re}\beta$より$0\leq x\leq2$。$s=\sqrt{1-(x-1)^2}$と置くと$\operatorname{Im}\beta=\pm s$なので、
$$y\in[-1-s,1-s]\ \cup\ [-1+s,1+s].$$
$0\leq s\leq1$より二つの区間は重なるか接し、その和集合は$[-1-s,1+s]$である。逆にこの区間内の$y$は上のどちらかに属するため、対応する$t,\beta$が存在する。
従って範囲は
$$\boxed{0\leq x\leq2,\qquad |y|\leq1+\sqrt{1-(x-1)^2}}.$$
これは幅$2$、高さ$2$の長方形の上下に半径$1$の半円を付けた形で、面積は
$$\boxed{4+\pi}.$$

（2）$|\alpha|=\sqrt{1+t^2}$は$[1,\sqrt2]$を全て動く。各$t$について$\beta$が単位円全体を動くので、積は全ての方向を取る。よって範囲は
$$\boxed{1\leq|w|\leq\sqrt2},\qquad \text{面積は }\boxed{\pi}.$$
逆に任意のこの範囲の$w$に対し、$\sqrt{1+t^2}=|w|$となる$t\in[-1,1]$を選び、$\beta=w/(1+it)$とすれば元の条件を満たす。

（3）$\alpha^2=1-t^2+2it=x+iy$より
$$\boxed{x=1-\frac{y^2}{4},\qquad -2\leq y\leq2}.$$
逆に$y$がこの区間内なら$t=y/2$で実現する。囲む面積は
$$\int_{-2}^2\left(1-\frac{y^2}{4}\right)\,dy =\boxed{\frac83}.$$

解説

和では一方を固定して平行移動し、実部を固定して縦の区間を埋めました。積では絶対値と偏角へ、平方では実部・虚部の媒介表示へ進みます。
（1）で外周だけを描いて内部も全て取れると決めることはできません。二つの縦区間が重なることが、内部に穴がない証明です。（2）でも絶対値の範囲だけでなく「その絶対値で全方向を取れる」ことを別に使っています。

判断｜途中結果を読む練習｜独立な二点から、設問ごとに必要な情報を変える

和は平行移動した円周の和集合、積は半径、二乗は元の実パラメータ → それぞれ全候補を実現する。

復習する節：10.1　二動点の和・積と、相異性の保持、8.5　二乗写像では、始域の実パラメータを残す

14.8　総合問題8　多項式の値を独立な変数として、円板の像を求める

模範解答

（1）$u=f(1)-3,\ v=f(i)-1$と置くと
$$u=-2+\alpha+\beta,\qquad v=-2+i\alpha+\beta.$$
この一次連立方程式は任意の$u,v$について一意に解け、
$$\alpha=\frac{v-u}{i-1},\qquad \beta=u+2-\alpha.$$
従って$u,v$はそれぞれ$|u|\leq1,\ |v|\leq3$を独立に動く。また代入整理により
$$f(1+i)=2+2i+\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v.$$
後ろの二項は、中心$0$、半径$1/\sqrt2$と$3/\sqrt2$の閉円板を独立に動く。その和は半径$2\sqrt2$の閉円板全体である。
実際、$|\eta|\leq2\sqrt2$に対し
$$\frac{1+i}{2}u=\frac{\eta}{4},\qquad \frac{1-i}{2}v=\frac{3\eta}{4}$$
と選べば各制約を満たし、和が$\eta$となる。よって
$$\boxed{|f(1+i)-(2+2i)|\leq2\sqrt2}.$$

（2）$f(1+i)=0$なら
$$\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v=-2-2i.$$
左辺の絶対値は
$$ \left|\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v\right| \leq\frac{|u|+|v|}{\sqrt2} \leq2\sqrt2 $$
で、右辺の絶対値が$2\sqrt2$なので、二つの不等式で等号が必要である。
従って$|u|=1,\ |v|=3$で、左辺の二項はともに$-2-2i$と同方向。各項の長さから
$$ \begin{gathered} \frac{1+i}{2}u=-\frac{1+i}{2},\\[3pt] \frac{1-i}{2}v=-\frac{3(1+i)}2 \end{gathered} $$
となり、$u=-1,\ v=-3i$。よって
$$\boxed{\alpha=-2+i,\qquad\beta=3-i}.$$
この組では$f(1)=2,\ f(i)=1-3i,\ f(1+i)=0$となり、元の全条件を満たす。

解説

制約に$f(1),f(i)$が現れたので、その値を新しい変数にします。ただし、二つの値を「自由に動く」と言う前に、係数へ戻す連立方程式が常に解けることを確認します。
（1）で得た一次結合は円板の和の入口です。（2）では零がその円板の境界点なので、三角不等式の全ての等号が必要になります。一般の内部点なら、同じように各項の長さを最大にしてよいわけではありません。目標点が境界か内部かを、中心からの距離で先に判断します。

判断｜途中結果を読む練習｜制約されている関数値そのものを変数にする

二つの値を置く → 逆連立で独立性 → 円板和 → 境界の等号条件で元係数を復元。

復習する節：10.2　制約式を変数に置き、逆連立で独立性を示す

別解　係数の二つの円板が接することを使う

$f(1+i)=0$から$\beta=-2i-(1+i)\alpha$を得て代入すると、制約は
$$|\alpha+2-2i|\leq1,\qquad|\alpha+2+2i|\leq3.$$
二中心の距離は$4$で半径の和に等しく、二円板の共通部分は外接点一つである。半径$1$の中心$-2+2i$から他方へ距離$1$進んだ点は$\alpha=-2+i$で、$\beta=3-i$を得る。
こちらは、零条件を代入した後に距離比・円板の位置関係を読む解法です。どちらも、目標条件から得た二円板の境界の情報を使っています。

14.9　総合問題9　実係数二次式の根の存在範囲を、実根・非実根で分ける

模範解答

$z=x+iy$とする。$y\ne0$では虚部から$a=-2x$、実部から$b=x^2+y^2$。従って必要十分条件は
$$|x|\leq\frac12,\qquad x^2+y^2\leq1,\qquad y\ne0.$$
実際、この範囲の$z$なら$a=-2x,\ b=|z|^2$が元の係数条件を満たす。

$y=0$では$x^2+ax+b=0$。$ax+b$の範囲は閉区間$[-|x|-1,|x|+1]$なので、
$$x^2\leq|x|+1 \iff |x|\leq\frac{1+\sqrt5}{2}$$
が必要十分である。
具体的には$|x|\leq1$なら$a=-x,\ b=0$、$1<|x|\leq(1+\sqrt5)/2$なら
$$a=\begin{cases}-1&(x>0),\\1&(x<0),\end{cases} \qquad b=-x^2+|x|$$
と選べば、係数条件と方程式が成立する。
従って求める範囲は
$$ \begin{gathered} \left\{x\in\mathbb R:|x|\leq\frac{1+\sqrt5}{2}\right\}\\[3pt] \cup\ \{z:|z|\leq1,\ |\operatorname{Re}z|\leq1/2\}. \end{gathered} $$
表示した境界は全て含む。

解説

実係数の方程式では非実根の共役も根になります。そのため非実根側では$a=-(z+\overline z),\ b=z\overline z$と一意に決まります。
実根では共役を使っても同じ根を繰り返すだけで、係数は一意に決まりません。そこで実数区間の存在問題に分けます。虚部の式$y(2x+a)=0$を見て$2x+a=0$だけを残すと、実軸上の長い線分が失われます。

判断｜途中結果を読む練習｜根を先に固定して、許される係数を調べる

実根・非実根へ → 共役根または実一次式 → 係数の区間条件 → 実現する係数を構成。

復習する節：10.4　根を固定して、許される係数を逆算する

14.10　総合問題10　垂線の足を商にし、二つの円上条件へ戻す

模範解答

まず$w=\alpha\beta$なら$w\ne0$。$W=P$または$W=Q$の場合も含め、垂直条件から
$$\operatorname{Re}\frac{\alpha-w}{w} =\operatorname{Re}\frac{\beta-w}{w}=0.$$
ここへ$w=\alpha\beta$を入れると
$$\operatorname{Re}\frac1\alpha =\operatorname{Re}\frac1\beta=1.$$
非零の$z$について、この条件は$|z-1/2|=1/2$と同値なので必要性が示された。

逆に$\alpha,\beta$がこの円周上にあるとする。$v=\alpha\beta\ne0$と置けば
$$ \begin{gathered} \operatorname{Re}\frac{\alpha-v}{v} =\operatorname{Re}\frac1\beta-1=0,\\[3pt] \operatorname{Re}\frac{\beta-v}{v} =\operatorname{Re}\frac1\alpha-1=0. \end{gathered} $$
従って$\alpha,\beta$はともに直線
$$\{v+itv:t\in\mathbb R\}$$
上にある。二点は相異なるのでこれが直線$PQ$であり、$v$を通り$Ov$に垂直な直線である。よって原点からの垂線の足は$v$で、$w=\alpha\beta$。

解説

足という条件から「足から二点への方向は、原点から足への方向と垂直」を式にします。ここでは足と端点が一致する場合もあるため、商が零でもよい実部零の式を使いました。「非零の純虚数」と指定すると正しい場合を捨ててしまいます。
積$w=\alpha\beta$を代入した結果が逆数の実部$1$となり、総合問題13の入口と同じになります。二つの問題の接続を暗記するのでなく、得られた式$\operatorname{Re}(1/z)=1$を読めば円へ戻れます。

判断｜途中結果を読む練習｜垂線の足の条件は、零を許す実部零

垂直を商にする → 実部条件を円へ → 候補から元の直線を構成。

復習する節：6.2　反射・垂線の足・点と直線の距離、6.1　直線の二つの表示と、円の一般式

14.11　総合問題11　分母の非零と円上性を、同時に帰納する

模範解答

円$C$を
$$|z|^2-\operatorname{Re}z-1=0 \iff\left|z-\frac12\right|=\frac{\sqrt5}{2}$$
とする。$0$は$C$上にない。
$G(z)=|z|^2-\operatorname{Re}z-1$と置くと、$z\ne0$で
$$G\left(1+\frac1z\right)=-\frac{G(z)}{|z|^2}.$$
従って$z\in C$なら$1+1/z$も$C$上にあり、非零である。

$a_1,a_2$は非零で$b_1=i\in C$。$a_n,a_{n+1}\ne0,\ b_n\in C$と仮定すると、
$$ \begin{gathered} a_{n+2}=a_{n+1}\left(1+\frac1{b_n}\right)\ne0,\\[3pt] b_{n+1}=1+\frac1{b_n}\in C. \end{gathered} $$
よって帰納法で全ての$a_n$は非零、全ての$b_n$は$C$上にある。

解説

比を取ると一次分数漸化式になることが最初の入口です。次に円をどのように見つけるかは11.1の二通りがあります。
まず$b_1=i,\ b_2=1-i,\ b_3=(3+i)/2$を計算して三点を通る円を求める方法があります。より式から探すなら
$$ \begin{gathered} H(z)=A|z|^2+B\operatorname{Re}z+C\\[3pt] (A,B,C\in\mathbb R) \end{gathered} $$
を候補とし、$H(1+1/z)|z|^2$の三係数を$H(z)$と比較します。
$$ \begin{aligned} H\left(1+\frac1z\right)|z|^2\\ &=(A+B+C)|z|^2\\ &\quad+(2A+B)\operatorname{Re}z+A. \end{aligned} $$
$A=1,\ B=C=-1$なら右辺が$-H(z)$となります。初期値もこの円上なので採用できます。
一般項は要求されていません。円の保存式が得られた時点で、一般項を求める処理へ進む必要はありません。ただし、比を定義するための非零性は同じ帰納法の中に含めます。

判断｜途中結果を読む練習｜全項の定義と保存式を一緒に示す

比の漸化式 → 円の式の変化 → 非零と円上性を同時に帰納。

復習する節：11.1　数列の比と円の式を同時に帰納する

14.12　総合問題12　動く円の判別式だけでは、存在範囲は決まらない

模範解答

$z=it/\sqrt2\ (t\in\mathbb R)$と置き、分数部分を$q$とする。分母は零にならず、
$$q=\frac{-2-it^2}{t^2-2t+2}.$$
整理すると$|q+1+i|=1$で、$q\ne-i$である。逆にこの円上の$q\ne-i$に対し
$$z=\frac{(1+i)(q+1)}{\sqrt2(q+i)}$$
と置けば$z+\overline z=0$を満たすので、$q$の範囲は円$|q+1+i|=1$から$-i$を除いたもの全体である。

$a=0$なら$w=0$。$a\ne0$なら$w=u+iv$が取り得るための条件は
$$|w+a(1+i)|=|a|,\qquad w\ne-ai.$$
前者を$a$の二次方程式にすると
$$a^2+2(u+v)a+u^2+v^2=0.$$
実数解を持つことと$uv\geq0$は同値であり、根は
$$a=-(u+v)\pm\sqrt{2uv}.$$
$w\ne0$で$uv\geq0$なら、$|u+v|\geq\sqrt{2uv}$で、二根の絶対値の小さい方は
$$|u+v|-\sqrt{2uv}.$$
従って$[-1,1]$内に根を持つ条件は、この値が$1$以下であること。
ただし$u=0,\ v\ne0$では二次式が$(a+v)^2=0$となり、唯一の根$a=-v$に対して$w=-ai$となるため、元像を持たない。

逆に$u\ne0,\ uv\geq0,\ |u+v|-\sqrt{2uv}\leq1$なら、小さい絶対値の根$a$は非零で$[-1,1]$内にあり、$w\ne-ai$でもある。$q=w/a$と上の逆変換から元像が得られる。
よって求める範囲は
$$ \begin{gathered} \{0\}\ \cup\\[3pt] \left\{u+iv:\begin{array}{l}u\ne0,\ uv\geq0,\\|u+v|-\sqrt{2uv}\leq1\end{array}\right\}. \end{gathered} $$

解説

最初の条件は実部が零なので実数一文字へ、一次分数式は逆変換へ、実数パラメータの範囲は区間内の二次方程式へ進みます。
判別式$8uv\geq0$は実数根の存在しか保証せず、$[-1,1]$内にあるかは別問題です。さらに各円の除外点$-ai$を忘れると、虚軸の余分な点を全て含めてしまいます。
除外点がある像を動かすときも、新しく得た元像の条件を読めば同じ10.3の手順を使えます。

判断｜途中結果を読む練習｜除外点がある像を、さらに実数倍する

実部零を一変数化 → 分数の逆像 → パラメータ区間内の根 → 除外点の元像を点検。

復習する節：8.3　一次分数変換の退化・極・逆式、10.3　動く図形族を、区間内パラメータの存在へ

14.13　総合問題13　逆数の実部から、二変数の像と補集合の最値へ

模範解答

（1）$|z-1/2|^2=1/4$は$|z|^2=\operatorname{Re}z$と同値なので、
$$\operatorname{Re}\frac1z =\frac{\operatorname{Re}z}{|z|^2}=1.$$
逆に任意の$s\in\mathbb R$について$z=1/(1+is)$は$D$に属する。

（2）従って
$$ \begin{gathered} \frac1\alpha=1+is,\qquad\frac1\beta=1+it\\[3pt] (s,t\in\mathbb R,\ s\ne t) \end{gathered} $$
と書ける。$w=x+iy=1/\alpha^2+1/\beta^2$とし、$u=s+t,\ v=s-t\ne0$と置くと
$$w=2-\frac{u^2+v^2}{2}+2iu.$$
従って$y=2u$、$v^2>0$から
$$x<2-\frac{y^2}{8}.$$
逆にこの不等式を満たす$x,y$に対し
$$ \begin{gathered} u=\frac y2,\quad v=\sqrt{4-2x-\frac{y^2}{4}}>0,\\[3pt] s=\frac{u+v}{2},\quad t=\frac{u-v}{2} \end{gathered} $$
と置けば、上の$\alpha,\beta$が条件を満たして$w=x+iy$を実現する。よって
$$\boxed{E=\{x+iy:x<2-y^2/8\}}.$$

（3）$\gamma=x+iy\notin E$である条件は
$$y^2+8x-16\geq0.$$
この範囲に原点は含まれない。$R=x^2+y^2>0$と置くと
$$R+16x=(x+4)^2+(y^2+8x-16)\geq0$$
なので$x/R\geq-1/16$。等号は$x=-4,\ y=\pm4\sqrt3$で成立する。
上限について、$x\leq2$なら
$$ \begin{aligned} R-2x&=(x-2)(x-8)\\ &\quad+(y^2+8x-16)\geq0. \end{aligned} $$
$x\geq2$でも$R-2x=x(x-2)+y^2\geq0$である。従って$x/R\leq1/2$で、等号は$x=2,\ y=0$で成立する。
求める値と達成点は
$$ \begin{gathered} \boxed{\text{最大値}=\frac12 \quad(\gamma=2)},\\[3pt] \boxed{\text{最小値}=-\frac1{16} \quad(\gamma=-4\pm4\sqrt3\,i)}. \end{gathered} $$

解説

（1）は原点を通る円の逆数像が直線になる典型です。（2）ではその直線を実数パラメータで表し、二乗の和を計算しました。和$s+t$と差$s-t$を使うのは、実部に$s^2+t^2$、虚部に$s+t$が現れ、異なる条件が$s-t\ne0$だからです。最後の厳密不等号は、この相異条件から生まれています。

（3）の平方完成は、候補値まで突然思いつく必要はありません。$x$を固定すると、可能な$y^2$は
$$\begin{cases}y^2\geq16-8x&x\leq2,\\y^2\geq0&x\geq2.\end{cases}$$
$x<0$で負の値を最小にするには分母を小さくし、$y^2=16-8x$とします。このとき$x/(x^2+y^2)=x/(x-4)^2$で、その導関数は$-(x+4)/(x-4)^3$。負の範囲では$x=-4$が最小候補になります。
$0\leq x\leq2$で最大にする場合も最小の分母を取り、同じ関数が増加して$x=2$で$1/2$です。$x\geq2$なら$x/(x^2+y^2)\leq1/x\leq1/2$です。
この探索で得た候補を、模範解答では条件式を含む平方完成で簡潔に証明しました。「候補の探し方」と「答案での最短の証明」は区別できます。

判断｜途中結果を読む練習｜逆数の実部が一定なら、虚部だけが自由

一変数表示を二つ作る → 和差で相異性を保持 → 放物線の開いた側 → 固定成分の単調性と達成点。

復習する節：10.1　二動点の和・積と、相異性の保持、9.5　分数の実部は、固定した成分と残る自由度で調べる

14.14　総合問題14　立方の符号を六本の半直線へ直し、領域の面積を求める

模範解答

（1）$u=z+3$は中心$3$、半径$1$の円周を動く。原点からの二接線と正の実軸のなす角を$a$とすると
$$0< a<\frac\pi6,\qquad \sin a=\frac13.$$
$u$の偏角$\varphi$は$[-a,a]$全体を取り、$w=u^3$の偏角は$[-3a,3a]$に取れる。この区間は$(-\pi/2,\pi/2)$内なので、
$$ \begin{aligned} \text{最大値}&=\sin3a\\ &=3\cdot\frac13-4\left(\frac13\right)^3\\ &=\boxed{\frac{23}{27}}, \end{aligned} $$
$$\text{最小値}=\boxed{-\frac{23}{27}}.$$
両端は接点、すなわち$z=-1/3\pm(2\sqrt2/3)i$で実現する。
偏角は区間全体を取り、その上で正弦は連続で単調増加だから、全中間値も実現する。従って範囲は
$$\boxed{-\frac{23}{27}\leq\sin\theta\leq\frac{23}{27}}.$$

（2）$u=z-\alpha$は中心$c=-\alpha$、半径$1$の円周を動く。$u^3$が正の実数となるための$u$は、角$0,2\pi/3,4\pi/3$の三本の開半直線上にある。負の実数となるための$u$は、角$\pi/3,\pi,5\pi/3$の三本の開半直線上にある。
従って、求める条件は、この円周が前者のいずれかと後者のいずれかにそれぞれ交わることである。

$c$の範囲は$\pi/3$の回転と実軸対称で不変なので、
$$ \begin{gathered} c=\rho(\cos\psi+i\sin\psi),\\[3pt] \rho\geq0,\quad0\leq\psi\leq\frac\pi3 \end{gathered} $$
で調べればよい。
$\rho<1$なら原点が円の内部なので、全ての方向の開半直線と交わる。$\rho=1$でも、各三方向のうち中心の方向との差が$\pi/3$以下のものを取れば、原点以外で交わる。

$\rho>1$なら、原点から円周が見える方向の範囲は$\psi-\delta$から$\psi+\delta$で、
$$0<\delta<\frac\pi2,\qquad\sin\delta=\frac1\rho.$$
$0\leq\psi\leq\pi/3$において、正の組の最も近い方向は$0$、負の組では$\pi/3$なので、条件は
$$\delta\geq\psi,\qquad\delta\geq\frac\pi3-\psi.$$
従って、$\rho\leq1$の場合も合わせて、求める条件は
$$\begin{cases}0\leq\rho\leq\dfrac1{\sin(\pi/3-\psi)}&0\leq\psi\leq\pi/6,\\[6pt]0\leq\rho\leq\dfrac1{\sin\psi}&\pi/6\leq\psi\leq\pi/3.\end{cases}$$
右辺は常に$1$より大きい。これを$x=\operatorname{Re}c,\ y=\operatorname{Im}c$へ戻すと、境界は
$$ \begin{cases} \sqrt3x-y=2&0\leq\psi\leq\pi/6,\\ y=1&\pi/6\leq\psi\leq\pi/3. \end{cases} $$
同じ操作を六つの扇形へ施す。範囲は、頂点
$$(0,2),\quad(\sqrt3,-1),\quad(-\sqrt3,-1)$$
の正三角形と、頂点
$$(0,-2),\quad(\sqrt3,1),\quad(-\sqrt3,1)$$
の正三角形の、内部と境界の和集合となる。$\alpha=-c$についても同じ集合である。
各三角形の面積は$3\sqrt3$、共通部分は辺長$2/\sqrt3$の正六角形で面積$2\sqrt3$。従って求める面積は
$$\boxed{3\sqrt3+3\sqrt3-2\sqrt3=4\sqrt3}.$$
境界の接線方向でも共有点は原点ではないので、境界を含む。

$\displaystyle {\color{#0f766e}\begin{xy} 0;<1.4em,0em>: (0,4);(1.1547,2) **\dir{-}, (1.1547,2);(3.464,2) **\dir{-}, (3.464,2);(2.3094,0) **\dir{-}, (2.3094,0);(3.464,-2) **\dir{-}, (3.464,-2);(1.1547,-2) **\dir{-}, (1.1547,-2);(0,-4) **\dir{-}, (0,-4);(-1.1547,-2) **\dir{-}, (-1.1547,-2);(-3.464,-2) **\dir{-}, (-3.464,-2);(-2.3094,0) **\dir{-}, (-2.3094,0);(-3.464,2) **\dir{-}, (-3.464,2);(-1.1547,2) **\dir{-}, (-1.1547,2);(0,4) **\dir{-}, (1.1547,2);(-1.1547,2) **\dir{--}, (-1.1547,2);(-2.3094,0) **\dir{--}, (-2.3094,0);(-1.1547,-2) **\dir{--}, (-1.1547,-2);(1.1547,-2) **\dir{--}, (1.1547,-2);(2.3094,0) **\dir{--}, (2.3094,0);(1.1547,2) **\dir{--}, (-4.5,0);(4.5,0) **\dir{-}, (0,-4.6);(0,4.6) **\dir{-}, (0.8,4.6)*{\color{#1d4ed8}2i},(0.8,-4.6)*{\color{#7e22ce}-2i}, (4.4,2.5)*{\color{#1d4ed8}\sqrt3+i},(-4.4,2.5)*{\color{#7e22ce}-\sqrt3+i}, (-0.4,-0.4)*{O} \end{xy}}$

図7　総合問題14の範囲。実線の星形の内部と境界を全て含み、破線の正六角形が二つの正三角形の共通部分です

解説

立方写像の曲線を直接描く必要はありません。「像が正・負の実数」という条件を、元の円周と開半直線の交点条件に戻しました。これは3.3の累乗の逆像と7.4の円・半直線の存在判定です。
正の実軸と負の実軸へ届く点$z$は同じである必要はありません。二組の方向へそれぞれ届けば十分です。
原点が円の内部・円周上・外部の三場合で、見える角の条件が変わります。外部だけを接線の角で処理し、その条件を座標の直線へ戻すことで、高校数学の図形面積で完結しました。極座標の面積積分は用いていません。
角の区間が$\pi/2$をまたがないこと、接線が開半直線の原点以外で接することまで確認するので、（1）の端点・（2）の境界も確定します。

判断｜途中結果を読む練習｜像全体を描かず、指定方向の逆像を使う

円から見える角 → 立方で角を三倍 → 正負の実軸の逆像六半直線 → 円との共有点条件と面積。

復習する節：3.3　全ての乗根と、指定半直線の逆像、7.4　円と開半直線の共有点を正の根で判定する、9.2　偏角の端を接線で求め、累乗後の増減を調べる

第15章　習得の確認と、本稿の範囲

15.1　参考：高校範囲外の理論との区別

範囲外の参考

複素指数関数・複素対数・双曲線関数は、ここでは本体から区別します。本稿の解法では、積の極形式を常に$\cos\theta+i\sin\theta$で表し、複素対数の微分を使いませんでした。
実変数$x$についての
$$ \begin{gathered} \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\\[3pt] \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2 \end{gathered} $$
という定義自体は実指数関数から理解できますが、複素数への拡張や複素対数の枝の理論は、本稿の通常解法の前提に含めません。
また、一般の$n$次複素多項式が重複度込みで$n$個の根を持つという代数学の基本定理の一般的な証明も、本稿では扱いません。ここで必要な因数分解は、具体的に列挙した根、条件で与えられた根、二次方程式の根に因数定理を適用して作っています。
高度な内容を避けるための区別ではありません。どの証明に何が必要かを明示し、高校数学だけで実行できる部分を確実に切り分けるためです。

15.2　学習を確かめる問い

学習の確認

復習では、公式の形を言えることと、使う理由を言えることを別に確かめます。次の問いには、長い計算をせずに答えてください。

1. $|z|=1$の有理式に共役が現れたとき、角を置く前に何を消せるか。
2. $|u|,|v|,|u+v|$から$|2u-v|$を求めるとき、$u,v$そのものを決める必要があるか。
3. $U^n=V^n$から距離の等式が得られたとき、残る角条件はどこにあるか。
4. 円の方程式が得られただけで、軌跡が円全体だと言えるか。
5. 判別式が非負なら、指定区間にパラメータが存在するか。
6. 下界を得たとき、それを最小値と呼ぶために何を作るか。
7. 漸化式の一般項を求めなくても、円上性は何を使って示せるか。
   模範解答

   答えの要点は順に、共役を逆数へ、共通の交差項だけを確定、商の偏角、元像と除外点の確認、区間内の根の追加確認、元の全条件を満たす達成点、保存される円の式と分母の非零の同時帰納です。

   
   
   解説

   迷った問いに対応する節へ戻り、例題を解答なしで一度書き直します。

   
   

   注意｜答案を閉じる前の確認

   割った式の零／実数係数など公式の仮定／実数・純虚数・零の区別／角の代表値と向き／退化と点の相異性／元像とパラメータの範囲／境界と除外点／最大・最小の達成を確認する。

   
   
   本稿の整理は、全ての未知問題の機械的解法を保証するものではありません。計算で新しく現れた条件にも、本文の同じ判断基準を使える範囲を広げるための教材です。止まった箇所が、知識の不足か、適用条件の読み取りか、途中の分岐か、逆確認かを区別すれば、復習する内容も具体的になります。

   判断｜この章を終えるとき

   解けなかった箇所は、公式・入口・分岐・逆確認のどこで止まったかを記録して復習する。