不等式コンテストの解法まとめ

こちら で開催された不等式コンについて，想定解でなかった解法などをいくつか書こうと思います．等号成立条件はサボります．

　Radonの不等式より，
$$ \dfrac{x^2}{2x+yz}+\dfrac{y^2}{2y+zx}+\dfrac{z^2}{2z+xy}\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)+xy+yz+zx}$$
であり，AM-GM不等式より$x+y+z\geq3\sqrt[3]{xyz}\geq6$なので$(x+y+z)^2\geq6(x+y+z)$が得られ，加えて$(x+y+z)^2\geq3(xy+yz+zx)$なので，この$2$式から$\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)+xy+yz+zx}\geq\dfrac{3}{2}$を得る．

　$x=-a+b+c,y=a-b+c,z=a+b-c$とおくと，$x,y,z>0$であり，
$$ (LHS)=\dfrac{2}{x(y+z)}+\dfrac{2}{y(z+x)}+\dfrac{2}{z(x+y)}\underset{\mathrm{Radon}}{\geq}\dfrac{9}{xy+yz+zx}$$
$$ (RHS)=\dfrac{k}{\frac12(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}\leq\dfrac{k}{xy+yz+zx}$$
より，$k$の最大値は$9$とわかる．

　Hölderの不等式より，以下の不等式を示せば元の不等式も示される．
$$ (a^4+b^4+c^4)^3\geq\sum_{cyc}a^4(5b^4c^4+2a^3(b^5+c^5))$$
　ちょっと変形すると，この不等式は以下と同値．
$$ \sum_{sym}a^{12}+6\sum_{sym}a^8b^4\geq3\sum_{sym}a^4b^4c^4+4\sum_{sym}a^7b^5$$
　Muirheadの不等式より，
$$ \sum_{sym}a^{12}\geq\sum_{sym}a^4b^4c^4$$
$$ 4\sum_{sym}a^{8}b^4\geq4\sum_{sym}a^7b^5$$
$$ 2\sum_{sym}a^{8}b^4\geq2\sum_{sym}a^4b^4c^4$$
が成り立つので，これらを足し合わせることにより所望の不等式が示される．

$$ \dfrac{e^2+f^2}{\sqrt{2ab}+c+d}+\dfrac{a^2+b^2}{\sqrt{2cd}+e+f}+\dfrac{c^2+d^2}{\sqrt{2ef}+a+b}$$
$$\overset{\mathrm{AM-GM,CS}}{\geq}\dfrac{e^2+f^2}{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt2\sqrt{c^2+d^2}}+\dfrac{a^2+b^2}{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt2\sqrt{e^2+f^2}}+\dfrac{c^2+d^2}{\sqrt{e^2+f^2}+\sqrt2\sqrt{a^2+b^2}}$$
$$ \overset{\mathrm{Radon}}{\geq}\dfrac{(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2})^2}{(\sqrt2+1)(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2})}$$
$$ =\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}}{(\sqrt2+1)}$$
$$\overset{\mathrm{AM-GM}}{\geq}\dfrac{3\sqrt[6]{(a^2+b^2)(c^2+d^2)(e^2+f^2)}}{\sqrt2+1}$$