初等的な単振り子のθについての微分方程式導出

単振り子

proof:
図より、
${\displaystyle x(t)=Lsin\theta (t),}$${\displaystyle y(t)=Lcos\theta (t)}$である。

各々について合成関数の微分をすると、
${\displaystyle v_x(t)=L\frac{d\theta }{dt}(t)cos\theta (t)}$,　${\displaystyle v_y(t)=-L\frac{d\theta }{dt}(t)sin\theta (t)}$

さらに各々を微分すると、
${\displaystyle a_x(t)=L(\frac{d^2\theta }{d{t}^2}(t)cos\theta (t)-(\frac{d\theta }{dt}(t){)}^{2}sin\theta (t))}$

${\displaystyle a_y(t)=-L(\frac{d^2\theta }{d{t}^2}(t)sin\theta (t)+(\frac{d\theta }{dt}(t){)}^{2}cos\theta (t))}$である。

又、${\displaystyle F_x=-Tsin\theta (t)}$,$F_y=mg-Tcos\theta (t)$より、運動方程式を立てる。

${\displaystyle m{a}_x(t)=F_x}$より、
${\displaystyle mL(\frac{d^2\theta }{d{t}^2}(t)cos\theta (t)-(\frac{d\theta }{dt}(t){)}^{2}sin\theta (t))=-Tsin\theta (t)\cdots (1)}$

${\displaystyle m{a}_y(t)=F_y}$より、
${\displaystyle -mL(\frac{d^2\theta }{d{t}^2}(t)sin\theta (t)+(\frac{d\theta }{dt}(t){)}^{2}sin\theta (t))=mg-Tcos\theta (t)\cdots (2)}$

[(1)式]$\times \cos \theta (t)-[(2)式]\times \sin \theta (t)$をして、${\sin }^2\theta (t)+{\cos }^2\theta (t)=1$を用いて計算を行うと、
${\displaystyle mL\frac{d^2\theta }{d{t}^2}(t)=-mg\sin \theta (t)}$
$\iff {\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}(t)=-\frac{g}{L}\sin \theta (t)}$

ここで、$\theta (t)$が任意の時刻で小さい時に、${\displaystyle \sin \theta (t)を\theta (t)}$で近似すると、${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}(t)=-\frac{g}{L}\theta (t)}$となる。

これは単振動型の微分方程式であるので、
${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{g}{L}}[rad/秒],T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}[秒]}$となる。
Q.E.D