一般化二項定理を用いないArcsinのマクローリン展開の証明

${\beta }_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})/2^{2n}=(2n-1)!!/(2n)!!$とする。

普通は一般化二項定理
$$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n$$
を用いて、
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{n})(-x^2{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_n{x}^{2n}}$
および$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
であることから、
$$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }_n{x}^{2n+1}}{(2n+1)}$$
と示される。
今回は、一般化二項定理を用いない方法でarcsinのマクローリン展開を証明する。
$$f\left(x\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{artanh}\left(\frac{x}{\sqrt{1+u^2}}\right)}{\sqrt{1+u^2}}du$$
とする。このとき、
$$f^{\prime }(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{d}{dx}\left(\frac{\mathrm{artanh}\left(\frac{x}{\sqrt{1+u^2}}\right)}{\sqrt{1+u^2}}\right)du={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+u^2-x^2}du=\frac{\pi }{2\sqrt{1-x^2}}$$
$f(0)=0$より、$f(x)=\frac{\pi }{2}\arcsin x$である。
いっぽうで、
$$\frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2n}\text{(幾何級数の和の公式)}$$であるので、
$$\mathrm{artanh}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}(|x|<1)$$
これを用いて、
$$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1){\left(\sqrt{1+u^2}\right)}^{2n+1}}du\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{du}{{(1+u^2)}^{n+1}}\end{array}$$
ここで、
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{du}{{(1+u^2)}^{n+1}}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{(\cos u)}^{2n}du=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}=\frac{\pi }{2}\beta \left(n\right)$$
であるので、
$$f\left(x\right)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }_n{x}^{2n+1}}{2n+1}$$
となる。$f(x)=\frac{\pi }{2}\arcsin x$であったから、
$$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }_n{x}^{2n+1}}{(2n+1)}$$
が示された。