一般化二項定理を用いないArcsinのマクローリン展開の証明

$\beta_{n}={2n \choose n}/2^{2n}=(2n-1)!!/(2n)!!$とする。

普通は一般化二項定理
$$(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha \choose n}x^n$$
を用いて、
$\displaystyle \frac 1 {\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}{-1/2\choose n}(-x^2)^n=\sum_{n=0}^{\infty} {\beta_{n}}x^{2n}$
および$$\frac {d}{dx}\arcsin x=\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}$$
であることから、
$$\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac {\beta_{n}x^{2n+1}}{(2n+1)}$$
と示される。
今回は、一般化二項定理を用いない方法でarcsinのマクローリン展開を証明する。
$$f\left(x\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{artanh}\left(\frac{x}{\sqrt{1+u^{2}}}\right)}{\sqrt{1+u^{2}}}du$$
とする。このとき、
$$f'(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{d}{dx}\left(\frac{\operatorname{artanh}\left(\frac{x}{\sqrt{1+u^{2}}}\right)}{\sqrt{1+u^{2}}}\right)du=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+u^{2}-x^{2}}du=\frac{\pi}{2\sqrt{1-x^{2}}}$$
$f(0)=0$より、$f(x)=\frac {\pi}{2}\arcsin x$である。
いっぽうで、
$$\frac {d}{dx}\operatorname{artanh}x=\frac {1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}\qquad \text{(幾何級数の和の公式)}$$であるので、
$$ \operatorname{artanh}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {x^{2n+1}}{2n+1}\quad (|x|<1)$$
これを用いて、
\begin{align}f\left(x\right)&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{1+u^{2}}\right)^{2n+1}}du \newline &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\int_{0}^{\infty}\frac{du}{\left(1+u^{2}\right)^{n+1}} \end{align}
ここで、
$$\int_{0}^{\infty}\frac{du}{\left(1+u^{2}\right)^{n+1}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos u\right)^{2n}du=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}=\frac{\pi}{2}\beta\left(n\right)$$
であるので、
$$f\left(x\right)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\beta_{n}x^{2n+1}}{2n+1}$$
となる。$f(x)=\frac {\pi}{2}\arcsin x$であったから、
$$\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac {\beta_{n}x^{2n+1}}{(2n+1)}$$
が示された。