普遍性とはある操作によって、所要の操作を構成できる事だと言い切ってみる

[存在]
$\forall v\in V:\exists x_{i_{1}},x_{i_{2}},...\in \mathbb{K}\quad(i_{1},i_{2},...\in I)\ s.t.\ v=\sum_{i\in I}x_{i}e_{i}$と書ける。
次に$\tilde{\varphi}(v)\coloneqq\sum_{i\in I}x_{i}\varphi(e_{i})$と定める。
すると以下の手順で$\tilde{\varphi}$が求めるものであることが分かる。
(1)$v=\sum_{i\in I}x_{i}e_{i},v^{'}=\sum_{i\in I}x_{i}^{'}e_{i}$に対して
\begin{eqnarray} \tilde{\varphi}(v+v^{'})&=&\sum_{i\in I}(x_{i}+x_{i}^{'})\varphi(e_{i})\\ &=&\sum_{i\in I}x_{i}\varphi(e_{i})+\sum_{i\in I}x_{i}^{'}\varphi(e_{i})\\ &=&\tilde{\varphi}(v)+\tilde{\varphi}(v^{'}) \end{eqnarray}
(2)
\begin{eqnarray} \forall \mu\in\mathbb{K}:\tilde{\varphi}(\mu v)&=&\sum_{i\in I}(\mu x_{i})\varphi(e_{i})\\ &=&\mu\sum_{i\in I}x_{i}\varphi(e_{i})\\ &=&\mu\tilde{\varphi}(v) \end{eqnarray}

(3)特に$i\in I$を固定し$x_{i}=1,x_{j}=0\quad(j\neq i)$の様に定めると$\tilde{\varphi}(e_{i})=\varphi(e_{i})$が成り立つので存在は示せた。
[一意性]
線型写像$\psi:V\rightarrow U$が$\forall i\in I: e_{i}\in S: \psi(e_{i})=\varphi(e_{i})$を満たすとすると任意の$v\in V$に対して以下の式が成り立つので$\psi=\tilde{\varphi}$を得る。
\begin{eqnarray} \psi(v)&=&\sum_{i\in I}x_{i}\psi(e_{i})\\ &=&\sum_{i\in I}x_{i}\varphi(e_{i})\\ &=&\tilde{\varphi(v)} \end{eqnarray}

定理3を参照して欲しい。$V=F(S)$基底を$\{[s]\}_{s\in S}$の様に定めたものなので、そのまま適用して終了。

[存在]
\begin{eqnarray} \forall v\in V:\overline{f}(v+W)&=&f(v) \end{eqnarray}
と定めると、これはwell-defined。
実際$v+W=v^{'}+W$とすると、$v-v^{'}\in W\subset\ker{f}$が成り立つので
\begin{eqnarray} f(v-v^{'})&=&f(v)-f(v^{'})\\ &=&0 \end{eqnarray}
が成り立つので$\overline{f}(v+W)=\overline{f}(v^{'}+W)$を得る。
また線形性については$\pi,f$の線形性から従い、$\overline{f}(\pi(v))=f(v)$。
[一意性]
線型$g:V/W\rightarrow U$が$f=g\circ \pi$を満たすなら以下の様に計算できるので$g=\overline{f}$。
\begin{eqnarray} \forall v\in V:g(v+W)&=&g(\pi(v))\\ &=&f(v)\\ &=&\overline{f}(v+W) \end{eqnarray}

[存在]
$\forall u\in U:k(u)=(g(u),h(u))$の様に定めればいい。
そすれば射影の定義より以下の式を満たすので$k$の存在が示せた。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_{V}\circ k(u)=g(u)\\ p_{W}\circ k(u)=h(u) \end{array} \right. \end{eqnarray}
[一意性]
$k^{'}$も同様の式を満たすとする。すると
\begin{eqnarray} k^{'}(u)&=&(p_{V}(k^{'}(u)),p_{W}(k^{'}(u)))\\ &=&(g(u),h(u))\\ &=&k(u) \end{eqnarray}

[存在]
$\forall v\in V,w\in W:k(v+w)=g(v)+h(w)$の様に定めると$k(i_{V}(v))=g(v),k(i_{W}(w))=h(w)$
[一意性]
$k^{'}$も同様の式を満たすとする。
\begin{eqnarray} k^{'}(v+w)&=&k^{'}(i_{V}(v)+i_{W}(w))\\ &=&k^{'}(i_{V}(v))+k^{'}(i_{W}(v))\\ &=&g(v)+h(w)\\ &=&k(v,w) \end{eqnarray}

定理3において$W=\mathrm{Ker}{f}$とする。
この時$\overline{f}$の単射性を示す。なお全射性については$\overline{f}$の定義より明らか。
\begin{eqnarray} \exists v+\mathrm{Ker}{f},v^{'}+\mathrm{Ker}{f}\in V/\mathrm{Ker}{f}\ s.t. \overline{f}(v+\mathrm{Ker}{f})=\overline{f}(v^{'}+\mathrm{Ker}{f}) \end{eqnarray}
が成り立つとすると$v-v^{'}\in \mathrm{Ker}{f}$なので
\begin{eqnarray} f(v)-f(v^{'})&=&f(v-v^{'})\\ &=&0 \end{eqnarray}
故に$v+\mathrm{Ker}{f}=v^{'}+\mathrm{Ker}{f}$が示され単射性が示され、
$V/\mathrm{Ker{f}}\simeq\mathrm{Im}{f}$が言えた。

[$\otimes$の双線形性]
第一引数についてのみ証明する。第二引数については宿題とする。
\begin{eqnarray} \forall v,v^{'}\in V,w\in W:\otimes(v+v^{'},w)-\otimes(v,w)-\otimes(v^{'},w)=\pi([(v+v^{'},w)]-[(v,w)]-[(v^{'},w)]) \end{eqnarray}
を考えると、括弧内は$R$の元なので上記の式は$0$である事が分かる。故に
\begin{equation} \otimes(v+v^{'},w)=\otimes(v,w)+\otimes(v^{'},w) \end{equation}
同様にして以下の様に計算できるので第一引数について線型性を持つことがわかった。
\begin{eqnarray} \forall \mu\in\mathbb{K}:\forall v\in V:\forall w\in W:\otimes(\mu v,w)-\mu\otimes(v,w)=\pi([(\mu v,w)]-\mu[(v,w)]) \end{eqnarray}
[$b$の普遍性]
双線型写像$b:V\times W\rightarrow U$を任意にとる。
そして自由空間として$S=V\times W$を取り、写像$b$に適用すると、ある線型写像$b^{'}:F(V\times W)\ni[(v,w)]\mapsto b(v,w)\in U$が唯一つ存在する。
また以下の様な計算ができるので、$R\subset \mathrm{Ker}{b^{'}}$が分かる。
\begin{eqnarray} b^{'}([(v+v^{'},w)]-[(v,w)]-[(v^{'},w)])&=&b(v+v^{'},w)-b(v,w)-b(v^{'},w)\\ &=&0 \end{eqnarray}
さらに商空間の普遍性(定理3)により、線型写像$\tilde{b}:T\rightarrow U$が唯一つ定まり$b^{'}=\tilde{b}\circ \pi$が成り立つことが分かる。
\begin{equation} \xymatrix{ F(V\times W)\ar[r]^{b^{'}}\ar[d]_{\pi}&U\\ T=F(V\times W)/R\ar[ru]_{\tilde{b}}& } \end{equation}
この時以下の様に計算できるので$b=\tilde{b}\circ\otimes$
\begin{eqnarray} \tilde{b}(\otimes(v,w))&=&\tilde{b}(\pi([(v,w)]))\\ &=&b^{'}([(v,w)])\\ &=&b(v,w) \end{eqnarray}
すなわち以下の様な図式が成り立つ事が示された、
\begin{equation} \xymatrix{ V\times W\ar[r]^{b}\ar[d]_{\otimes}&U\\ T=F(V\times W)/R\ar[ru]_{\tilde{b}}& } \end{equation}
[一意性]別の$\hat{b}$が存在して$\forall v\in V:\forall w\in W: \hat{b}(\otimes(v,w))=b(v,w)$が成り立つとする。すると
\begin{eqnarray} b(v,w)&=&\hat{b}(\otimes(v,w))\\ &=&\hat{b}(\pi([v,w]))\\ &=&\tilde{b}(\pi([v,w])) \end{eqnarray}
が得られるので、$\hat{b}=\tilde{b}$を得る。