整数問題bot　解いてみた　[266]

自己紹介

　こんにちは．Ammonitenh3です．OMC水です．
　Mathlogで何か記事を書いてみたいというのと自分の精進の記録も兼ねてたまに整数問題botを解いた感想などを上げるつもりです．
　自分の実力で解ける問題しか扱えないので高難易度の解説を求めている方は他の強い人の記事を見てください．

Problem

　$a^2b^2-8ab-a^2-b^2=8$ を満たす正の整数の組$(a,b)$を全て求めよ．（2023年度中1東大寺学園2学期末定期考査，激易）

Mindset

　対称式だな～変数変換しよ．→（数分後）終わり．

Solution

　$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a+b=u \\ ab=v \end{array} \right. \end{eqnarray}$ とおく．$u \geq 2,b \geq 1$ であることに注意する．

　$\begin{aligned} 　a^2b^2-8ab-a^2-b^2=8& \Longleftrightarrow v^2-6v-u^2=8\\\\ 　& \Longleftrightarrow (v-3)^2-u^2=17\\\\ 　& \Longleftrightarrow (u+v-3)(-u+v-3)=17 　\end{aligned}$

$u+v-3 \geq 0$ 及び $u+v-3>-u+v-3$より，

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} u+v-3=17 \\ -u+v-3=1 \end{array} \right. \end{eqnarray} $ が従い，$(u,v)=(8,12)$ となり，解と係数の関係より求める答えは

$(a,b)=(2,6),(6,2)$ である．

感想

　これ定期考査なんですか，少なくとも中一の二学期時点の自分では手も足も出ないでしょう．いかに大分の中学校がぬるいかが分かりますね．最後まで読んでくれてありがとうございました．