自己紹介、∫dx/f(x)=1/{∫f(x)dx}となるf(x)は存在する？

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自己紹介

みなさん初めまして！秋です。高校1年です。趣味はプロフィールに書いておきましたのでよければどうぞ。
代数学をメインに色々とやっていて、そろそろ代数幾何に手を出したいなといった感じです。
解析概論は途中で放置しているので最後まで読みたい。(現代仮名遣い版が無料で公開されてるのすごいですね私は水嶋書房で買いました)

本題

以下、 $f (x)$ は実関数とします。
積分を解く中で $\int \frac{d x}{f (x)}$ が簡単に解けたら楽なのに、と思ったことはありませんか？

$\int \frac{d x}{f (x)} = \frac{1}{\int f (x) d x} ･･･ ①$

こんな式が一瞬ちらついたことがある方は少なくないはずです(~~ということにします~~)。
これを満たす $f (x)$ を探すため、両辺を $x$ で微分して式①が成立するための $f (x)$ の必要条件を考えてみます。

①が成り立つとき
$\frac{d}{d x} \int \frac{d x}{f (x)} = \frac{d}{d x} \frac{1}{\int f (x) d x}$
$\frac{1}{f (x)} = \frac{- f (x)}{(\int f (x) d x)^{2}} (定義、商の微分)$
このとき
$(\int f (x) d x)^{2} + (f (x))^{2} = 0$
$∴ \int f (x) d x = f (x) = 0$
これは①から不適。( $∵ (分母) \neq 0$ )