はじめに
皆さん初めまして yyaaと申します.
この記事では,東大寺学園で2023年9月9日,10日に開催した文化祭において,数学研究部が企画した懸賞問題のうち,私が作ったものの解説をします.
問題は,以下の3つです.
問13
を中心とする円に外接する四角形において,との交点を,との交点を,との交点をとする.であることを示せ.
問15
円に内接する四角形において,三角形の内心を,三角形の内心をとする.二点を通り直線に接する円と,二点を通り直線に接する円の共通外接線の交点をとするとき,三点は一直線上にあることを示せ.
問17
正三角形でない三角形があり,内心を,外心をとする.の外角の二等分線と直線の交点を,の外角の二等分線と直線の交点をとする.であることを示せ.
それでは早速解説をはじめていきます.
問13
問題
を中心とする円に外接する四角形において,との交点を,との交点を,との交点をとする.であることを示せ.
を中心とし,四角形に内接する円をとする.
直線との接点をそれぞれとする.より,四角形は円に内接する.この円をとする.と直線の交点をとすれば,なので,四角形は円に内接し,かつ,この円をとすれば,はを通る.
さて,との交点をとすれば,はの根心なので,はを通る.よって,である.そこで,であることを示せばよいが,これはブリアンションの定理を六点,六点にそれぞれ適用することで得られる.
最後の行について,ブリアンションの定理を知らない場合は,メネラウスの定理を三角形と直線,三角形と直線にそれぞれ適用すれば,直線,直線は線分をそれぞれ同じ比で内分することから証明できます.
余談
問題文は,「外接」と「内接」を入れ替えると,次のようになります:
を中心とする円に内接する四角形において,との交点を,との交点を,との交点をとする.
実は,こちらの問題文においてもが成り立ちます.
それだけでなく,より強い,「は三角形の垂心である」という主張が成り立ちます.これは,ブロカールの定理と呼ばれます.
そのせいもあってか,この問題において,「外接」を「内接」と読み間違えた答案が多くありました.(ちなみに,これは偶然ではなく,問13とブロカールの定理の双対性からくる必然です.詳しくは,射影幾何学を学ぶと面白いと思います.)
問15
問題
円に内接する四角形において,三角形の内心を,三角形の内心をとする.二点を通り直線に接する円と,二点を通り直線に接する円の共通外接線の交点をとするとき,三点は一直線上にあることを示せ.
二点を通り直線に接する円を,二点を通り直線に接する円をとする.
弧のうち点を含まない方の中点をとする.明らかに三点,三点はそれぞれ一直線上にある.また,
より.同様にすれば.さらに,明らかにであるから.
よって,直線にそれぞれ点で接する円をとることができる.すると,この円ととにの定理を適用することで,三点が一直線上にあることが得られる.
この問題の難易度ってどれくらいなんでしょう?わからないです.
mongeの定理を知らない場合の証明方法も用意してありますが,長くなるので,方針だけ書いておきます.
step1.共通外接線の一方と二円の接点をとおく.共通外接線のもう片方と二円の接点をとおく.
step2.四角形,四角形が円に内接することを示す.
step3.根心
問17
問題
正三角形でない三角形があり,内心を,外心をとする.の外角の二等分線と直線の交点を,の外角の二等分線と直線の交点をとする.であることを示せ.
この問題,非常にたくさんの解き方があります.私自身,様々な答案をみて,楽しませていただきました.そこで,いくつかの証明方法を紹介しようと思います.
想定解1
三角形の接触三角形をとする.
の外角の二等分線との交点をとする.角の二等分線の性質とメネラウスの定理の逆から,三点が一直線上にあることがわかる.また,角度計算により四角形が円に内接することが分かる.この円をとおく.同様にしてを定める.と交点をとすれば,より,もを通る.
ここで,三角形の内接円について反転する.
が反転して移った先をと表すこととする.
はそれぞれの中点である.よって,は三角形の重心である.さて,三点は一直線上にあるので,示したいことは三点が一直線上にあることである.ここで,は三角形の外心であることに注意すれば,三角形のオイラー線上に三角形の外心があることを示せばよい.そこで,三角形の垂心を,九点円の中心をとする.
との交点を,との交点を,との交点をとする.
角度計算により,が分かる.同様に,,である.すると,三角形と三角形の相似の中心をとることができる.角度計算により,は三角形の内心であることがわかるので,を中心とした相似拡大を考えることにより,三点が一直線上にあることがわかる.すなわち,は三角形のオイラー線上にある.また,は三角形の外心であるから,再度を中心とした相似拡大を考えることにより,三点が一直線上にあることがわかる.よって,三角形のオイラー線上にがあることが示された.
➁想定解2
がを通ることを示すまでは同様.
と円の交点をとする.同様にして,を定める.角度計算により,四角形が円に内接することがわかる.同様にすれば,四角形,四角形はそれぞれ円に内接する.円,円,円,,,の六円のうち任意の二円の根軸は一点で交わるので,この点をとする.を中心とする,半径の反転によって,点はそれぞれ点にうつる.すなわち,この反転によって,三角形の内接円と外接円は互いに移りあう.よって,三点は一直線上にある.これと三点が一直線上にあることをあわせて,三点が一直線上にあることがわかる.よって,である.
➂kさんの解法
三角形の傍心をとおく.,は三角形の垂心,は三角形の九点円の中心なので,直線は三角形のオイラー線である.よって,三角形の外心をとすれば,であることを示せばよい.そこで,円,円の根軸がと一致することを示す.
四角形は円に内接するので,,すなわち,における円と円への方べきが一致するので,は直線上にある.同様にすれば,が直線上にあることが示されるので,.よって示された.
掲載を快諾いただいたkさん,ご協力ありがとうございました.
この他,重心座標を用いる解答もありました.
おわりに
自作問題を他人に解いてもらうのは今回の文化祭が初めてで,不安も大きかったのですが,想像以上にたくさんの方に解いていただくことができました.ありがとうございました.