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東大寺学園数学研究部 懸賞問題解説 その2 問13,15,17

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はじめに

皆さん初めまして yyaaと申します.
この記事では,東大寺学園で2023年9月9日,10日に開催した文化祭において,数学研究部が企画した懸賞問題のうち,私が作ったものの解説をします.
問題は,以下の3つです.

問13

Oを中心とする円に外接する四角形ABCDにおいて,ABCDの交点をX,BCDAの交点をY,ACBDの交点をZとする.XYOZであることを示せ.

問15

円に内接する四角形ABCDにおいて,三角形ACDの内心をI1,三角形BCDの内心をI2とする.二点A,I2を通り直線BI2に接する円と,二点B,I1を通り直線AI1に接する円の共通外接線の交点をXとするとき,三点X,I1,I2は一直線上にあることを示せ.

問17

正三角形でない三角形ABCがあり,内心をI,外心をOとする.Aの外角の二等分線と直線BCの交点をD,Bの外角の二等分線と直線CAの交点をEとする.OIDEであることを示せ.

それでは早速解説をはじめていきます.

問13

問題

Oを中心とする円に外接する四角形ABCDにおいて,ABCDの交点をX,BCDAの交点をY,ACBDの交点をZとする.XYOZであることを示せ.

Oを中心とし,四角形ABCDに内接する円をωとする.
直線AB,BC,CD,DAωの接点をそれぞれP,Q,R,Sとする.XPO=XRO=90°より,四角形XPORは円に内接する.この円をΓ1とする.Γ1と直線XYの交点をH(X)とすれば,YQO=YSO=YHO=90°なので,四角形YQOSは円に内接し,かつ,この円をΓ2とすれば,Γ2Hを通る.
さて,PRQSの交点をZとすれば,Zω,Γ1,Γ2の根心なので,OHZを通る.よって,XYOZである.そこで,Z=Zであることを示せばよいが,これはブリアンションの定理を六点A,P,B,C,R,D,六点A,B,Q,C,D,Sにそれぞれ適用することで得られる.

最後の行について,ブリアンションの定理を知らない場合は,メネラウスの定理を三角形XACと直線PR,三角形YACと直線QSにそれぞれ適用すれば,直線PR,直線QSは線分ACをそれぞれ同じ比で内分することから証明できます.

余談

問題文は,「外接」と「内接」を入れ替えると,次のようになります:

Oを中心とする円に内接する四角形ABCDにおいて,ABCDの交点をX,BCDAの交点をY,ACBDの交点をZとする.

実は,こちらの問題文においてもXYOZが成り立ちます.
それだけでなく,より強い,「Oは三角形XYZの垂心である」という主張が成り立ちます.これは,ブロカールの定理と呼ばれます.
そのせいもあってか,この問題において,「外接」を「内接」と読み間違えた答案が多くありました.(ちなみに,これは偶然ではなく,問13とブロカールの定理の双対性からくる必然です.詳しくは,射影幾何学を学ぶと面白いと思います.)

問15

問題

円に内接する四角形ABCDにおいて,三角形ACDの内心をI1,三角形BCDの内心をI2とする.二点A,I2を通り直線BI2に接する円と,二点B,I1を通り直線AI1に接する円の共通外接線の交点をXとするとき,三点X,I1,I2は一直線上にあることを示せ.

二点A,I2を通り直線BI2に接する円をω1,二点B,I1を通り直線AI1に接する円をω2とする.
CDのうち点Aを含まない方の中点をMとする.明らかに三点A,I1,M,三点B,I2,Mはそれぞれ一直線上にある.また,
MI1D=I1AD+I1DA=I1AC+I1DC=MDC+I1DC=MDI1
よりMI1=MD.同様にすればMI2=MC.さらに,明らかにMD=MCであるからMI1=MI2.
よって,直線MI1,MI2にそれぞれ点I1,I2で接する円をとることができる.すると,この円とω1ω2mongeの定理を適用することで,三点X,I1,I2が一直線上にあることが得られる.

この問題の難易度ってどれくらいなんでしょう?わからないです.
mongeの定理を知らない場合の証明方法も用意してありますが,長くなるので,方針だけ書いておきます.
step1.共通外接線の一方と二円の接点をP,Qとおく.共通外接線のもう片方と二円の接点をR,Sとおく.
step2.四角形PQI1I2,四角形RSI1I2が円に内接することを示す.
step3.根心

問17

問題

正三角形でない三角形ABCがあり,内心をI,外心をOとする.Aの外角の二等分線と直線BCの交点をD,Bの外角の二等分線と直線CAの交点をEとする.OIDEであることを示せ.

この問題,非常にたくさんの解き方があります.私自身,様々な答案をみて,楽しませていただきました.そこで,いくつかの証明方法を紹介しようと思います.

想定解1

三角形ABCの接触三角形をPQRとする.
Cの外角の二等分線とABの交点をFとする.角の二等分線の性質とメネラウスの定理の逆から,三点D,E,Fが一直線上にあることがわかる.また,角度計算により四角形ADPIが円に内接することが分かる.この円をΓAとおく.同様にしてΓB,ΓCを定める.ΓADE交点をHとすれば,DHI=90°より,ΓB,ΓCHを通る.
ここで,三角形ABCの内接円について反転する.
Ωが反転して移った先をΩと表すこととする.
A,B,CはそれぞれQR,RP,PQの中点である.よって,Hは三角形PQRの重心である.さて,三点H,H,Iは一直線上にあるので,示したいことは三点H,I,Oが一直線上にあることである.ここで,Iは三角形PQRの外心であることに注意すれば,三角形PQRのオイラー線上に三角形ABCの外心があることを示せばよい.そこで,三角形PQRの垂心をK,九点円の中心をLとする.
PKQRの交点をS,QKRPの交点をT,RKPQの交点をRとする.
角度計算により,STABが分かる.同様に,TRBC,RSCAである.すると,三角形ABCと三角形STUの相似の中心Xをとることができる.角度計算により,Kは三角形STUの内心であることがわかるので,Xを中心とした相似拡大を考えることにより,三点X,K,Iが一直線上にあることがわかる.すなわち,Xは三角形PQRのオイラー線上にある.また,Lは三角形STUの外心であるから,再度Xを中心とした相似拡大を考えることにより,三点X,L,Oが一直線上にあることがわかる.よって,三角形PQRのオイラー線上にOがあることが示された.

➁想定解2

ΓB,ΓCHを通ることを示すまでは同様.
ΓAと円ABCの交点をS(A)とする.同様にして,T,Uを定める.角度計算により,四角形PQTSが円に内接することがわかる.同様にすれば,四角形QRUT,四角形RPSUはそれぞれ円に内接する.円PQTS,円QRUT,円RPSU,ΓA,ΓB,ΓCの六円のうち任意の二円の根軸は一点で交わるので,この点をXとする.Xを中心とする,半径XI×XHの反転によって,点P,Q,Rはそれぞれ点S,T,Uにうつる.すなわち,この反転によって,三角形ABCの内接円と外接円は互いに移りあう.よって,三点I,X,Oは一直線上にある.これと三点H,I,Xが一直線上にあることをあわせて,三点H,I,Oが一直線上にあることがわかる.よって,OIDEである.

➂kさんの解法

三角形ABCの傍心をIA,IB,ICとおく.I,は三角形IAIBICの垂心,Oは三角形IAIBICの九点円の中心なので,直線OIは三角形IAIBICのオイラー線である.よって,三角形IAIBICの外心をOとすれば,OODEであることを示せばよい.そこで,円ABC,円IAIBICの根軸lDEと一致することを示す.
四角形BCIBICは円に内接するので,DIC×DIB=DB×DC,すなわち,Dにおける円ABCと円IAIBICへの方べきが一致するので,Dは直線l上にある.同様にすれば,Eが直線l上にあることが示されるので,DE=l.よって示された.

掲載を快諾いただいたkさん,ご協力ありがとうございました.

この他,重心座標を用いる解答もありました.

おわりに

自作問題を他人に解いてもらうのは今回の文化祭が初めてで,不安も大きかったのですが,想像以上にたくさんの方に解いていただくことができました.ありがとうございました.

投稿日:2023918
OptHub AI Competition

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投稿者

yyaa
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