層の台
この記事では層の台と，それを用いた連接性の判定を一つ紹介しようと思います．層についての基本的な事柄は既知であるとします．
$X$を位相空間，$\mathscr{F}$を$X$上のアーベル群の層とするとき，集合$\{x\in X:\mathscr{F}_x\neq 0_x\}$を$\mathscr{F}$の台といい$\operatorname{Supp}\mathscr{F}$とかく．
関数のときは「$0$でないところの閉包」を台と呼びました．層の場合にも閉包を取る流儀がありますが，この記事では CAS にしたがって閉包を取らないことにします．
層の台がいつ閉集合になるかということは一つの興味深い問題です．一つの十分条件を与えるために，いくつか用語の定義をします．
位相空間$X$の上に環の層$\mathscr{A}$を一つ指定するとき，その組$(X,\mathscr{A})$を環付き空間 (ringed space) という．なお「環」には零環も含まれる．
位相空間のときと同じように，省略しても問題のない場合には環付き空間を単に$X$とかくことがあります．
環付き空間$(X,\mathscr{A})$の上の$\mathscr{A}$加群の層$\mathscr{S}$が局所有限生成であるとは任意の点$x\in X$に対して開近傍$U$と切断$s_1,\dots,s_p\in\mathscr{S}(U)$が存在して，任意の$y\in U$に対して$\mathscr{S}_y=\mathscr{A}_ys_{1y}+\dots+\mathscr{A}_ys_{py}$とかけることをいう．
$(X,\mathscr{A})$を環付き空間とする．$\mathscr{A}$加群の層$\mathscr{S}$が局所有限生成であるならばその台$\operatorname{Supp}\mathscr{S}$は閉集合である．
$x\in X\setminus\operatorname{Supp}\mathscr{S}$をとる．$\mathscr{S}$は局所有限生成であるから$x$の開近傍$U$と$s_1,\dots,s_p\in\mathscr{S}(U)$が存在して，任意の$y\in U$に対して$\mathscr{S}_y=\mathscr{A}_ys_{1y}+\dots+\mathscr{A}_ys_{py}$が成り立つ．特に$y=x$の場合を考えると$\mathscr{S}_x=0_x$だから$s_{jx}=0_x\ (j=1,\dots,p)$が成り立つ．必要ならば$U$を小さく取り直すことで$\mathscr{S}(U)$において$s_j=0$であり，したがって$\mathscr{S}|_U=0$が分かる．よって$x\in U\subset X\setminus\operatorname{Supp}\mathscr{S}$だから$\operatorname{Supp}\mathscr{S}$は閉集合である．
詳しい定義は述べませんが，$\mathscr{A}$加群の層の中で“良い”性質を持つものに連接層という名前がつけられます．この“良い”性質の一つに局所有限生成性が課されるので，連接層の台は$X$の閉集合であることが分かります．また連接層に対しては次の定理が成り立ちます．
$0\rightarrow\mathscr{S}'\xrightarrow{\varphi}\mathscr{S}\xrightarrow{\psi}\mathscr{S}''\rightarrow0$を$\mathscr{A}$加群の層の短完全列とする．このとき$\mathscr{S},\mathscr{S}',\mathscr{S}''$のうちいずれか二つが連接であるならば，残りの一つも連接である．
この Three Lemma からは多くの帰結があります(詳しくは CAS の$\raise1.5pt\hbox{\S}$A.4をご覧ください)．その中でも特に次は重要です．
$\varphi\colon\mathscr{S}\to\mathscr{T}$を$\mathscr{A}$加群の連接層の間の射とする．このとき$\operatorname{Im}\varphi,\ \operatorname{Ker}\varphi,\ \operatorname{Coker}\varphi$はみな連接である．
$\Delta=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|<1\}$とおきます．$\mathcal{O}_\Delta$を$\Delta$上の正則関数の芽のなす層とするとき，包含写像$\iota\colon\Delta\to\mathbb{C}$による順像$\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)$を考えてみましょう．この層は$\mathcal{O}_\mathbb{C}$加群の層として連接になるでしょうか．答えはNoですが，それをここまでに紹介した方法で判定できるので，見ていきましょう．
連接ならば台は閉という判定法 (対偶を取る) を紹介したので，まずは$\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)$の茎を調べてみます．
・$|z|<1$の場合明らかに$\iota_{\ast}(\mathcal{O}_\Delta)_z=\mathcal{O}_{\Delta,z}$となります．
・$|z|=1$の場合，順像の定義から茎を見るには帰納極限$\varinjlim_{z\in U\subset\mathbb{C}}\mathcal{O}_{\Delta}(\iota^{-1}(U))=\varinjlim_{z\in U\subset\mathbb{C}}\mathcal{O}_{\Delta}(U\cap\Delta)$を考えればよいですが，たとえば定数関数$0,1\in\mathcal{O}_\Delta(U\cap\Delta)$は$\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)_z$ において異なる元を定めます．したがって特に$\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)_z\neq0_z$です．
・$|z|>1$の場合は明らかに$\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)_z=0_z$です．
したがって結局$\operatorname{Supp}(\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta))=\overline{\Delta}$となり，「連接でない」とは結論づけられません．
次に“lifting morphism”$\tilde\iota\colon\mathcal{O}_\mathbb{C}\to\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)$を考えてみましょう．定義は，各開集合$V\subset\mathbb{C}$に対して$\tilde\iota_V\colon\mathcal{O}_\mathbb{C}(V)\to\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)(V)=\mathcal{O}_\Delta(V\cap\Delta);\ f\mapsto f\circ(\iota|_{V\cap\Omega})$とします ($V\cap\Delta=\emptyset$の場合$\mathcal{O}_\Delta(\emptyset)=0$であったことを思い出して，$\tilde\iota_V=0$と定義します)．この核を調べてみましょう．
・$|z|<1$の場合$\tilde{\iota}_z$は同型なので，特に$(\operatorname{Ker}\tilde\iota)_z=0_z$です．
・$|z|=1$の場合「核をとる」ことと「帰納極限をとる」ことは交換するので，$\tilde{\iota}_z$は単射になります(全射ではありません)．
・$|z|>1$の場合みんな潰れるので$\tilde\iota_z$は零写像で，したがって$(\operatorname{Ker}\tilde\iota)_z=\mathcal{O}_{\mathbb{C},z}$です．
以上より$\operatorname{Supp}(\operatorname{Ker}\tilde\iota)=\mathbb{C}\setminus\overline{\Delta}$となり，これは閉ではありません．もし$\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)$が連接なら定理2によりその核も連接，したがって命題1により台は閉集合になるので，これで$\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)$が連接でないと分かります．
なお一般に複素解析空間$(X,\mathcal{O}_X)$上の$\mathcal{O}_X$加群の層$\mathscr{S}$が連接であるなら，その零化イデアル層$\operatorname{An}\mathscr{S}\subset\mathcal{O}_X$の零点集合$N(\operatorname{An}\mathscr{S})$と$\mathscr{S}$の台は一致します．また零化イデアル層は再び連接ですので，その零点集合は$X$の解析的部分集合となることが分かります．よって実は$\operatorname{Supp}(\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)_z)=\overline{\Delta}$の時点で，これは解析的部分集合ではないので，$\iota_\ast(\mathcal{O}_\Delta)$が連接でないと分かります．しかし基本的なことはたくさん証明を知っていると良いと考えているので，ここでは初等的な計算を紹介してみました．
