未解決問題ノート
この記事について
この記事は自分が作った問題の中で、未だに解けていないものをのせています
進捗なども記録します。
良い解法等あったら教えてくださると嬉しいです。
本編
自然数の組$(a,b,c)$に対して$2^a+2^b+2^c$が平方数となるものを求めよ。
追記
ご指摘のあった通り$c=1,k=2$とすると
$(a,b)=(0,0)$なので、求めるものを自然数の組$(a,b,c)$から非負整数の組$(a,b,c)$とします。
進捗
$2^a+2^b+2^c=k^2(k \in \mathbb{N})$としてみる。
まあどうせ左辺は偶数なので右辺も偶数だね。つまり$k$は偶数。
例えば$c=1,k=2$としてみる。
$2^a+2^b=2$.これを満たす自然数の組は
$(a,b)=(0,0)$.
最近対称性というものを知ったので、
$a\geq b \geq c$としましょう。
多分$a\gt b\gt c$としてしまうと、さっきの例は成り立たなくなってしまい不都合な気がします。
問題1のもしかして
もしかして:頑張ったら因数分解できる(整数範囲)
もしかして2:$2^a+2^b+2^c=2^c(2^{a-c}+2^{b-c}+1)$とするとうまくいく
もしかして:$\mod{}$を使う
ちなみに、これの問題を一般化した問題もあります
$k \in \mathbb{N}$に対して$k^a+k^b+k^c$が
成り立つような非負整数の組$(a,b,c)$
を求めよ。
...無理ゲーぽそうですね
$16$進法で表されている$0$以上の数であって、5の倍数かつ末尾が4であるような$2026$以下の数はいくつあるか
うーん。一応($16$進数において)$10$周期で条件を満たすものは出てきて、$10$進数に直すと$16$周期で出てくるから$\mod{}$で考えたらよさそうと思う。
多分この記事の中で列挙されている問題の中で解ける希望が一番ある。
