等比数列の和の公式の証明

※本記事は， 既に別所で投稿した内容 をMathlogのために書き直したものです．

概要

等比数列の和の公式の証明を2つ与える．後者の方がスマートである．

詳細

初項$a$，公比$r$の等比数列の第$n$項までの和は
$$ \sum_{k=1}^nar^{k-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1} $$
である．ただし$r\neq1$とする．

証明1

上記の等式を(A)とする．
$a=0$のとき(A)の両辺はともに$0$となり，成り立つ．
$a\neq0$のとき，(A)の両辺を$a$で割ると
$$ \sum_{k=1}^nr^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1} $$
である．以下，この等式(B)が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す．
[1] $n=1$のとき(B)の両辺はともに$1$となり，成り立つ．
[2] $n=m$のとき(B)が成り立つと仮定する．このとき
\begin{align} \sum_{k=1}^{m+1}r^{k-1} &=\sum_{k=1}^mr^{k-1}+r^m \\ &=\frac{r^m-1}{r-1}+r^m \\ &=\frac{(r^m-1)+r^m(r-1)}{r-1} \\ &=\frac{r^m\{1+(r-1)\}-1}{r-1} \\ &=\frac{r^{m+1}-1}{r-1} \\ \end{align}
となり，$n=m+1$のときも(B)が成り立つ．
[1]，[2]より，すべての$n=1,2,\cdots$に対して(B)は成り立つ．従って，(A)も成り立つ．

証明2

上記の等式を(A)とする．
$a=0$のとき(A)の両辺はともに$0$となり，成り立つ．
$a\neq0$のとき，(A)の両辺を$a$で割ると
$$ \sum_{k=1}^nr^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1} $$
である．この等式が成り立つことを示せばよいが，
$$ (r-1)\sum_{k=1}^nr^{k-1}=\sum_{k=1}^n(r^k-r^{k-1})=r^n-1 $$
であるから，$r\neq1$ より従う．