等比数列の和の公式の証明

※本記事は， 既に別所で投稿した内容 をMathlogのために書き直したものです．

概要

等比数列の和の公式の証明を2つ与える．後者の方がスマートである．

詳細

初項$a$，公比$r$の等比数列の第$n$項までの和は
$$\sum _{k=1}^{n}a{r}^{k-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
である．ただし$r\ne 1$とする．

証明1

上記の等式を(A)とする．
$a=0$のとき(A)の両辺はともに$0$となり，成り立つ．
$a\ne 0$のとき，(A)の両辺を$a$で割ると
$$\sum _{k=1}^n{r}^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}$$
である．以下，この等式(B)が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す．
[1] $n=1$のとき(B)の両辺はともに$1$となり，成り立つ．
[2] $n=m$のとき(B)が成り立つと仮定する．このとき
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{m+1}{r}^{k-1}& =\sum _{k=1}^m{r}^{k-1}+r^m\\ & =\frac{r^m-1}{r-1}+r^m\\ & =\frac{(r^m-1)+r^m(r-1)}{r-1}\\ & =\frac{r^m\{1+(r-1)\}-1}{r-1}\\ & =\frac{r^{m+1}-1}{r-1}\end{array}$$
となり，$n=m+1$のときも(B)が成り立つ．
[1]，[2]より，すべての$n=1,2,\cdots$に対して(B)は成り立つ．従って，(A)も成り立つ．

証明2

上記の等式を(A)とする．
$a=0$のとき(A)の両辺はともに$0$となり，成り立つ．
$a\ne 0$のとき，(A)の両辺を$a$で割ると
$$\sum _{k=1}^n{r}^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}$$
である．この等式が成り立つことを示せばよいが，
$$(r-1)\sum _{k=1}^n{r}^{k-1}=\sum _{k=1}^n(r^k-r^{k-1})=r^n-1$$
であるから，$r\ne 1$ より従う．