Krull-Schmidtな体上の線形圏でHom-finiteでないもの

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多元環の表現論界隈では、よく体 $k$ 上の線形圏でHom-finiteなKrull-Schmidt圏ものを考えますが、よく知られている通り、次が成り立ちます。

$C$ を体 $k$ 上の線形圏とする。もし $C$ がHom-finiteで冪等完備ならばKrull-Schmidt圏である。

Krull-Schmidt圏は常に冪等完備です。

たまに上の命題の逆は成り立つのか、つまりHom-finiteでないKS圏があるのか何となくぼんやり疑問に思っていました。が普通にあったのでここにメモすることにします。

Krull-Schmidtな線形圏でHom-finiteでない例

$Λ$ を局所 $k$ 代数でベクトル空間として無限次元なものとします（非可換でも可換でもよい）（たとえば $k$ 上の形式的べき級数環）。すると有限生成射影加群のなす圏 $proj Λ$ は線形圏です。がいま $Λ$ は局所環なのでsemiperfectであり、よって $proj Λ$ はKrull-Schmidtです（もしくは有限生成射影加群が自由なことからKSの定義がすぐ満たされる）。しかし ${Hom}_{Λ} (Λ, Λ) = Λ$ は無限次元ベクトル空間なので、この圏はHom-finiteではありません。
上の議論のように、より一般に「ベクトル空間として無限次元であるsemiperfect $k$ 代数 $Λ$ 」を取れば $proj Λ$ はKSだがHom-finiteではないです。
また $\mod Λ$ についても同じく、 $R$ を可換完備ネーター（半）局所 $k$ 代数でベクトル空間として無限次元なもの（例えばべき級数環）、 $Λ$ を $R$ 加群として有限生成な $R$ 代数とすれば、 $\mod Λ$ はKSな線形圏ですが、上と同じ理由から全然Hom-finiteじゃないです。