多元環の表現論界隈では、よく体上の線形圏でHom-finiteなKrull-Schmidt圏ものを考えますが、よく知られている通り、次が成り立ちます。
を体上の線形圏とする。もしがHom-finiteで冪等完備ならばKrull-Schmidt圏である。
たまに上の命題の逆は成り立つのか、つまりHom-finiteでないKS圏があるのか何となくぼんやり疑問に思っていました。が普通にあったのでここにメモすることにします。
Krull-Schmidtな線形圏でHom-finiteでない例
- を局所代数でベクトル空間として無限次元なものとします(非可換でも可換でもよい)(たとえば上の形式的べき級数環)。すると有限生成射影加群のなす圏は線形圏です。がいまは局所環なのでsemiperfectであり、よってはKrull-Schmidtです(もしくは有限生成射影加群が自由なことからKSの定義がすぐ満たされる)。しかしは無限次元ベクトル空間なので、この圏はHom-finiteではありません。
- 上の議論のように、より一般に「ベクトル空間として無限次元であるsemiperfect 代数」を取ればはKSだがHom-finiteではないです。
- またについても同じく、を可換完備ネーター(半)局所代数でベクトル空間として無限次元なもの(例えばべき級数環)、を加群として有限生成な代数とすれば、はKSな線形圏ですが、上と同じ理由から全然Hom-finiteじゃないです。
Krull次元以上の可換環の表現論でめっちゃよく出てくる例ですね。いつも有限次元多元環の世界に住んでいるので感覚が麻痺していましたが、このようにいくらでもあります。
風のうわさで、とある本で線形圏について「Hom-finiteで冪等完備なこと」をKrull-Schmidtの定義として採用しているものがあると聞いたのですが、この例のようによく出てくる圏で反例が普通にあるという話でした。