近大数学コンテスト2024A3

まえがき

もうじき 京大オープン 近大数学コンテストの時期になってまいりました…　一年というのはとても速いものですね…　去年の過去問を解いてるときにたまたま解けてしまったので書いてみました．

追記:過去に投稿していた方に不備が見つかったのでそれの修正版です．

解答への思考の経路

$n,m$がどんな値を取ったとしてもガウス記号の中身は$0,1,2$のいずれかであることに気づいたらあとは数え上げで$l,m$のどっちかが消えないかな～と感じるので，ルートの中身をいじってうまく消せるようにする．

解答

$l$ を $n\to 0$に動くようにすると
\begin{align*} \Bigg[\frac{2(n-l)+1}{2n+1}+\frac{1}{2m+1}\Bigg]&=\Bigg[1-\frac{2l}{2n+1}+\frac{1}{2m+1}\Bigg]\\ &=1+\Bigg[-\frac{2l}{2n+1}+\frac{1}{2m+1}\Bigg] \end{align*}
また，$-1<-\dfrac{2n-1}{2n+1}\leq-\dfrac{2l}{2n+1}+\dfrac{1}{2m+1}\leq1$ であり，$-\dfrac{2l}{2n+1}+\dfrac{1}{2m+1}=1$ となる $(l,m)$ は $(0,0)$ だけである．このとき，
$$\Bigg[-\frac{2l}{2n+1}+\frac{1}{2m+1}\Bigg]=-1$$
つまり，
$$\frac{2n+1}{2(2m+1)}< l$$
となる $l$ は $n-\Bigg[\dfrac{2n+1}{2(2m+1)}\Bigg] $ 個あるので，求めるべき和は以下のように書き換えられる．
\begin{align*} \ &\sum _{l=0} ^n \sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{2l+1}{2n+1}+\frac{1}{2m+1}\Bigg] \\ &=\sum _{l=0} ^n \sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}\Bigg(\Bigg[-\frac{2l}{2n+1}+\frac{1}{2m+1}\Bigg] +1\Bigg)\\ &=\frac{1}{n}+\sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}\Bigg(-\Bigg(n-\Bigg[\frac{2n+1}{2(2m+1)}\Bigg]\Bigg) +n+1\Bigg)\\ &=\frac{1}{n}+\sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}\Bigg(\Bigg[\frac{2n+1}{2(2m+1)}\Bigg] +1\Bigg)\\ \end{align*}
$$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n}=0, \ \lim_{n\to \infty} \sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}=\lim_{n\to \infty} \frac{(-1)^n+1}{2n}=0 $$
が成立することから，
$$N=\lim_{n\to \infty} \sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{2n+1}{2(2m+1)}\Bigg] $$
が成立する．また，小数部分に注目すると
$$\Bigg[\frac{2n+1}{2(2m+1)}\Bigg]=\Bigg[\frac{n}{2m+1}+\frac{1}{2(2m+1)}\Bigg] =\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]$$
が成立することから，さらに$N$は
$$N= \lim_{n\to \infty} \sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg] $$
とあらわせる．
$2a-3<\sqrt{n}\leq 2a-1,\ 2b-1<\dfrac{n}{2} \leq 2b+1 $ を満たすように自然数$a,b$を定義する．このとき，任意の自然数$x\ (\geq 2b+1)$ において
$$ 0\leq \Bigg[\frac{n}{2x+1}\Bigg]\leq \Bigg[\frac{n}{n+1}\Bigg]=0$$
が成立することから，
$$\lim _{n\to \infty} \sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]=\lim _{n\to \infty} \Bigg(\sum _{m=0} ^{2a-1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]+ \sum _{m=2a} ^{2b+1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]\Bigg)$$
が成立する．
$x-1<[x]\leq x$より，
$$(-1)^m\cdot \dfrac{n}{2m+1}-1<(-1)^m\Bigg[\dfrac{n}{2m+1}\Bigg]<(-1)^m\cdot \dfrac{n}{2m+1}+1$$
となる．また，$n\to \infty$となることから$a\to \infty$ となるので，
\begin{align*} \lim _{n\to \infty} \sum _{m=0} ^{2a-1} \frac{1}{n} \Bigg(n\cdot \frac{(-1)^m}{2m+1}+1\Bigg) &\leq\lim _{n\to \infty} \sum _{m=0} ^{2a-1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]\leq \lim _{n\to \infty} \sum _{m=0} ^{2a-1} \frac{1}{n} \Bigg(n\cdot \frac{(-1)^m}{2m+1}+1\Bigg)\\ \frac{\pi}{4}-\lim _{n\to \infty}\frac{2a-1}{n} &\leq\lim _{n\to \infty} \sum _{m=0} ^{2a-1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg] \leq\frac{\pi}{4}+\lim _{n\to \infty}\frac{2a-1}{n} \end{align*}
したがって，
$$ \lim _{n\to \infty} \sum _{m=0} ^{2a-1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]=\frac{\pi}{4}$$
となる．ただし，式変形の途中でライプニッツの公式を使用した．
また，一般に
$$\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]-\Bigg[\frac{n}{2m+3}\Bigg]\geq0$$
が成立するので，
\begin{align*} \sum _{m=2a} ^{2b+1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg] &=\frac{1}{n}\sum _{m=a} ^{b} \Bigg[\frac{n}{4m+1}\Bigg] -\Bigg[\frac{n}{4m+3}\Bigg]\geq 0\\ \sum _{m=2a} ^{2b+1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg] &=\frac{1}{n}\sum _{m=a} ^{b} \Bigg[\frac{n}{4m+1}\Bigg] -\Bigg[\frac{n}{4m+3}\Bigg]\\ &\leq \frac{1}{n}\sum _{m=a} ^{b} \Bigg[\frac{n}{4m+1}\Bigg] -\Bigg[\frac{n}{4(m+1)+1}\Bigg]\\ &=\frac{1}{n}\Bigg(\Bigg[\frac{n}{4a+1}\Bigg] -\Bigg[\frac{n}{4b+5}\Bigg] \Bigg)\\ &\leq \frac{1}{n}\Bigg(\frac{n}{2\sqrt{n}+3} -\frac{n}{n+7}+2 \Bigg)\\ \end{align*}
以上より
\begin{align*} 0 &\leq\lim _{n\to \infty} \sum _{m=2a} ^{2b+1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]\leq \lim _{n\to \infty}\frac{1}{n}\Bigg(\frac{n}{2\sqrt{n}+3} -\frac{n}{n+7}+2 \Bigg)\\ 0 &\leq\lim _{n\to \infty} \sum _{m=2a} ^{2b+1} \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]\leq0\\ \end{align*}

したがって，
$$N=\lim _{n\to \infty} \sum _{m=0} ^n \frac{(-1)^m}{n}\Bigg[\frac{n}{2m+1}\Bigg]=\dfrac{\pi}{4}+0$$
となる．

あとがき

40pt問題にしてはあっさり解けてしまったので間違えてる可能背もあります．←案の定やらかしてましたね…現在は修正済みです．今年の目標として３完目指して頑張ります！！！