カイジEカードの勝率を求める

※本記事は， 既に別所で投稿した内容 をMathlogのために書き直したものです．

Eカードとは？

『賭博黙示録カイジ』に登場する2人対戦カードゲーム．
詳細は Eカード（賭博黙示録カイジ - Wikipedia） などを参照のこと．

ルール

• カードは「皇帝」「市民」「奴隷」の3種類がある
• 皇帝は市民に勝利でき，市民は奴隷に勝利でき，奴隷は皇帝に勝利できる（cf. じゃんけん）
• 奴隷側の手札は「奴隷カード1枚，市民カード4枚」とする
• 皇帝側の手札は「皇帝カード1枚，市民カード4枚」とする

その他「必ず奴隷側が先にカードを出す」「カードを見ることなく無作為に出してはならない」等のルールは無視し，完全なる「運ゲー」であることを仮定する．

考えられるゲーム結果を書き出す

以下，記号は次の通りとする．

• ○: 奴隷側の勝利（皇帝側の敗北）
• ×: 奴隷側の敗北（皇帝側の勝利）
• △: 引き分け

1ターン目

• 奴隷側の勝率は$1/25$
• 奴隷側の敗率は$8/25$
• 引き分けとなる確率は$16/25$

2ターン目

• 奴隷側の勝率は$1/16$
• 奴隷側の敗率は$3/8$
• 引き分けとなる確率は$9/16$

3ターン目

• 奴隷側の勝率は$1/9$
• 奴隷側の敗率は$4/9$
• 引き分けとなる確率は$4/9$

4ターン目

• 奴隷側の勝率は$1/4$
• 奴隷側の敗率は$1/2$
• 引き分けとなる確率は$1/4$

5ターン目

• 奴隷側の勝率は$1$
• 奴隷側の敗率は$0$
• 引き分けとなる確率は$0$

奴隷側の勝率計算

奴隷側の勝率は

• 1回目で勝利する確率
• 1回目で引き分けとなり，2回目で勝利する確率
• 1, 2回目で引き分けとなり，3回目で勝利する確率
• 1, 2, 3回目で引き分けとなり，4回目で勝利する確率
• 1, 2, 3, 4回目で引き分けとなり，5回目で勝利する確率

をすべて足すことで求められるから，
\begin{equation} \frac{1}{25} +\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{16} +\frac{16}{25}\cdot\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{9} +\frac{16}{25}\cdot\frac{9}{16}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{4} +\frac{16}{25}\cdot\frac{9}{16}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{4}\cdot1 =\frac{1}{5} \end{equation}
となる．

皇帝側の勝率計算

皇帝側の勝率も

• 1回目で勝利する確率
• 1回目で引き分けとなり，2回目で勝利する確率
• 1, 2回目で引き分けとなり，3回目で勝利する確率
• 1, 2, 3回目で引き分けとなり，4回目で勝利する確率
• 1, 2, 3, 4回目で引き分けとなり，5回目で勝利する確率

をすべて足すことで求められるから，
\begin{equation} \frac{8}{25} +\frac{16}{25}\cdot\frac{3}{8} +\frac{16}{25}\cdot\frac{9}{16}\cdot\frac{4}{9} +\frac{16}{25}\cdot\frac{9}{16}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2} +\frac{16}{25}\cdot\frac{9}{16}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{4}\cdot0 =\frac{4}{5} \end{equation}
となる．

余談

計算してみようと思ったきっかけは，はじめしゃちょーの畑の動画である．

今日の出荷！！

【カイジ】デスゲームで負けた人は１年間〇〇します https://t.co/g0nr3vfVp8 @YouTubeより

— はじめしゃちょーの畑 (@hajimesyachoHTK) January 23, 2020