2025東大理系数学の第2問を"適当に"解くと

問題

適当な解答

　(1)は$g(x) = x - 1 - \log{x}$として$\min{g(x)} \geq 0$を示せばOK．(2)は多分簡単な関数だし極限と積分交換してもええやろ！：$X_n := \dfrac{x^{1/n} - 1}{2}$として
\begin{align} n \int_1^2 \log{\left(\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)}\, dx &= \int_1^2 n X_n \log{\left\{\left(1 + X_n\right)^{1/X_n}\right\}}\, dx. \end{align}
$n \to \infty$で$X_n \to 0$である．また$h(z) = x^z$とすると$h'(z) = x^z \log{x}$により，$n X_n \to h'(0)/2 = \log{x}/2$が分かる．よって先に極限をとると
\begin{align} n \int_1^2 \log{\left(\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)}\, dx &\to \int_1^2 \frac{\log{x}}{2} \log{e}\, dx \\ &= \frac{1}{2} \int_1^2 \log{x}\, dx \\ &= \log{2} - \frac{1}{2}. \end{align}
よって
$$ \lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log{\left(\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)}\, dx = \log{2} - \frac{1}{2}. $$
できた！

おわりに

　皆さんは，キチンと積分と極限を交換してよいのか確認しましょう。