2025東大理系数学の第2問を"適当に"解くと

問題

2025 東京大（理科）第2問

$x > 0$ のとき，不等式 $\log x \leq x - 1$ を示せ．
次の極限を求めよ．
$lim_{n \to \infty} n \int_{1}^{2} \log (\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}) d x$

適当な解答

　(1)は $g (x) = x - 1 - \log x$ として $min g (x) \geq 0$ を示せばOK．(2)は多分簡単な関数だし極限と積分交換してもええやろ！： $X_{n} := \frac{x^{1 / n} - 1}{2}$ として
$\begin{aligned} n \int_{1}^{2} \log (\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}) d x & = \int_{1}^{2} n X_{n} \log {{(1 + X_{n})}^{1 / X_{n}}} d x . \end{aligned}$
$n \to \infty$ で $X_{n} \to 0$ である．また $h (z) = x^{z}$ とすると $h^{'} (z) = x^{z} \log x$ により， $n X_{n} \to h^{'} (0) / 2 = \log x / 2$ が分かる．よって先に極限をとると
$\begin{aligned} n \int_{1}^{2} \log (\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}) d x & \to \int_{1}^{2} \frac{\log x}{2} \log e d x \\ = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \log x d x \\ = \log 2 - \frac{1}{2} . \end{aligned}$
よって
$lim_{n \to \infty} n \int_{1}^{2} \log (\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}) d x = \log 2 - \frac{1}{2} .$
できた！