Crazy Ant Problem

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Crazy Ant Problem とは

Crazy Ant Problem とは座標平面の原点にいるアリがx軸方向に１進んで反時計回りに60度回転し、次に $\frac{1}{2}$ 進んで同じだけ回転し、同様に $\frac{1}{3}$ 進んで回転、 $\frac{1}{4}$ 進んで回転……と無限に続けたときのゴールの座標を求める問題です。

CrazyAnt

　複素数平面と、複素数版の対数関数のマクローリン展開(下記)を使うことでこの問題を解くことができます。しかも、回転角度が何度であっても計算できます。以下では回転角度を $θ$ としてゴールの座標を求めます。複素数の対数関数は多価関数になりますが、ここでは主値のみを考えればよいので以下では主値を用います。

対数関数のマクローリン展開

$- \log (1 - x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$

複素数平面上で考えた場合のアリのゴールの位置を $P$ とすると、 $(P \in C)$
　　　　 $\begin{aligned} P & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{i (n - 1) θ}}{n} \\ = e^{- i θ} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{i n θ}}{n} \\ = - e^{- i θ} \log (1 - e^{i θ}) \\ = - e^{- i θ} (\log | 1 - e^{i θ} | + i \arg (1 - e^{i θ})) \\ = - (\cos θ - i \sin θ) (\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} | + i (\frac{θ - π}{2})) \\ = (\frac{π - θ}{2} \sin θ - \cos θ (\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} |)) + i ((\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} |) \sin θ + \frac{π - θ}{2} \cos θ) \end{aligned}$

したがって、x,y座標平面上で表すとアリのゴールは
　　　　　　　　 $((\frac{π - θ}{2} \sin θ - \cos θ (\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} |)), ((\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} |) \sin θ + \frac{π - θ}{2} \cos θ))$
となります。

たとえば、 $θ = \frac{π}{3}$ のときはアリのゴールは $(\frac{\sqrt{3} π}{6}, \frac{π}{6})$ となります。

Crazy Ant Problem　の答え

つまり、最初の　Crazy Ant Problem　の答えは $(\frac{\sqrt{3} π}{6}, \frac{π}{6})$ ということです。

また、回転する角度が90度、つまり $θ = \frac{π}{2}$ のときは、 $(\frac{π}{4}, \frac{\ln 2}{2})$ に、回転する角度が180度、つまり $θ = π$ のときは、 $(\ln 2, 0)$ にそれぞれ収束することがわかります。なんだか神秘的ですね!

CrazyAntAns

フーリエ級数との関係

ところで、フーリエ級数というものがあります。簡単に言うと、関数をサイン波とコサイン波の和として表すというものです。こんな感じです。( $f (x)$ は周期 $2 π$ の周期関数)

$f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x)$

ここであらためて、Crazy Ant Problem の収束先の $x$ 座標と $y$ 座標を表す式を級数の形に書き直してみましょう。

$x$ 座標
　　　　　　　　 $(\frac{π - θ}{2} \sin θ - (\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} |) \cos θ) = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cos k θ}{k + 1}$

$y$ 座標
　　　　　　　　 $(\frac{π - θ}{2} \cos θ + (\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} |) \sin θ) = 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin k θ}{k + 1}$

おや?なんだかフーリエ級数の式とそっくりですね!実際、左辺をフーリエ級数展開したものが右辺だと解釈することが可能です。
$x$ 座標の方は ${a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots} = {2, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots}$ , ${b_{1}, b_{2}, b_{3} \dots} = {0, 0, 0, \dots}$ としてやればいいですし、 $y$ 座標の方は ${a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots} = {0, 0, 0, 0, \dots}$ , ${b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots} = {\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots}$ としてやればいいですね。

フーリエ級数の係数を求める式で積分を作る

フーリエ級数の係数はこんな式で計算することができます。

$\begin{aligned} a_{n} & = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (t) \cos n t d t, (n = 0, 1, 2, 3, \dots) \\ b_{n} & = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (t) \sin n t d t, (n = 1, 2, 3, \dots) \end{aligned}$

先ほどの級数にこの式を適用することで、こんな式が得られます。

　　　　　　　　 $\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} (\frac{π - θ}{2} \sin θ - (\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} |) \cos θ) \cos (n θ) d θ = \frac{1}{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$

　　　　　　　　 $\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} (\frac{π - θ}{2} \cos θ + (\log 2 + \log | \sin \frac{θ}{2} |) \sin θ) \sin (n θ) d θ = \frac{1}{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$