有限表示な平坦加群は射影的なことの、元を取らない証明

$M$の有限表示
\begin{CD} P_1 @>>> P_0 @>>> M @>>> 0 \end{CD}
をとると、$\Tr M$の定義により
\begin{CD} 0 @>>> M^* @>>> P_0^* @>>> P_1^* @>>> \Tr M @>>> 0 \end{CD}
が右$A$加群の短完全列である。よって右$A$加群$X$について、$\Hom_A(-,X)$で飛ばせば
\begin{CD} 0 @>>> \Hom_A(\Tr M,X) @>>> \Hom_A(P_1^*,X) @>>> \Hom_A(P_0^*,X) \end{CD}
というアーベル群の完全列が得られる。ここで、次の補題により、有限生成射影的な左加群$P$について$\Hom_A(P^*,X) \cong X \otimes_A P$があるので、上の完全列の右2つをこれに置き換えて、
\begin{CD} 0 @>>> \Hom_A(\Tr M,X) @>>> X\otimes_A P_1 @>>> X\otimes_A P_0 \end{CD}
という完全列が得られるが、テンソルは右完全なので、一番右の射の余核は$X \otimes M$である。よって求める完全列が得られた。

一般に左$A$加群$N$について、写像$X \otimes_A N \to \Hom_A(N^*,X)$が自然に簡単に定義できる。一応書くと、左の元$x \otimes n$が与えられると、準同型$N^* = \Hom_A(N,A) \to X$が、
$$ \Hom_A(N,A) \ni \varphi \mapsto x \cdot \varphi(n) \in X $$
で定まる（これがテンソル積を経由することや右$A$加群の準同型になっていること、また自然性は略）。よって自然変換$X \otimes_A (-) \to \Hom_A((-)^*,X)$が定まるが、これは明らかに$A$を代入すれば両辺が$X$となり、同型である。よって$A$の有限直和やその直和因子を代入しても同型（自然変換は有限直和や直和因子と可換）であり、主張が示された。

$M$を平坦かつ有限表示な左$A$加群とし、右$A$加群$\Tr M$を考える。証明の流れは、「$M$が平坦有限表示$\imp$$\Tr M$が射影的$\imp$$M$が射影的」と示す。

$\Tr M$は射影的な右$A$加群である。

ここが一番楽しいところである。射影性を示すため、任意の右$A$加群の短完全列
\begin{CD} 0 @>>> X @>>> Y @>>> Z @>>> 0 \end{CD}
を取る。このとき、補題2（鍵補題）と、射影加群は平坦なことから、次の大きい可換図式で各行列が完全なものが得られる：

\begin{CD} @. 0 @. 0 @. 0 @. \Tor_1^A(Z,M) = 0\\ @. @VVV @VVV @VVV @VVV \\ 0 @>>> \Hom_A(\Tr M,X) @>>> X \otimes_A P_1 @>>> X \otimes_A P_0 @>>> X \otimes_A M @>>> 0\\ @. @VVV @VVV @VVV @VVV\\ 0 @>>> \Hom_A(\Tr M,Y) @>>> Y \otimes_A P_1 @>>> Y \otimes_A P_0 @>>> Y \otimes_A M @>>> 0\\ @. @VVV @VVV @VVV @VVV\\ 0 @>>> \Hom_A(\Tr M,Z) @>>> Z \otimes_A P_1 @>>> Z \otimes_A P_0 @>>> Z \otimes_A M @>>> 0\\ @. @. @VVV @VVV @VVV \\ @. @. 0 @. 0 @. 0 \end{CD}

これに蛇の補題を適応できる（左下から右上に蛇が伸びる図）が、ここで$M$が平坦という仮定から、一番右上はゼロになので（Torは知らなければ無視してよい）、次の完全列が得られる：
\begin{CD} 0 @>>> \Hom_A(\Tr M, X) @>>> \Hom_A(\Tr M, Y) @>>> \Hom_A(\Tr M,Z ) @>>> 0 \end{CD}
これは$\Tr M$が射影的なことに他ならない！

$\Tr M$が射影的ならば$M$は射影的である。

ここのパートは、最後に述べる「$\Tr$が有限表示加群の安定圏の双対$\underline{\mod} A \simeq \underline{\mod} A^{op}$を与える」ことを認めれば、安定圏で$M \cong \Tr \Tr M = 0$となるので$M$が射影的、と示せます。がここでは安定圏の知識を仮定しないので、直接示すことにします。
$M$の有限表示
\begin{CD} P_1 @>>> P_0 @>>> M @>>> 0 \end{CD}
をとると、$\Tr M$の定義により
\begin{CD} P_0^* @>>> P_1^* @>>> \Tr M @>>> 0 \end{CD}
が完全となる。左の射の像をとって$\Omega \Tr M$とおき、これを短完全列と全射に分解しよう：
\begin{CD} @. P_0^* @>>> P_1^* @>>> \Tr M @>>> 0 \\ @. @VVV @| @|\\ 0 @>>> \Omega \Tr M @>>> P_1^* @>>> \Tr M @>>> 0\\ @. @VVV\\ @. 0 \end{CD}
今$\Tr M$が射影的だったので、右の全射$P_1^* \surj \Tr M$は分裂しており、すなわち下の短完全列は次の形の分裂短完全列と同型である：
\begin{CD} 0 @>>> Q @>>> Q \oplus \Tr M @>>> \Tr M @>>> 0 \end{CD}
すなわち$Q \cong \Omega \Tr M$も射影的なので、$P_0 \surj \Omega\Tr M$も分裂全射である。よって結局、上の可換図式は下の形となる（射は全て直和因子についての自然な包含や射影）
\begin{CD} @. Q \oplus Q' @>>> Q \oplus \Tr M @>>> \Tr M @>>> 0 \\ @. @VVV @| @|\\ 0 @>>> Q @>>> Q \oplus \Tr M @>>> \Tr M @>>> 0\\ @. @VVV\\ @. 0 \end{CD}
つまり、$\Tr M$の有限表示を与えていた射$P_0^* \to P_1^*$は、次のように行列表示される射と同型である：
$$ \begin{bmatrix} 1_Q & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \colon Q \oplus Q' \to Q \oplus \Tr M $$
ここで、後でやる補題により$P \cong (P^*)^*$という、有限生成射影的左加群$P$について自然な同型があるので、の間の加法圏の反同値を与えるので、$P_0^* \to P_1^*$に$(-)^*$をすると元の$P_1 \to P_0$へ戻る。すなわち$P_1 \to P_0$は次の射と同型である：
$$ \begin{bmatrix} 1_{Q^*} & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \colon Q^* \oplus (\Tr M)^* \to Q^* \oplus (Q')^* $$
この射の余核が$M$だが、上の表示によりそれは$(Q')^*$と同型、つまり射影加群となる。よって$M$が射影加群なことが示された。

一般に左$A$加群$M$について自然な準同型$M \to (M^*)^*$がある（線形代数を思い出そう！）が、この自然変換に$A$を代入すると同型なので、$A$の有限直和やその直和因子を代入しても同型であることから従う。