有限表示な平坦加群は射影的なことの、元を取らない証明

$M$の有限表示
$$\begin{array}{ccccccc}{P}_1& \stackrel{}{\to }& P_0& \stackrel{}{\to }& M& \stackrel{}{\to }& 0\end{array}$$
をとると、$\mathrm{Tr}M$の定義により
$$\begin{array}{ccccccccccc}0& \stackrel{}{\to }& M^{\ast }& \stackrel{}{\to }& P_0^{\ast }& \stackrel{}{\to }& P_1^{\ast }& \stackrel{}{\to }& \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& 0\end{array}$$
が右$A$加群の短完全列である。よって右$A$加群$X$について、${\mathrm{Hom}}_A(-,X)$で飛ばせば
$$\begin{array}{ccccccc}0& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Tr}M,X)& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(P_1^{\ast },X)& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(P_0^{\ast },X)\end{array}$$
というアーベル群の完全列が得られる。ここで、次の補題により、有限生成射影的な左加群$P$について${\mathrm{Hom}}_A(P^{\ast },X)\cong X{\otimes }_{A}P$があるので、上の完全列の右2つをこれに置き換えて、
$$\begin{array}{ccccccc}0& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Tr}M,X)& \stackrel{}{\to }& X{\otimes }_A{P}_1& \stackrel{}{\to }& X{\otimes }_A{P}_0\end{array}$$
という完全列が得られるが、テンソルは右完全なので、一番右の射の余核は$X\otimes M$である。よって求める完全列が得られた。

一般に左$A$加群$N$について、写像$X{\otimes }_{A}N\to {\mathrm{Hom}}_A(N^{\ast },X)$が自然に簡単に定義できる。一応書くと、左の元$x\otimes n$が与えられると、準同型$N^{\ast }={\mathrm{Hom}}_A(N,A)\to X$が、
$${\mathrm{Hom}}_A(N,A)\ni \phi \mapsto x\cdot \phi (n)\in X$$
で定まる（これがテンソル積を経由することや右$A$加群の準同型になっていること、また自然性は略）。よって自然変換$X{\otimes }_A(-)\to {\mathrm{Hom}}_A((-{)}^{\ast },X)$が定まるが、これは明らかに$A$を代入すれば両辺が$X$となり、同型である。よって$A$の有限直和やその直和因子を代入しても同型（自然変換は有限直和や直和因子と可換）であり、主張が示された。

$M$を平坦かつ有限表示な左$A$加群とし、右$A$加群$\mathrm{Tr}M$を考える。証明の流れは、「$M$が平坦有限表示$\Rightarrow$$\mathrm{Tr}M$が射影的$\Rightarrow$$M$が射影的」と示す。

$\mathrm{Tr}M$は射影的な右$A$加群である。

ここが一番楽しいところである。射影性を示すため、任意の右$A$加群の短完全列
$$\begin{array}{ccccccccc}0& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{}{\to }& Y& \stackrel{}{\to }& Z& \stackrel{}{\to }& 0\end{array}$$
を取る。このとき、補題2（鍵補題）と、射影加群は平坦なことから、次の大きい可換図式で各行列が完全なものが得られる：

$$\begin{array}{ccccccccc}& & 0& & 0& & 0& & {\mathrm{Tor}}_1^A(Z,M)=0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Tr}M,X)& \stackrel{}{\to }& X{\otimes }_A{P}_1& \stackrel{}{\to }& X{\otimes }_A{P}_0& \stackrel{}{\to }& X{\otimes }_{A}M& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Tr}M,Y)& \stackrel{}{\to }& Y{\otimes }_A{P}_1& \stackrel{}{\to }& Y{\otimes }_A{P}_0& \stackrel{}{\to }& Y{\otimes }_{A}M& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Tr}M,Z)& \stackrel{}{\to }& Z{\otimes }_A{P}_1& \stackrel{}{\to }& Z{\otimes }_A{P}_0& \stackrel{}{\to }& Z{\otimes }_{A}M& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & & & 0& & 0& & 0\end{array}$$

これに蛇の補題を適応できる（左下から右上に蛇が伸びる図）が、ここで$M$が平坦という仮定から、一番右上はゼロになので（Torは知らなければ無視してよい）、次の完全列が得られる：
$$\begin{array}{ccccccccc}0& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Tr}M,X)& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Tr}M,Y)& \stackrel{}{\to }& {\mathrm{Hom}}_A(\mathrm{Tr}M,Z)& \stackrel{}{\to }& 0\end{array}$$
これは$\mathrm{Tr}M$が射影的なことに他ならない！

$\mathrm{Tr}M$が射影的ならば$M$は射影的である。

ここのパートは、最後に述べる「$\mathrm{Tr}$が有限表示加群の安定圏の双対$\underset{―}{\mathsf{mod}}A\simeq \underset{―}{\mathsf{mod}}{A}^{op}$を与える」ことを認めれば、安定圏で$M\cong \mathrm{Tr}\mathrm{Tr}M=0$となるので$M$が射影的、と示せます。がここでは安定圏の知識を仮定しないので、直接示すことにします。
$M$の有限表示
$$\begin{array}{ccccccc}{P}_1& \stackrel{}{\to }& P_0& \stackrel{}{\to }& M& \stackrel{}{\to }& 0\end{array}$$
をとると、$\mathrm{Tr}M$の定義により
$$\begin{array}{ccccccc}{P}_0^{\ast }& \stackrel{}{\to }& P_1^{\ast }& \stackrel{}{\to }& \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& 0\end{array}$$
が完全となる。左の射の像をとって$\mathrm{\Omega }\mathrm{Tr}M$とおき、これを短完全列と全射に分解しよう：
$$\begin{array}{ccccccccc}& & P_0^{\ast }& \stackrel{}{\to }& P_1^{\ast }& \stackrel{}{\to }& \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \downarrow & & \parallel & & \parallel & \\ 0& \stackrel{}{\to }& \mathrm{\Omega }\mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& P_1^{\ast }& \stackrel{}{\to }& \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \downarrow & \\ & & 0\end{array}$$
今$\mathrm{Tr}M$が射影的だったので、右の全射$P_1^{\ast }\twoheadrightarrow \mathrm{Tr}M$は分裂しており、すなわち下の短完全列は次の形の分裂短完全列と同型である：
$$\begin{array}{ccccccccc}0& \stackrel{}{\to }& Q& \stackrel{}{\to }& Q\oplus \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& 0\end{array}$$
すなわち$Q\cong \mathrm{\Omega }\mathrm{Tr}M$も射影的なので、$P_0\twoheadrightarrow \mathrm{\Omega }\mathrm{Tr}M$も分裂全射である。よって結局、上の可換図式は下の形となる（射は全て直和因子についての自然な包含や射影）
$$\begin{array}{ccccccccc}& & Q\oplus Q^{\prime }& \stackrel{}{\to }& Q\oplus \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \downarrow & & \parallel & & \parallel & \\ 0& \stackrel{}{\to }& Q& \stackrel{}{\to }& Q\oplus \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& \mathrm{Tr}M& \stackrel{}{\to }& 0\\ & & \downarrow & \\ & & 0\end{array}$$
つまり、$\mathrm{Tr}M$の有限表示を与えていた射$P_0^{\ast }\to P_1^{\ast }$は、次のように行列表示される射と同型である：
$$\left[\begin{array}{cc}{1}_Q& 0\\ 0& 0\end{array}\right]:Q\oplus Q^{\prime }\to Q\oplus \mathrm{Tr}M$$
ここで、後でやる補題により$P\cong (P^{\ast }{)}^{\ast }$という、有限生成射影的左加群$P$について自然な同型があるので、の間の加法圏の反同値を与えるので、$P_0^{\ast }\to P_1^{\ast }$に$(-{)}^{\ast }$をすると元の$P_1\to P_0$へ戻る。すなわち$P_1\to P_0$は次の射と同型である：
$$\left[\begin{array}{cc}{1}_{Q^{\ast }}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]:Q^{\ast }\oplus (\mathrm{Tr}M{)}^{\ast }\to Q^{\ast }\oplus (Q^{\prime }{)}^{\ast }$$
この射の余核が$M$だが、上の表示によりそれは$(Q^{\prime }{)}^{\ast }$と同型、つまり射影加群となる。よって$M$が射影加群なことが示された。

一般に左$A$加群$M$について自然な準同型$M\to (M^{\ast }{)}^{\ast }$がある（線形代数を思い出そう！）が、この自然変換に$A$を代入すると同型なので、$A$の有限直和やその直和因子を代入しても同型であることから従う。