米田の補題
はじめに
この記事では、米田の補題を証明する。
圏、函手、自然変換の定義および自然性などの基本的な性質についてを前提とする。
以後、圏$\mathcal{C}$の双対圏を$\mathcal{C}^\mathsf{op}$、集合の圏を$\mathsf{Set}$、圏$\mathcal{A}$から$\mathcal{B}$への函手圏を$[\mathcal{A},\mathcal{B}]$と表す。
米田の補題
局所小圏$\mathcal{C}$に対して、函手$y\colon\mathcal{C}\to\widehat{\mathcal{C}}\coloneqq[\mathcal{C}^\mathsf{op},\mathsf{Set}]$を以下のように定義する:
| 函手$y\colon\mathcal{C}\to\widehat{\mathcal{C}}$ | 函手$\mathcal{C}({-},A)\colon\mathcal{C}^\mathsf{op}\to\mathsf{Set}$ | 自然変換$\mathcal{C}({-},f)\colon\mathcal{C}({-},A)\Rightarrow\mathcal{C}({-},A^\prime)$ |
|---|---|---|
| \begin{xy} \xymatrix@R=6pt@!C{ \mathcal{C}\ar[r]^y&{\widehat{\mathcal{C}}}\\ A\ar[d]^f&{y(A)\coloneqq\mathcal{C}({-},A)}\ar[d]_{y(f)\coloneqq\mathcal{C}({-},f)}\\ A^\prime&{y(A^\prime)\coloneqq\mathcal{C}({-},A^\prime)} } \end{xy} | \begin{xy} \xymatrix@R=6pt@!C{ \mathcal{C}^\mathsf{op}\ar[r]^{\mathcal{C}({-},A)}&\mathsf{Set}\\ B\ar@{<-}[d]^g&{\mathcal{C}(B,A)}\ar[d]_{\mathcal{C}(g,A)\coloneqq{-}\circ g}\\ B^\prime&{\mathcal{C}(B^\prime,A)} } \end{xy} | \begin{align} \quad \mathcal{C}({-},f) =\left(\mathcal{C}(B,A)\xrightarrow{\mathcal{C}({-},f)_B\coloneqq f\circ{-}}\mathcal{C}(B,A^\prime)\right)_{B\in\mathcal{C}} \end{align} |
このとき、米田の補題は次のような定理である。
同型$\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)\cong X(A)$が、$A\in\mathcal{C}$と$X\in\widehat{\mathcal{C}}$について自然に成り立つ。
主張を理解する
米田の補題は、函手の合成
\begin{xy}
\xymatrix@!C=5em@R=1pt{
{\mathcal{C}^\mathsf{op}\times\widehat{\mathcal{C}}}
\ar[r]^{y^\mathsf{op}\times\mathsf{id}}
&{\widehat{\mathcal{C}}^\mathsf{op}\times\widehat{\mathcal{C}}}
\ar[r]^{\mathsf{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}}}
&\mathsf{Set}\\
(A,X)
\ar@{|->}[r]
&(y(A),X)
\ar@{|->}[r]
&{\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)}
}
\end{xy}
により得られる函手が、評価函手
\begin{xy}
\xymatrix@!C=5em@R=1pt{
{\mathcal{C}^\mathsf{op}\times\widehat{\mathcal{C}}}
\ar[r]^{\operatorname{ev}(A,X)}
&\mathsf{Set}\\
(A,X)
\ar@{|->}[r]
&{\operatorname{ev}(A,X)\coloneqq X(A)}
}
\end{xy}
と自然同型であることを主張している。
すなわち、各$(A,X)$に対して集合${\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)}$と$X(A)$が同型であって、同型写像として射$A\to A^\prime$と自然変換$X\Rightarrow X^\prime$と可換であるようなものが取れるということである。
証明
$A\in\mathcal{C}$と$X\in\widehat{\mathcal{C}}$を固定する。写像$T_{A,X}\colon\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)\to X(A)$を自然変換$\alpha\colon y(A)\Rightarrow X$に対して$T_{A,X}(\alpha)=\alpha_A(\mathsf{id}_A)$と定めると$T_{A,X}$は全単射となる。
自然変換$\alpha\colon y(A)\Rightarrow X$の自然性より図式
\begin{xy}
\xymatrix{
\mathcal{C}(A,A)\ar[d]_{\mathcal{C}(A,f)\coloneqq f\circ{-}}\ar[r]^{\alpha_A}&X(A)\ar[d]^{Xf}&A\ar[d]^f\\
\mathcal{C}(A,A^\prime)\ar[r]_{\alpha_{A^\prime}}&X(A^\prime)&A^\prime
}
\end{xy}
の可換性より示される。
- 自然変換$\alpha,\beta\colon y(A)\Rightarrow X$に対して、$T_{A,X}(\alpha)=T_{A,X}(\beta)$ならば$f\in\mathcal{C}(A,A^\prime)$に対して
$$ \alpha_{A^\prime}(f)=\alpha_{A^\prime}(f\circ\mathsf{id})=Xf(T_{A,X}(\alpha))=Xf(T_{A,X}(\beta))=\beta_{A^\prime}(f\circ\mathsf{id})=\beta_{A^\prime}(f) $$
より$\alpha=\beta$となるため、$T_{A,X}$は単射となる。 - $x\in X(A)$と$f\in\mathcal{C}(A,A^\prime)$に対して$\alpha_{A^\prime}(f)\coloneqq Xf(x)$として射の族$\alpha=(\alpha_{A^\prime})$を定めると、$g\colon A^\prime\to B^\prime$に対して
$$ (Xg\circ\alpha_{A^\prime})(f)=Xg(\alpha_{A^\prime}(f))=Xg(Xf(x))=(X(g\circ f))x=\alpha_{A^\prime}(g\circ f)=(\alpha_{A^\prime}\circ\mathcal{C}(A,g))(f) $$
より$Xg\circ\alpha_{A^\prime}=\alpha_{A^\prime}\circ\mathcal{C}(A,g)$なため、$\alpha$は自然変換$y(A)\Rightarrow X$かつ$T_{A,X}(\alpha)=x$となるため、$T_{A,X}$は全射となる。
写像$T_{A,X}\colon\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)\to X(A)$は$A\in\mathcal{C}$について自然である。
$f\in\mathcal{C}(A,A^\prime)$と自然変換$\alpha\colon y(A)\Rightarrow X$に対して
\begin{align}
(Xf\circ T_{A,X})(\alpha)
&=Xf(T_{A,X}(\alpha))\\
&=Xf(\alpha_A(\mathsf{id}_A))\\
&=\alpha_{A^\prime}(f)\\
&=\alpha_{A^\prime}(\mathsf{id}_{A^\prime}\circ f)\\
&=\alpha_{A^\prime}(\mathcal{C}(A^\prime,f)(\mathsf{id}_{A^\prime}))\\
&=(\alpha_{A^\prime}\circ\mathcal{C}(A^\prime,f))(\mathsf{id}_{A^\prime})\\
&=(\alpha_{A^\prime}\circ y(f)_{A^\prime})(\mathsf{id}_{A^\prime})\\
&=(\alpha\circ y(f))_{A^\prime}(\mathsf{id}_{A^\prime})\\
&=T_{A^\prime,X}(\alpha\circ y(f))\\
&=T_{A^\prime,X}(\widehat{\mathcal{C}}(y(f),X)(\alpha))\\\
&=(T_{A^\prime,X}\circ\widehat{\mathcal{C}}(y(f),X))(\alpha)
\end{align}
より、$Xf\circ T_{A,X}=T_{A^\prime,X}\circ\widehat{\mathcal{C}}(y(f),X)$なため、図式
\begin{xy}
\xymatrix{
\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)\ar[d]_{\widehat{\mathcal{C}}(y(f),X)={-}\circ y(f)}\ar[r]^{T_{A,X}}&X(A)\ar[d]^{Xf}&A\ar[d]^f\\
\widehat{\mathcal{C}}(y(A^\prime),X)\ar[r]_{T_{A^\prime,X}}&X(A^\prime)&A^\prime
}
\end{xy}
は可換となる。
写像$T_{A,X}\colon\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)\to X(A)$は$X\in\widehat{\mathcal{C}}$について自然である。
自然変換$\sigma\colon X\Rightarrow X^\prime,\alpha\colon y(A)\Rightarrow X$に対して
\begin{align}
(\sigma_A\circ T_{A,X})(\alpha)
&=\sigma_A(T_{A,X}(\alpha))\\
&=\sigma_A(\alpha_A(\mathsf{id}_A))\\
&=(\sigma_A\circ\alpha_A)(\mathsf{id}_A)\\
&=(\sigma\circ\alpha)_A(\mathsf{id}_A)\\
&=T_{A^\prime,X}(\sigma\circ\alpha)\\
&=T_{A^\prime,X}(\widehat{\mathcal{C}}(y(A),\sigma)(\alpha))\\
&=(T_{A^\prime,X}\circ\widehat{\mathcal{C}}(y(A),\sigma))(\alpha)
\end{align}
より、$\sigma_A\circ T_{A,X}=T_{A^\prime,X}\circ\widehat{\mathcal{C}}(y(A),\sigma)$なため、図式
\begin{xy}
\xymatrix{
\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)\ar[d]_{\widehat{\mathcal{C}}(y(A),\sigma)=\sigma\circ {-}}\ar[r]^{T_{A,X}}&X(A)\ar[d]^{\sigma_A}&X\ar[d]^\sigma\\
\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X^\prime)\ar[r]_{T_{A,X^\prime}}&X^\prime(A)&X^\prime
}
\end{xy}
は可換となる。
補題2(全単射の存在性) で得られる全単射の族$T=(T_{A,X})_{A\in\mathcal{C},X\in\widehat{\mathcal{C}}}$について、 補題3(全単射の自然性1) と 補題4(全単射の自然性2) により、$A\in\mathcal{C}$と$X\in\widehat{\mathcal{C}}$について自然な同型$\widehat{\mathcal{C}}(y(A),X)\xrightarrow{T}X(A)$となる。
この補題の帰結
函手$y\colon\mathcal{C}\to\widehat{\mathcal{C}}$は米田埋め込み(Yoneda embedding)と呼ばれている。
埋め込みというだけあって、この函手は充満忠実である。
実際、$B\in\mathcal{C}$に対して$X=y(B)$とすると、$f\in\mathcal{C}(A,B)$に対して
$$
T_{A,y(B)}(y(f))=y(f)_A(\mathsf{id}_A)=\mathcal{C}(-,f)_A(\mathsf{id}_A)=(f\circ{-})(\mathsf{id}_A)=f\circ\mathsf{id}_A=f
$$
より、各$y_{A,B}\colon\mathcal{C}(A,B)\to\widehat{\mathcal{C}}(y(A),y(B))$は全単射となる。
