特殊な連立漸化式で表される数列の極限を求める

解説がかなり雑なので，後日詳しい説明を加える予定です．

目的

正の実数からなる数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$が以下を満たしているとする．
$$a_1=a,\quad b_1=b,\quad c_1=c$$
$$a_{n+1}=\sqrt{a_n(b_n+c_n-a_n)}$$
$$b_{n+1}=\sqrt{b_n(c_n+a_n-b_n)}$$
$$c_{n+1}=\sqrt{c_n(a_n+b_n-c_n)}$$
($n=1,2,3,\cdots$)
このとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$を$a,b,c$を用いて表したい．

解説

$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$は正の実数からなるので，
$$a_n< b_n+c_n,\quad b_n< c_n+a_n,\quad c_n< a_n+b_n$$
が成り立つ．すなわち，$3$辺の長さがそれぞれ$a_n,b_n,c_n$であるような三角形が存在するので，それを$\triangle A_nB_nC_n$とする．このとき，$\triangle A_nB_nC_n$と$\triangle A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$の面積が等しいことが示せる．また，$\triangle A_nB_nC_n$と$\triangle A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$の角度について計算すると，
$$\angle A_{n+1}=\dfrac{\angle B_n+\angle C_n}{2},\quad \angle B_{n+1}=\dfrac{\angle C_n+\angle A_n}{2},\quad \angle C_{n+1}=\dfrac{\angle A_n+\angle B_n}{2} $$
であることが分かる．すなわち$\angle A_n,\angle B_n,\angle C_n$の極限値は等しいので，
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\angle A_n=\lim_{n \to \infty}\angle B_n=\lim_{n \to \infty}\angle C_n=60^\circ$$
である．以上から，$n$を限りなく大きくしたとき，$\triangle A_nB_nC_n$は面積が$\triangle A_1B_1C_1$と等しい正三角形に限りなく近づく．この正三角形の一辺の長さは$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$だから，ヘロンの公式などから
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt[4]{\dfrac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{3}}$$
と計算できる．