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高校数学解説
文献あり

座標平面上の直線に対して対称な点の座標

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座標平面上に直線:ax+by+c=0と点P(p,q)がある。
直線に対してPと対称な点をQとする。Qの座標を求めよ。

数Ⅱの夏休み前の期末試験の範囲に図形と方程式の単元がありました。その当時の数学のノートを最近見つけたので見てみると、あらゆる公式を全部暗記して乗り切ろうと思っていたらしく、このような問題を作って公式を導出していました。今回はここにそれを紹介したいと思います。

解答の指針

P,Qは、直線に対して対称であるから、線分PQの中点M上にあります。

そこで、次のような手順で考えていきます。

  1. Qの座標を仮定して、中点Mの座標を表す。
  2. M上にあるので、それを元に式を一つ作る。
  3. 直線と線分PQは垂直なので、それを元にもう一つ式を作る。
  4. 2、3を連立して所望の座標を得る。

それではやっていきたいと思います。

解答

状況を図に表してみる 状況を図に表してみる
求めるQの座標を(X,Y)とする。

ここで、線分PQの中点Mの座標は、(p+X2,q+Y2)である。

このM:ax+by+c=0上にあるので、代入して整理すると

a(p+X2)+b(q+Y2)+c=0

aX+bY=apbq2c

また、PQより、傾きの積が1となる。それぞれ、
:ab( y=abxca)

PQ:YqXp

であるから、

abYqXp=1

bXaY=bpaq

を得る。

よって、

(abba)(XY)=(apbq2cbpaq)

を解けば良い。これをAx=bとおく。

補足

高校時代の自分は、背伸びをしまくって自分を誇張したがる高二病重症患者だったので、数学できるぜアピールをするためにチャート式をいつも座右に置いていました。なので、数学Cでやる予定の行列については、一通り読んでいて、連立方程式とかも行列を使って解いていました。
ここでは、その当時のやり方に従って、連立方程式を解いていきます。(補足終)

ここで、行列Aについて、Δ=a2b2である。
この連立方程式がただ一つの解を持つには、Δ0でなければならない。
そこで、Δ=0の場合を考えると、
Δ=0a2b2=0
a2=b2
であり、これを満たすのはa=b=0の場合だけである。そして、このときのc=0でもはや直線ではない。
よって、任意の直線でΔ=a2b20であることが言える。
これより、Aの逆行列はA1=1a2+b2(abba)
である。よって、求めるQの座標はx=A1bを解くことで、

(XY)=1a2+b2(abba)(apbq2cbpaq)

(XY)=1a2+b2(a(ap+bq+2c)+b(aqbp)a(bpaq)+b(ap+bq+2c))

(XY)=1a2+b2((a2b2)p+2abq+2ca2abp(a2b2)q+2bc)

となる。

直線に対して対称な点の座標

座標平面上の直線:ax+by+c=0と点P(p,q)について、直線に対してPと対称な点Qの座標は

Q((a2b2)p+2abq+2caa2+b2,2abp(a2b2)q+2bca2+b2)

ちょこっと練習

さっそくこの公式を使ってみましょう。

直線2xy1=0に対して点(0,4)と対称な点の座標を求めよ。

解答

先の公式で、a=2,b=1,c=1,p=0,q=4を代入すれば良い。
よく出るファクターの計算を先にしておくと、
a2+b2=22+(1)2=4+1=5
a2b2=22(1)2=41=3
2ab=22(1)=4

よって、求める座標は
(3044+22(1)5,4034+2(1)(1)5)

=(205,105)

=(4,2)
である。

これで、機械的に計算できるようになりましたね。

後日談

これを覚えて期末試験に臨んだわけですが、出題範囲が三角関数までと広すぎたので、直線に対称な点の問題は1問だけで、3点分しか出ず、コスパがあまりにも悪すぎました。

ていうか、公式を使わなくても、上の指針に従って計算すれば答えが出せたし、むしろその方が解き終えるのが早かった覚えがあります。

公式は機械的に覚えるものではなく、繰り返しの練習で身につけるものなんだな、と改めて感じましたし、教科書に載っている例題のやり方にはきちんと意味があるのだなとも思いました。この公式を得る過程で様々な学びを得られたと思いたい。

よって、あの当時もがき苦しみながら作り出したのに、全く使われることもなく、その努力が報われることがないまま古びていったこの公式が、いつか他の誰かの役に立つ日が来ることを祈念して、この記事の結びとします。

参考文献

[1]
戸瀬信之 他15名, 高等学校 数学Ⅱ, 数研出版, 81
投稿日:2024428
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AMY
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専門は数理物理学です。大学で相対性理論、大学院で半リーマン幾何学の勉強をしてました。

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