自作問題あなぐら７（空間内の三角形と極限）

問題

　 $n$ ， $k$ は自然数とする．座標空間において， $x y$ 平面上に原点を中心とする半径1の円 $C$ がある．点 $(0, - 2, 0)$ を通り，空間ベクトル $\vec{ℓ} = (1, 1, 1)$ と平行である直線を $L$ とする． $L$ 上の点のうち $z$ 座標が $\frac{k}{n}$ であるものを $P_{k}$ とする． $P_{k}$ を通り $z$ 軸に平行な直線上の点のうち， $z$ 座標が $\frac{1}{n}$ ， $0$ であるものをそれぞれ $H_{1}$ ， $H_{2}$ とする．
　 $C$ 上の点のうち， $P_{k}$ との距離が最小であるものを $Q_{k}$ とし， $△ H_{1} H_{2} Q_{k}$ の面積を $D_{k}$ とするとき，以下の問いに答えよ．

$P_{k}$ の座標 $n$ ， $k$ を用いて表せ．
極限値
$lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2 n} D_{k}$
を求めよ．

余話

　空間内の図形の計量と極限の問題です．僕が受験生時代に撃沈した，某阪大学のとある問題の解法を，記憶に残すために作りました．そういう背景があるので，この問題もその解法がポイントになっています．

解答

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(1) パラメータ $t \in R$ を用いて， $L : (x, y, z) = (0, - 2, 0) + t \vec{ℓ} = (t, t - 2, t)$ と書ける．よって
$P_{k} (\frac{k}{n}, \frac{k}{n} - 2, \frac{k}{n}) .$
(2) 前問の結果から $H_{1} (\frac{k}{n}, \frac{k}{n} - 2, \frac{1}{n})$ および $H_{2} (\frac{k}{n}, \frac{k}{n} - 2, 0)$ を得る．点 $P_{k}$ を固定し， $C$ 上で点 $R$ を動かすことを考える．このとき
$P_{k} R = \sqrt{({RH}_{2})^{2} + ({H_{2} P}_{k})^{2}}$
で， ${H_{2} P}_{k} (= \frac{k}{n})$ は常に一定である．よって $P_{k} R$ が最小となるのは ${RH}_{2}$ が最小になるとき．したがって，点 $Q_{k}$ は， ${RH}_{2}$ が最小になるような点 $R$ である．以上のことから，原点を $O$ として
$Q_{k} H_{2} = {OH}_{2} - (C の半径) = \sqrt{{(\frac{k}{n})}^{2} + {(\frac{k}{n} - 2)}^{2}} - 1.$
これより
$\begin{array}{r} D_{k} = \frac{1}{2} \times Q_{k} H_{2} \times H_{1} H_{2} = \frac{1}{2 n} {\sqrt{2 {(\frac{k}{n})}^{2} - 4 \frac{k}{n} + 4} - 1} \end{array}$
ゆえ
$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{2 n} D_{k} & = \frac{1}{\sqrt{2} n} \sum_{k = 1}^{2 n} \sqrt{{(\frac{k}{n})}^{2} - 2 \frac{k}{n} + 2} - 1 \\ \to \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 2} d x - 1 (n \to \infty) \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{- 1}^{1} \sqrt{t^{2} + 1} d t - 1 (t = x - 1 とした) \\ = \sqrt{2} \int_{0}^{1} \sqrt{t^{2} + 1} d t - 1 \\ = \sqrt{2} {[\frac{t \sqrt{t^{2} + 1} + \log (t + \sqrt{t^{2} + 1})}{2}]}_{0}^{1} - 1 \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \log (1 + \sqrt{2}) . \end{aligned}$
以上より
$lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2 n} D_{k} = \frac{1}{\sqrt{2}} \log (1 + \sqrt{2}) .$