自作問題あなぐら７（空間内の三角形と極限）
問題
$n$，$k$は自然数とする．座標空間において，$xy$平面上に原点を中心とする半径1の円$C$がある．点$(0, −2, 0)$を通り，空間ベクトル$\vec{\ell} = (1, 1, 1)$と平行である直線を$L$とする．$L$上の点のうち$z$座標が$\dfrac{k}{n}$であるものを$\mathrm{P}_k$とする．$\mathrm{P}_k$を通り$z$軸に平行な直線上の点のうち，$z$座標が$\dfrac{1}{n}$，$0$であるものをそれぞれ$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$とする．
$C$上の点のうち，$\mathrm{P}_k$との距離が最小であるものを$\mathrm{Q}_k$とし，$\triangle{\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2 \mathrm{Q}_k}$の面積を$D_k$とするとき，以下の問いに答えよ．
- $\mathrm{P}_k$の座標$n$，$k$を用いて表せ．
- 極限値
$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2n} D_k $$
を求めよ．
余話
空間内の図形の計量と極限の問題です．僕が受験生時代に撃沈した，某阪大学のとある問題の解法を，記憶に残すために作りました．そういう背景があるので，この問題もその解法がポイントになっています．
解答
解答を表示
(1) パラメータ$t \in \mathbb{R}$を用いて，$L : (x,\ y,\ z) = (0,\ -2,\ 0) + t \vec{\ell} = (t,\ t-2,\ t)$と書ける．よって
$$
\mathrm{P}_k \left(\dfrac{k}{n},\ \dfrac{k}{n} - 2,\ \dfrac{k}{n}\right).
$$
(2) 前問の結果から$\mathrm{H}_1 \left(\dfrac{k}{n},\ \dfrac{k}{n} - 2,\ \dfrac{1}{n}\right)$および$\mathrm{H}_2 \left(\dfrac{k}{n},\ \dfrac{k}{n} - 2,\ 0\right)$を得る．点$\mathrm{P}_k$を固定し，$C$上で点$\mathrm{R}$を動かすことを考える．このとき
$$
\mathrm{P}_k \mathrm{R} = \sqrt{(\mathrm{RH}_2)^2 + (\mathrm{H_2 P}_k)^2}
$$
で，$\mathrm{H_2 P}_k (= \frac{k}{n})$は常に一定である．よって$\mathrm{P}_k \mathrm{R}$が最小となるのは$\mathrm{RH}_2$が最小になるとき．したがって，点$\mathrm{Q}_k$は，$\mathrm{RH}_2$が最小になるような点$\mathrm{R}$である．以上のことから，原点を$\mathrm{O}$として
$$
\mathrm{Q}_k \mathrm{H}_2 = \mathrm{OH}_2 - (\text{$C$の半径}) = \sqrt{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + \left(\frac{k}{n} - 2\right)^2} - 1.
$$
これより
\begin{align}
D_k = \frac{1}{2} \times \mathrm{Q}_k \mathrm{H}_2 \times \mathrm{H_1 H_2} = \frac{1}{2 n} \left\{\sqrt{2 \left(\frac{k}{n}\right)^2 - 4 \frac{k}{n} + 4} - 1\right\}
\end{align}
ゆえ
\begin{align}
\sum_{k=1}^{2n} D_k &= \frac{1}{\sqrt{2} n} \sum_{k=1}^{2n} \sqrt{\left(\frac{k}{n}\right)^2 - 2 \frac{k}{n} + 2} - 1 \\
&\to \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^2 \sqrt{x^2 - 2 x + 2}\, dx - 1 \qquad (n \to \infty) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-1}^1 \sqrt{t^2 + 1}\, dt - 1 \qquad (t = x - 1 \text{とした}) \\
&= \sqrt{2} \int_0^1 \sqrt{t^2 + 1}\, dt - 1 \\
&= \sqrt{2} \left[\frac{t \sqrt{t^2 + 1} + \log{(t + \sqrt{t^2 + 1})}}{2}\right]_0^1 - 1 \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \log{(1 + \sqrt{2})}.
\end{align}
以上より
$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} D_k = \frac{1}{\sqrt{2}} \log{(1 + \sqrt{2})}.
$$
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
