チェック余鎖複体、細分間の鎖ホモトピーについて3次で計算

概要

記号

$X$を位相空間、$\mathcal{F}$を$X$上の層とする。
$\mathcal{U}=\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A},\mathcal{V}=\{V_{\beta }{\}}_{\beta \in B}$を$X$の開被覆で$\mathcal{V}$は$\mathcal{U}$の細分とする。
$i,j:B\to A$は写像で各$\beta \in B$ について$V_{\beta }\in U_{i(\beta )}$を満たすものとする。
開被覆$\mathcal{U}$によるチェック余鎖複体の$p$次余鎖群を$C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})$で表す。
$H^p(\mathcal{U},\mathcal{F})$でこの余鎖複体の$p$次コホモロジー群をあらわす。これはチェックコホモロジーではない点注意。

$f$は適当な$p$次の余鎖とする。つまり$f\in C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})$である。

$p$次の群は次のようになる：
$$C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})=\prod _{\alpha =({\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots \alpha p)\in A^{p+1}}\mathcal{F}(U_{\alpha })$$

から$f$の $\alpha =({\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots {\alpha }_p)$次成分を$f_{\alpha }$や$f_{{\alpha }_0{\alpha }_1\cdots {\alpha }_p}$ とかける。

しかしこの記法は書いていると文字が小さくてつらいので今回の計算の範囲ではあとで別の書き方にする。

主張

写像$i$により$i^{\ast }:C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\to C^p(\mathcal{V},\mathcal{F})$ が定まる。これによりコホモロジー群$H^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\to H^p(\mathcal{V},\mathcal{F})$の間の写像が定まるが、このコホモロジー間の写像は実は$i$によらない。つまり$j$から同様にして定まるコホモロジー群の写像と一致する。

証明の概略

写像$h_p:C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\to C^{p-1}(\mathcal{V},\mathcal{F})$を次で定める。これにより$i^{\ast }$から$j^{\ast }$へのホモトピックとわかる。つまり, $d_{p-1}{h}_{p-1}+h_p{d}_p=j^{\ast }(f)-i^{\ast }(f)$ を満たす。
$(h_{p}f)\in C^{p-1}(\mathcal{V},\mathcal{F})$を
$$(h_{p}f{)}_{{\beta }_0\cdots {\beta }_{p-1}}=\sum _{i=0}^p(-1{)}^i{f}_{i({\beta }_0)\cdots i({\beta }_i)j({\beta }_i)\cdots j({\beta }_p)}$$
とおく。

p = 3 で計算

本記事のメインコンテンツ。まず可換図式を用意しておきましょう。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$$C^2(\mathcal{U},\mathcal{F})d_2{C}^3(\mathcal{U},\mathcal{F})d_3{h}_2{C}^4(\mathcal{U},\mathcal{F})h_3{C}^2(\mathcal{V},\mathcal{F})d_2{C}^3(\mathcal{V},\mathcal{F})d_3{C}^4(\mathcal{V},\mathcal{F})$$

記号その２

細かい字を書くのが大変つらいため$f_{{\beta }_0\cdots {\beta }_p}$を$f[{\beta }_0\cdots {\beta }_p]$という具合に書きます。また,$i({\beta }_0)i({\beta }_1)\cdots i({\beta }_k)$を省略して$i({\beta }_0{\beta }_1\cdots {\beta }_k)$と書くことにします。

$h_2{d}_{2}f$ の計算

$$h_{2}f[{\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2]=f[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)]-f[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_2)]+f[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_2)]$$

$d_2{h}_{2}f\in C^3(\mathcal{V},\mathcal{F})$に注意すると
$$\begin{array}{rc}(d_2(h_{2}f))[{\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3]& =(h_{2}f)[{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3]-(h_{2}f)[{\beta }_0{\beta }_2{\beta }_3]\\ & +(h_{2}f)[{\beta }_0{\beta }_1{\beta }_3]-(h_{2}f)[{\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2]\end{array}$$

各項を計算していく：
$$\begin{array}{rcl}& (h_{2}f)[{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3]& =f[i({\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]-f[i({\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_2{\beta }_3)]+f[i({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)j({\beta }_3)]\\ & -(h_{2}f)[{\beta }_0{\beta }_2{\beta }_3]& =-f[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_2{\beta }_3)]+f[i({\beta }_0{\beta }_2)j({\beta }_2{\beta }_3)]-f[i({\beta }_0{\beta }_2{\beta }_3)j({\beta }_3)]\\ & (h_{2}f)[{\beta }_0{\beta }_1{\beta }_3]& =f[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_3)]-f[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_3)]+f[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_3)j({\beta }_3)]\\ & -(h_{2}f)[{\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2]& =-f[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)]+f[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_2)]-f[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_2)]\end{array}$$

$h_3{d}_{3}f$ の計算

$d_{3}f\in C^4(\mathcal{U},\mathcal{F})$に注意して：
$$\begin{array}{rc}(h_3(d_{3}f))[{\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3]& =(d_{3}f)[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]-(d_{3}f)[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]\\ & +(d_{3}f)[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_2{\beta }_3)]-(d_{3}f)[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)j({\beta }_3)]\end{array}$$

各項を計算していく：
$$\begin{array}{rcl}& (d_{3}f)[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)] =& f[j({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]-f[i({\beta }_0)j({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]\\ & & +f[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_2{\beta }_3)]-f[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_3)]+f[i({\beta }_0)j({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)]\\ & -(d_{3}f)[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]=& -f[i({\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]+f[i({\beta }_0)j({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]\\ & & -f[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_2{\beta }_3)]+f[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_3)]-f[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_1{\beta }_2)]\\ & (d_{3}f)[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_2{\beta }_3)]=& f[i({\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_2{\beta }_3)]-f[i({\beta }_0{\beta }_2)j({\beta }_2{\beta }_3)]\\ & & +f[i({\beta }_0{\beta }_1)j({\beta }_2{\beta }_3)]-f[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_3)]+f[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_2)]\\ & -(d_{3}f)[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)j({\beta }_3)]=& -f[i({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)j({\beta }_3)]+f[i({\beta }_0{\beta }_2{\beta }_3)j({\beta }_3)]\\ & & -f[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_3)j({\beta }_3)]+f[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2)j({\beta }_3)]-f[i({\beta }_0{\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3)]\end{array}$$

以上。あとはがんばって消しあうことを確認していく。

最後に。

書くことで身につくことってあると思う。

追記

• $h_{p}f$はたぶん単体的複体でいうプリズム鎖に相当するのだろう。