美術館定理

$n$角形を三彩色してみます。するとどの色かは分からないけど, 少なくとも一つの色は$\left[\dfrac{n}{3}\right]$個以下の頂点にしか彩色していません。なぜならどの色も$\left[\dfrac{n}{3}\right]+1$個以上の頂点に彩色していると仮定すると
\begin{align*} 3\left(\left[\dfrac{n}{3}\right]+1\right)>n \end{align*}
となりそんな三彩色の方法は存在ないので矛盾（背理法を用いている）。ここで三彩色と言っても定理3の三彩色を$n$角形にしていると仮定します。どの色かは分からないけど$\left[\dfrac{n}{3}\right]$個以下の頂点にしか彩色していない色があるので, その各頂点に監視カメラを設置してみます。すると, 各監視カメラは（美術館全体を見渡すことはできないかもしれないけど）その監視カメラが置かれている頂点をもつ（三角形分割で作られた）三角形の領域では完全に見渡すことができます。したがって, 今置いたすべての監視カメラで美術館全体を見渡すことができます。

美術館定理解決の図（この場合はどの色にカメラを設置してよい）

定理6の特別な三彩色の例として紹介した例では赤にカメラを設置すればよい

$n$角形の外角の大きさの和は$2\pi$である。それゆえ内角の大きさの和は$n\pi-2\pi=(n-2)\pi$である。この式の意味は, $n\pi$は各頂点の内角と外角の大きさの和が$\pi$であることと頂点が$n$個であることと, そこから外角の大きさの和$=2\pi$を引いていることから来ている。

$n=4$のときは上記の例で見たように成り立ちます。2つ以上の内角の大きさが$\pi$より大きくなることはありません。それはそのような四角形が存在すると仮定すると内角の和が$2\pi$より大きくなり命題7（内角の和の大きさの和の公式）と矛盾するからです。

$n\leqq{k}$のとき成り立つと仮定する。$k+1$多角形$P$とその内角の中で大きさが$\pi$未満のものの1つを$\angle{\mathrm{B}}$とし, その両隣の頂点をそれぞれ$\mathrm{A, C}$とする。

• 開線分$\mathrm{AC}$が$P$の内部に含まれるとき。このとき, $\triangle{\mathrm{ABC}}$は$P$の耳です。そして$P$は$\triangle{\mathrm{ABC}}$と$P$から$\triangle{\mathrm{ABC}}$を除いてできる$k$角形でできている図形です。この$k$角形は帰納法の仮定から互いに重なり合わない耳を2つ以上もちます。ゆえに$P$は互いに重なり合わない耳を2つ以上もちます。
• 開線分$\mathrm{AC}$が$P$の内部に含まれないとき。このとき$\triangle{\mathrm{ABC}}$の内部には$P$の頂点が含まれている。この中で$\mathrm{B}$と「最も近い」点の一つを$\mathrm{X}$とする。詳しくいうと, $\triangle{\mathrm{ABC}}$の内部の各点に対し開線分$\mathrm{AC}$に平行な直線を引きます。すると, 点$\mathrm{B}$とその各直線との距離が考えられらます。その中で最も$\mathrm{B}$と近い直線上の$P$の頂点のうちの一つを$\mathrm{X}$とします。線分$\mathrm{BX}$によって$P$を2つの多角形に分割します。するとどちらかの多角形は頂点数が$4$以上かつ$k$以下の多角形なので帰納法の仮定から互いに重なり合わない耳を2つ以上もちます。ゆえに$P$は互いに重なり合わない耳を2つ以上もちます。
  以上から, 耳定理（$n\geqq{4}$なら, $n$角形は互いに重なり合わない耳を2つ以上持つ）が成り立つ。

$n=4$のときは上述の例で述べたように成り立つ。

$n={k}$のとき成り立つと仮定して, $k+1$角形でも成り立つことを示す。$P$を$k+1$角形とする。三角形分割する。$P$の耳の一つを任意にとる。すると$P$は, この耳と$P$からそれを除いた$k$角形からなる図形だと思える。その$k$角形は帰納法の仮定から定理10（定理6）に書いてある三彩色ができるので, そのような彩色をする。$P$は任意に取った耳の一つの頂点のみまだ彩色していないので
その頂点の両隣と異なる色を塗る。この塗り方は, 定理10（定理6）に書いてある$P$に対しての彩色の一つである。よって, $n=k+1$のときも成り立つ。
以上から, 定理10（定理6）が成り立つ。