集合の厳密な定義はZFC公理系じゃないよ！

本稿では集合論にZFC公理系を採用します．

はじめに

「集合とはZFC公理系で定義されるモノ」というのは間違いです．　「モノ」とはなんですか？という話になります．

じゃあ集合の定義は何？

集合の定義はありません．集合は未定義用語(primitive notion)です．ミュンヒハウゼンのトリレンマを考えればこのような概念が現れる事は不可避です。

ZFC公理系における（数学的）対象すべてを集合と呼びます．

変数は対象です。論理式は対象ではありません（何故かと聞かれると苦しいのでこれは決まりだと思ってもらうほうが良いです）。

stack exchangeの参考スレッド もご覧ください．

じゃあZFC公理系とは何？

ZFC公理系の10個ほどの公理たちは集合が満たすべきルールというだけに過ぎません．それが集合という「モノ」を定義しているわけではありません．

例えばべき集合の公理を見てましょう：
$\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }P\mathrm{\forall }Z,Z\in P⟺Z\subset X$

ここで変数$X,Y,P$は対象，従って集合です．だからこれは次のように読みます：
「任意の集合$X$に対して$X$の部分集合$Z$からなる集合$P$が存在する」

論理式には「$\mathrm{set}(X)⟹$〜」などと書いていないですがZFC公理系を前提にしている場合はこのように読むことになっています．

終わりに

集合は現代数学を支える重要な基礎概念である割には数学科でもふわっと済まされがちなのは残念なことです．

MK,NBG集合論に関しては ここ がとてもわかり易いです。