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$$
本稿では集合論にZFC公理系を採用します．
はじめに
「集合とはZFC公理系で定義されるモノ」というのは間違いです． 「モノ」とはなんですか？という話になります．
じゃあ集合の定義は何？
集合の定義はありません．集合は未定義用語(primitive notion)です．ミュンヒハウゼンのトリレンマを考えればこのような概念が現れる事は不可避です。
ZFC公理系における（数学的）対象すべてを集合と呼びます．
変数は対象です。論理式は対象ではありません（何故かと聞かれると苦しいのでこれは決まりだと思ってもらうほうが良いです）。
集合論にZFC公理系を採用しないとき
ただし議論の前提となる集合論にZFC公理系でなくNBG集合論やMK集合論など「集合」より広い対象（クラス）を扱う理論を採用した場合は話が異なります(NBGとMKにおける違いは内包性公理に関するもの一点だけだがNBGはMKより真に強い)．このときクラス$X$が集合であるとは$\mathrm{set}(X)$と表される命題$\exists Y, X\in Y$が（前提にしている集合論から）証明可能なことと定義されます．
stack exchangeの参考スレッド
もご覧ください．
じゃあZFC公理系とは何？
ZFC公理系の10個ほどの公理たちは集合が満たすべきルールというだけに過ぎません．それが集合という「モノ」を定義しているわけではありません．
例えばべき集合の公理を見てましょう：
$\forall X\exists P\forall Z, Z\in P\iff Z\subset X$
ここで変数$X,Y,P$は対象，従って集合です．だからこれは次のように読みます：
「任意の集合$X$に対して$X$の部分集合$Z$からなる集合$P$が存在する」
論理式には「$\mathrm{set}(X)\implies$〜」などと書いていないですがZFC公理系を前提にしている場合はこのように読むことになっています．
他の公理系では？
例えばMK集合論ではべき集合の公理は次のようになります:
$\forall X (\mathrm{set}(X)\implies \exists P\forall Z (Z\in P\iff Z\subset X))$
今前提としている集合論はMKだからこれは次のように読みます：
「任意のクラス$X$に対して$X$が集合のとき、$X$の部分クラス$Z$からなるクラス$P$が存在する」
終わりに
集合は現代数学を支える重要な基礎概念である割には数学科でもふわっと済まされがちなのは残念なことです．
MK,NBG集合論に関しては
ここ
がとてもわかり易いです。
