エンタメ解説

log(x)+1の積分の変な解き方

積分

こんちくは

こんにちは。最近テストも終わって一層怠惰で自堕落な生活をしてる翁です。ちょっと馬鹿になったかもしれん。
今回はそのテストの試験時間中に思い付いた積分のお話です。現代の国語、すまんな。

ほんぺん

問題はこちら

\begin{align*} I=\int_{1}^{e}(\ln{x}+1)dx \end{align*}

「ん？部分積分するだけじゃねーかコノヤロー」となりますね。まあ、思いついたのは所謂別解です。早速解いていきましょう。

解くお。

\begin{align*} f(x)=x^x \end{align*}
を考える。このとき、
\begin{align*} f'(x)=x^x(\ln{x}+1) \end{align*}
よって
\begin{align*} \frac{f'(x)}{f(x)}&=\frac{x^x(\ln{x}+1)}{x^x}\\ &=\ln{x}+1 \end{align*}
以上より、与えられた積分は
\begin{align*} I&=\int_{1}^{e}(\ln{x}+1)dx\\ &=\int_{1}^{e}\frac{(x^x)'}{x^x}dx\\ &=\left[\ln(x^x)\right]_{1}^{e}\\ &=e \end{align*}
と計算できました。

これです。なんか微分形の接触が出てくるんですよね～。