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$$
導入
$p$進数は$\bmod{p}$が考えられるので$p$進での結果から$\bmod{p}$の結果を得ることができるのは自明である．ヘンゼルの補題とはその逆，即ち$\bmod{p}$での結果を$p$進におけるそれへと持ち上げる「リフト」の存在を言う$p$進数の理論において基本的かつとても重要な補題である．ただ「ヘンゼルの補題」と呼ばれるものには複数の形がある．ここではそれらの違いや関係について調べたい．
ヘンゼルの補題たちの主張と適用例
以下$f\in\Z_p[x]$とする.
文献を色々と見るとヘンゼルの補題というとまず次の形が基本のようである：
ヘンゼルの補題
$$f(a_0)\equiv 0 \pmod{p},\ f'(a_0)\not\equiv 0 \pmod{p}$$
を満たすような$a_0\in\Z_p$があるとき,ある$a\in\Z_p$があって
$$a\equiv a_0 \pmod{p}, f(a)=0.$$
つまり$\bmod{p}$における単純根があれば$p$進整数解へとリフトできるというのである．
$p$を奇素数とする．$a_0\in\Z\setminus p\Z$が$\bmod{p}$で平方剰余なら$f(x)=x^2-a_0$にヘンゼルの補題を適用することにより$\sqrt{a_0}\in\Z_p$であることがわかる(逆に$\sqrt{a_0}\in\Z_p$なら$(\sqrt{a_0})^2=a_0$の両辺を$\bmod{p}$することで$a_0$が$\bmod{p}$で平方剰余であることがわかる．).
これは実際には次のように仮定を弱められる：
強いヘンゼルの補題
ある$a_0\in\Z_p$があって$\delta_1:=\ord_p{f(a_0)},\delta_2:=\ord_p{f'(a_0)}$が$$2\delta_2<\delta_1$$
の関係にあるとき,ある$a\in\Z_p$があって
$$a\equiv a_0 \pmod{p^{\delta_1-\delta_2}}, f(a)=0.$$
雪江整数1[1]にヘンゼルの補題として載っているのはこの形である．
$f(x)=x^3-10$について$a_0=4$と選んだとき，$\ord_3(f(a_0))=3,\ \ord_3(f'(a_0))=1$よりヘンゼルの補題は適用できないが強いヘンゼルの補題は適用できる．
さて多項式に関するヘンゼルの補題を述べたい．
以下$\F_{\Q_p}:=\Z_p/p\Z_p$，$f\in\Z_p[x]$の係数を$\mod p$還元した多項式を$\overline{f}\in \F_{\Q_p}[x]$と書くことにする．
多項式のヘンゼルの補題
互いに素（従って共に$0$でない）な多項式$g_0,h_0\in \F_{\Q_p}[x]$が存在して
$$\overline{f}=g_0h_0$$
となるとする．
(このとき$f\in\Z_p[x]$は原始的多項式でなければならない．これは$f(x)=a_nx^n+\cdots +a_0\in\Z_p[x]$に対して$\abs{f}:=\max\{\abs{a_0}_p,\dots,\abs{a_n}_p\}$と定めたとき$\abs{f}=1$となることと同値である．つまり簡単に言えば$p$で割れない係数があるということにほかならない．)
このときある多項式$g,h\in\Z_p[x]$が存在して次を満たす．
$$f=gh,
\deg g=\deg g_0,
\overline{g}=g_0,
\overline{h}=h_0.$$
これは$\Q_p$のみならず一般の完備離散付値体において成り立つ．
(ここで$f$が$\bmod{p}$で次数が落ちない，即ち先頭項が$p$の倍数でさえなければ$\deg h=\deg h_0$であることがわかる．)
既約分解$x^3-2\equiv (x+2)(x^2+3x+4) \pmod{5}$があるので$x^3-2$は$\Z_5[x]$において$g(x)\equiv x+2 \pmod{5}$, $h(x)\equiv x^2+3x+4 \pmod{5}$なる1,2次の多項式$g,h$を用いて$x^3-2=g(x)h(x)$と既約分解できる．
$\Q_5$において$\sqrt[3]{2}$という表記を何も断りがなく使うのはまずい．それは上の例において$g,h$どちらの根を意味するかによって，例えば，$\sqrt[3]{2}\in\Q_5$であったり$\sqrt[3]{2}\notin \Q_5$であったりするからである．
ヘンゼルの補題たちの関係
本稿の主題が次である：
多項式のヘンゼルの補題$\implies$ヘンゼルの補題.
ヘンゼルの補題の仮定の状況を考える．今$\F_{\Q_p}[x]$において$f(x)=(x-a_0)g_0(x) $と分解出来る．ただし$a_0$は$\bmod{p}$の単純根であるから$g_0(x)$と$x-a_0$は互いに素でなければならない．
ここで多項式のヘンゼルの補題が使えて,ある$x-a,\ g\in\Z_p[x]$によって上の分解をリフト出来る．このとき$a\equiv a_0\pmod{p}$だからヘンゼルの補題が従った．
ここで上の証明と同様にして強いヘンゼルの補題を導くことは出来ない．それは強いヘンゼルの補題の仮定の状況では$g_0(a_0)\equiv 0$の可能性が許容されているからである．このとき$g_0(x)$と$x-a_0$は互いに素とは言えないので多項式のヘンゼルの補題の仮定を満たさない．
