競技数学解説

整数の悪問(自作)とその他

問題,自作,です

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

問題

$n$ を正の整数とする．
相異なる $n + 1$ 個の素数 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}, p_{n + 1}$ が，次の等式を満たした．

$\sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{2} = p_{n + 1}^{2}$

このとき $n$ としてありえる最小値を求めよ．

行きの新幹線で出した問題です．
なかなかいい感じに不評でした．
以下いい感じのシンキングタイムです．

時間稼ぎ

証明(易しいパート)

まず明らかに $n \geq 2$ なので， $p_{n + 1} > 3$ ．
左辺の $\mod 8$ を考えると， $p_{1}, \dots, p_{n}$ に $2$ を含めばこれは $n + 3$ に等しく，含まなければ $n$ に等しい．
右辺の $\mod 8$ は $1$ に等しいので， $n \equiv 1, 6 (\mod 8)$
左辺の $\mod 3$ を考えると， $p_{1}, \dots, p_{n}$ に $3$ を含めばこれは $n - 1$ に等しく，含まなければ $n$ に等しい．
右辺の $\mod 3$ は $1$ に等しいので， $n \equiv 1, 2 (\mod 3)$
よって $n \equiv 1, 14, 17, 22 (\mod 24)$ である．
$n = 14$ のとき解は存在する(後で例をあげます．)ので， $n$ の最小値は $14$ ．

証明(悪問を悪問たらしめるもの)

$n \geq 14$ までは慣れてる人ならすぐにわかると思います．
さあ、構成を考える時間です．明らかに左辺は $2^{2}$ と $3^{2}$ を含みますね．まず小さい方から順に $14$ 個足してみましょう．すると，

$2^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 11^{2} + 13^{2} +$ $17^{2} + 19^{2} + 23^{2} + 29^{2} + 31^{2} + 37^{2} + 41^{2} + 43^{2} = 8257 > 90^{2}$

です．つまり右辺は $97$ 以上．
右辺が $97$ ならこの状態から $97^{2} - 8257 = 1152$ 増やさなければ．

素数の平方差(右辺)のメモ

$97^{2} - 8257 = 1152 = 2^{7} \cdot 3^{2}$
$101^{2} - 8257 = 1944 = 2^{3} \cdot 3^{5}$
$103^{2} - 8257 = 2352 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 7^{2} = (61 + 37) (61 - 37)$
$107^{2} - 8257 = 3192 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19 = (61 + 23) (61 - 23)$
$⋮$

なので，次のように構成できます

$2^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 11^{2} + 13^{2} + 17^{2} + 19^{2} +$ $23^{2} + 29^{2} + 31^{2} + 61^{2} + 41^{2} + 43^{2} = 103^{2}$

$2^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 11^{2} + 13^{2} + 17^{2} + 19^{2} +$ $61^{2} + 29^{2} + 31^{2} + 37^{2} + 41^{2} + 43^{2} = 107^{2}$

おまけ

この問題，僕が高1の時(多分本選以降の問題をまだ見たことがない状態)に作った作問集にあったものなんですが，そこに書いてある自分の構成をお見せします．

$2^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 11^{2} + 13^{2} + 19^{2} + 23^{2} +$ $29^{2} + 31^{2} + 37^{2} + 41^{2} + 43^{2} + 59^{2} = 107^{2}$

$17$ が抜けてるんですが，当時どうやってこの解を見つけたのか思考のプロセスが思い浮かばないです．当時は実力的にプログラミング動かすのも無理だったと思います．電卓は使ったはず．直感とかかなぁ...
ついでといってはなんですが，その作問集に乗ってる他の問題をいくつかあげておきます．チェックはしてないので当時の僕が間違ってたらもしかしたら答えられる問題ではないかも()

$a, b \geq 0$ のとき次の最小値を求めよ．
(1) $a^{2} - a b + b^{2}$
(2) $a^{3} - a b + b^{3}$

当時は不等号を≧で書いていたんだなぁ(横線が二本)、と思いをはせる

$f (x) = (x - 2022) (x - 8128)$ の接線が点A $(2022, - 8128)$ を通るとき，接点の $x$ 座標を求めよ．

なんか全体的に，こう，文章が稚拙な．
これはただのショートカット受験数学では？

任意の $n$ について $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}$ が平方数になるような数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ が無限に存在することを示せ．

今回の主題の一個前に書いてたやつ，そりゃそうって感じ．すごい自信満々に書いてた．
さすがに見にくいので文章は変えました．

半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の一辺の長さを $x$ とする．
半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の一辺の長さを $x$ を用いて表せ．

これは三角関数を知らないので多分中二

先生は $2$ つの素数 $p, q (p \leq q)$ を用いて $p q$ (積)と表すことのできる $2$ 桁の整数が書かれたカードを持っている．A,B,C,Dの四人はみんなそのことを知っている．
先生はAさんに $p$ の値を，Bさんに $q$ の値を，Cさんにその整数の $10$ の位を，Dさんにその整数の $1$ の位を教えた．
以下のAさんとBさんの会話を読んで，次の問いに答えよ．
A「カードに書かれている数字が何か分かった？」
B「私は分かったよ」
(1)このとき，カードに書かれている数としてあり得る値を全て求めよ．
次に二人の会話を聞いていないCさんとDさんの会話を読んで，次の問いに答えよ．
C「どう，カードに書かれている数字が何か分かった？僕は分からないんだけど」
D「 $p, q$ のうち片方はわかったよ」
C「あ、じゃあカードに書かれている数字が何か分かったよ」
(2)カードに書かれていた数字を答えよ．