整数問題botを解こう！

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整数問題botとは？

整数問題bot(@seisu_bot) はTwitter（現X）で整数問題を投稿しているbotです。難易度設定はbotの主の方が
15分以内にできる→激易
15〜30分でできる→易
30分〜1時間でできる→やや易
1時間以上かかるけどまあ1日でできる→標準
何日もかかってできる→やや難
無理→難
となっていますが一般人にはどんなに頑張っても標準以上はかなり厳しいです。
ちなみにですが、難易度易の問題は大数評価D#です。

問題&解答

青くなってる問題番号を押すとTwitterの元の問題に飛びます。問題文を変えている場合がありますが、解く上では問題ないので気にしないでください。もし何かミス等があればまっしろ(@k_love_math)のDMに連絡をいただけると幸いです。

$n$を正の整数とする。$f(n)＝2^{(3^n+2^n)}-2^{(3^n)}+2^{(2^n)}-1$
とするとき$f(n)$は$3$で何回割り切れるか?(2011年第一回京大プレ5,易)

ヒント1

$f(n)$を因数分解してみましょう！

ヒント2

$x^2-1=(x-1)(x+1),x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

ヒント3

$\mod3\mod9$

解答

\begin{eqnarray*} f(n) &=& 2^{(3^n)}\cdot2^{(2^n)}-2^{(3^n)}+2^{2^n}-1 \\ &=& (2^{(3^n)}+1)(2^{(2^n)}-1) \\ \end{eqnarray*}
と因数分解することができ、また$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$を用いて
\begin{eqnarray*}\displaystyle 2^{(3^n)}+1 &=& (2^{(3^{n-1})}+1)(4^{(3^{n-1})}-2^{(3^{n-1})}+1) \\ &=& (2^{(3^{n-2})}+1)(4^{(3^{n-2})}-2^{(3^{n-2})}+1)(4^{(3^{n-1})}-2^{(3^{n-1})}+1) \\ &=& (2^1+1) \prod_{k=1}^{n-1} (4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1) \\ \end{eqnarray*}
$x^2-1=(x+1)(x-1)$を用いて
\begin{eqnarray*}\displaystyle 2^{(2^n)}-1 &=& (2^{(2^{n-1})}-1)(2^{(2^{n-1})}+1) \\ &=& (2^{(2^{n-2})}-1)(2^{(2^{n-2})}+1)(2^{(2^{n-1})}+1) \\ &=& (2^1-1) \prod_{k=1}^{n-1} (2^{(2^k)}+1) \end{eqnarray*}
以上より
$\displaystyle f(n)=(2+1)(2-1)\prod_{k=1}^{n-1}\{(4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1)(2^{(2^k)}+1)\}$
ここで$3$を法として
$2^{(2^k)}+1\equiv(-1)^{(2^k)}+1\equiv2$
$4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1\equiv1^{(3^k)}-(-1)^{(3^k)}+1\equiv3\equiv0$
よって
$(4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1)(2^{(2^k)}+1)\equiv2\cdot0\equiv0\cdots①$
$\quad$
また、$g(N)=N^2-N+1$とし、$9$を法とすれば
$\quad$
$g(0)\equiv1,g(1)\equiv1,g(2)\equiv3,g(3)\equiv7,g(4)\equiv4,g(5)\equiv3,g(6)\equiv4,g(7)\equiv5,g(8)\equiv3$
$\quad$
より$g(N)$は全ての整数$N$に対して$9$で割ることができず、$4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1=g(2^{(3k)})$
であるので$4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1$は$9$で割ることが出来ない。また、$2^{(2^k)}+1$は$3$で割り切ることが出来ないので$9$で割り切ることも出来ない。以上より$(4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1)(2^{(2^k)}+1)$は$9$で割ることが出来ない。$\cdots②$
$\quad$
①②より$(4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1)(2^{(2^k)}+1)$は$3$で一回だけ割ることができるので、$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(4^{(3^k)}-2^{(3^k)}+1)(2^{(2^k)}+1)$は$3$で$1$回だけ割れるものが$n-1$個掛け合わされたものであると分かり$3$で$n-1$回だけ割り切ることができる。$(2-1)(2+1)$は$3$で$1$回だけ割り切ることができるので最終的に$f(n)$は$n-1+1=n$より$n$回$3$で割ることができる。

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以下の条件を満たす$3$以上の正の整数$n$を全て求めよ。
条件:　ある$1\leqq k\leqq n-1$となる整数$k$が存在して$ {}_n \mathrm{ C }_{k-1},{}_n \mathrm{ C }_{k},{}_n \mathrm{ C }_{k+1}$がこの順に等差数列となる。
(2018年第二回京大実戦4、易)

ヒント1

${}_n \mathrm{ C }_{k}=t$とおいて${}_n \mathrm{ C }_{k-1},{}_n \mathrm{ C }_{k+1}$をそれぞれ$n,k,t$を用いて表してみましょう！

ヒント2

等差数列になる条件は？

解答

$\displaystyle {}_n \mathrm{ C }_{k}=t$とおいて$\displaystyle {}_n \mathrm{ C }_{k-1},{}_n \mathrm{ C }_{k+1}$を表すと
$\quad$
$\displaystyle {}_n \mathrm{ C }_{k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!},{}_n \mathrm{ C }_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},{}_n \mathrm{ C }_{k+1}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}$より
$\quad$
$\displaystyle {}_n \mathrm{ C }_{k-1}=t\cdot\frac{k}{n-k+1},{}_n \mathrm{ C }_{k+1}=t\cdot\frac{n-k}{k+1}\cdots①$
$\quad$
また$ {}_n \mathrm{ C }_{k-1},{}_n \mathrm{ C }_{k},{}_n \mathrm{ C }_{k+1}$がこの順に等差数列となるためには
$\quad$
${}_n \mathrm{ C }_{k}-{}_n \mathrm{ C }_{k-1}={}_n \mathrm{ C }_{k+1}-{}_n \mathrm{ C }_{k}\cdots②$が必要である。②に①を代入して
$\quad$
$\displaystyle t-t\cdot\frac{k}{n-k+1}=t\cdot\frac{n-k}{k+1}$
$\quad$
$t \neq 0$であるから両辺$t$で割って整理して
$(n-2k)^2=n+2$となるので

[補足説明]

式を整理した際に$(n-2k)^2=n+2$としたが$(2k-n)^2=n+2$として解答を進めても良い。なぜなら二項係数$ {}_n \mathrm{ C }_k$には対称性があり、${}_n \mathrm{ C }_k={}_n \mathrm{ C }_{n-k}$であるため$ {}_n \mathrm{ C }_{k-1},{}_n \mathrm{ C }_{k},{}_n \mathrm{ C }_{k+1}$がこの順に等差数列となるのであれば$ {}_n \mathrm{ C }_{n-k+1},{}_n \mathrm{ C }_{n-k},{}_n \mathrm{ C }_{n-k-1}$もこの順に等差数列となるので今回は$2k \lt n$として議論した。

$n+2=N^2,n-2k=N$とし$n\geqq3$に気をつければ
$\displaystyle (n,k)=(N^2-2,\frac{N^2-N}{2})(N\geqq3)$で成立するので答えは$n=N^2-2\quad(N\geqq3)$である。

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$x^3-2x+8=0$の3つの解を$α,β,γ$また、$n$を正の整数とおく。このとき$α^n+β^n+γ^n$は$2^n$の倍数であることを示せ
(2014年第一回京大プレ3、3分問題)

ヒント1

$S_n=α^n+β^n+γ^n$として$S_n$についての漸化式を立ててみよう！

ヒント2

数学的帰納法を使う上で必要なことは？

ヒント3

必要なことは解と係数の関係(基本対称式)を使って求められるよ！

解答

解答作成中！

投稿日：3月31日