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整数問題botを解こう!

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整数問題botとは?

整数問題bot(@seisu_bot) はTwitter(現X)で整数問題を投稿しているbotです。難易度設定はbotの主の方が
15分以内にできる→激易
15〜30分でできる→易
30分〜1時間でできる→やや易
1時間以上かかるけどまあ1日でできる→標準
何日もかかってできる→やや難
無理→難
となっていますが一般人にはどんなに頑張っても標準以上はかなり厳しいです。
ちなみにですが、難易度易の問題は大数評価D#です。

問題&解答

青くなってる問題番号を押すとTwitterの元の問題に飛びます。問題文を変えている場合がありますが、解く上では問題ないので気にしないでください。もし何かミス等があればまっしろ(@k_love_math)のDMに連絡をいただけると幸いです。

nを正の整数とする。f(n)2(3n+2n)2(3n)+2(2n)1
とするときf(n)3で何回割り切れるか?(2011年第一回京大プレ5,易)

ヒント1f(n)を因数分解してみましょう!
ヒント2x21=(x1)(x+1),x3+1=(x+1)(x2x+1)
ヒント3mod3mod9
解答f(n)=2(3n)2(2n)2(3n)+22n1=(2(3n)+1)(2(2n)1)
と因数分解することができ、またx3+1=(x+1)(x2x+1)を用いて
2(3n)+1=(2(3n1)+1)(4(3n1)2(3n1)+1)=(2(3n2)+1)(4(3n2)2(3n2)+1)(4(3n1)2(3n1)+1)=(21+1)k=1n1(4(3k)2(3k)+1)
x21=(x+1)(x1)を用いて
2(2n)1=(2(2n1)1)(2(2n1)+1)=(2(2n2)1)(2(2n2)+1)(2(2n1)+1)=(211)k=1n1(2(2k)+1)
以上より
f(n)=(2+1)(21)k=1n1{(4(3k)2(3k)+1)(2(2k)+1)}
ここで3を法として
2(2k)+1(1)(2k)+12
4(3k)2(3k)+11(3k)(1)(3k)+130
よって
(4(3k)2(3k)+1)(2(2k)+1)200

また、g(N)=N2N+1とし、9を法とすれば

g(0)1,g(1)1,g(2)3,g(3)7,g(4)4,g(5)3,g(6)4,g(7)5,g(8)3

よりg(N)は全ての整数Nに対して9で割ることができず、4(3k)2(3k)+1=g(2(3k))
であるので4(3k)2(3k)+19で割ることが出来ない。また、2(2k)+13で割り切ることが出来ないので9で割り切ることも出来ない。以上より(4(3k)2(3k)+1)(2(2k)+1)9で割ることが出来ない。

①②より(4(3k)2(3k)+1)(2(2k)+1)3で一回だけ割ることができるので、k=1n1(4(3k)2(3k)+1)(2(2k)+1)31回だけ割れるものがn1個掛け合わされたものであると分かり3n1回だけ割り切ることができる。(21)(2+1)31回だけ割り切ることができるので最終的にf(n)n1+1=nよりn3で割ることができる。

以下の条件を満たす3以上の正の整数nを全て求めよ。
条件: ある1kn1となる整数kが存在してnCk1,nCk,nCk+1がこの順に等差数列となる。
(2018年第二回京大実戦4、易)

ヒント1nCk=tとおいてnCk1,nCk+1をそれぞれn,k,tを用いて表してみましょう!
ヒント2等差数列になる条件は?
解答
nCk=tとおいてnCk1,nCk+1を表すと

nCk1=n!(k1)!(nk+1)!,nCk=n!k!(nk)!,nCk+1=n!(k+1)!(nk1)!より

nCk1=tknk+1,nCk+1=tnkk+1

またnCk1,nCk,nCk+1がこの順に等差数列となるためには

nCknCk1=nCk+1nCkが必要である。②に①を代入して

ttknk+1=tnkk+1

t0であるから両辺tで割って整理して
(n2k)2=n+2となるので
[補足説明]式を整理した際に(n2k)2=n+2としたが(2kn)2=n+2として解答を進めても良い。なぜなら二項係数nCkには対称性があり、nCk=nCnkであるためnCk1,nCk,nCk+1がこの順に等差数列となるのであればnCnk+1,nCnk,nCnk1もこの順に等差数列となるので今回は2k<nとして議論した。

n+2=N2,n2k=Nとしn3に気をつければ
(n,k)=(N22,N2N2)(N3)で成立するので答えはn=N22(N3)である。

x32x+8=0の3つの解をα,β,γまた、nを正の整数とおく。このときαn+βn+γn2nの倍数であることを示せ
(2014年第一回京大プレ3、3分問題)

ヒント1Sn=αn+βn+γnとしてSnについての漸化式を立ててみよう!
ヒント2数学的帰納法を使う上で必要なことは?
ヒント3必要なことは解と係数の関係(基本対称式)を使って求められるよ!
解答解答作成中!
投稿日:2024331
更新日:2024716
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Yorororor

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