整数問題botとは?
整数問題bot(@seisu_bot)
はTwitter(現X)で整数問題を投稿しているbotです。難易度設定はbotの主の方が
15分以内にできる→激易
15〜30分でできる→易
30分〜1時間でできる→やや易
1時間以上かかるけどまあ1日でできる→標準
何日もかかってできる→やや難
無理→難
となっていますが一般人にはどんなに頑張っても標準以上はかなり厳しいです。
ちなみにですが、難易度易の問題は大数評価D#です。
問題&解答
青くなってる問題番号を押すとTwitterの元の問題に飛びます。問題文を変えている場合がありますが、解く上では問題ないので気にしないでください。もし何かミス等があればまっしろ(@k_love_math)のDMに連絡をいただけると幸いです。
を正の整数とする。
とするときはで何回割り切れるか?(2011年第一回京大プレ5,易)
ヒント1
を因数分解してみましょう!ヒント2
ヒント3
解答
と因数分解することができ、またを用いて
を用いて
以上より
ここでを法として
よって
また、とし、を法とすれば
よりは全ての整数に対してで割ることができず、
であるのではで割ることが出来ない。また、はで割り切ることが出来ないのでで割り切ることも出来ない。以上よりはで割ることが出来ない。
①②よりはで一回だけ割ることができるので、はで回だけ割れるものが個掛け合わされたものであると分かりで回だけ割り切ることができる。はで回だけ割り切ることができるので最終的にはより回で割ることができる。
以下の条件を満たす以上の正の整数を全て求めよ。
条件: あるとなる整数が存在してがこの順に等差数列となる。
(2018年第二回京大実戦4、易)
ヒント1
とおいてをそれぞれを用いて表してみましょう!ヒント2
等差数列になる条件は?解答
とおいてを表すと
より
またがこの順に等差数列となるためには
が必要である。②に①を代入して
であるから両辺で割って整理して
となるので[補足説明]
式を整理した際にとしたがとして解答を進めても良い。なぜなら二項係数には対称性があり、であるためがこの順に等差数列となるのであればもこの順に等差数列となるので今回はとして議論した。
としに気をつければ
で成立するので答えはである。
の3つの解をまた、を正の整数とおく。このときはの倍数であることを示せ
(2014年第一回京大プレ3、3分問題)
ヒント1
としてについての漸化式を立ててみよう!ヒント2
数学的帰納法を使う上で必要なことは?ヒント3
必要なことは解と係数の関係(基本対称式)を使って求められるよ!解答
解答作成中!