無限級数その４

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［定理05］
　 $D > 1 ， 0 < j < D$ とおく．
$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{D n - j} - \frac{1}{D n}) = \int_{0}^{1} \frac{x^{D - j - 1} - x^{D - 1}}{1 - x^{D}} d x$

［証明］
$\sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{D n - j} - \frac{1}{D n}) = \sum_{n = 1}^{N} \int_{0}^{1} (x^{D n - j - 1} - x^{D n - 1}) d x$
$\sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{D n - j} - \frac{1}{D n}) = \int_{0}^{1} (x^{D - j - 1} - x^{D - 1}) \frac{1 - (x^{D})^{N}}{1 - x^{D}} d x$
$\sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{D n - j} - \frac{1}{D n}) = \int_{0}^{1} \frac{x^{D - j - 1} - x^{D - 1}}{1 - x^{D}} d x + \int_{0}^{1} \frac{x^{D - j - 1} - x^{D - 1}}{1 - x^{D}} (x^{D})^{N} d x$
$\frac{x^{D - j - 1} - x^{D - 1}}{1 - x^{D}} (x^{D})^{N} = \frac{1 - x^{j}}{1 - x^{D}} x^{(N + 1) D - 1}$
ここで， $f (x) = \frac{1 - x^{p}}{1 - x}$ $(0 ≦ x ≦ 1)$ ，ただし， $0 < p < 1$ とする．
「平均値の定理」から， $f (x) = p θ^{p - 1} ， 0 < θ < 1$ で， $0 ≦ f (x) ≦ p < 1$ .
したがって，
$| \frac{1 - x^{j}}{1 - x^{D}} | ≦ \frac{j}{D}$
$| \int_{0}^{1} \frac{1 - x^{j}}{1 - x^{D}} x^{(N + 1) D - 1} d x | ≦ \frac{j}{D} | \int_{0}^{1} x^{(N + 1) D - 1} d x | \to 0 （ N \to \infty)$
ここで， $N \to \infty$ のとき，
$\sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{D n - j} - \frac{1}{D n}) \to \int_{0}^{1} \frac{x^{D - j - 1} - x^{D - 1}}{1 - x^{D}} d x$
よって，成り立つ．□□

投稿日：2024年12月5日

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