Borel-Cantelliの補題とその証明

確率論

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本稿では，確率論におけるBorel-Cantelliの補題の証明を与える．ただし，証明の一部は演習問題になっているため，初学者は実際に手を動かしてみるのが良いだろう．

以下， $(Ω, F, P)$ を確率空間とする．また，事象 $A$ といった場合は $A \in F$ であると約束する．

補題の証明

Borel-Cantelliの補題には，事象の独立性を要するものとそうでないものがある．初めに独立性が不要なものから証明しよう．

事象の列の上極限

事象の列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して，
$\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} = ⋂_{k = 1}^{\infty} ⋃_{n = k}^{\infty} A_{n}$
を ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ の上極限という．

事象の列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ の上極限 $\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}$ も事象であることを確かめよ．

Borel-Cantelliの補題(1)

事象の列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して，
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = 0$
が成り立つ．

$E_{k} = ⋃_{n = k}^{\infty} A_{n}$ とおくと，任意の $k = 1, 2, \dots$ に対して $\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} \subset E_{k}$ が成り立つ．従って，
$\begin{matrix} (BC1-1) & P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) \leq P (E_{k}) \leq \sum_{n = k}^{\infty} P (A_{n}) \overset{k \to \infty}{\to} 0 \end{matrix}$
となり，結論を得る．

事象の列の下極限

事象の列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して，
$\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = ⋃_{k = 1}^{\infty} ⋂_{n = k}^{\infty} A_{n}$
を ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ の下極限という．

Borel-Cantelliの補題(1)から得られる系

事象の列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して，
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}^{c}) = 1$
が成り立つことを示せ．

独立性が必要な補題を証明するにあたり，事象の列に対する独立性の定義を確認しておこう．

事象の列の独立性

事象の列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ が独立であるとは，任意の正の整数 $l$ および任意の $l$ 個の正の整数 $k_{1} < k_{2} < \dots < k_{l}$ に対して
$P (⋂_{i = 1}^{l} A_{k_{i}}) = \prod_{i = 1}^{l} P (A_{k_{i}})$
が成り立つことを言う．

Borel-Cantelliの補題(2)

事象の列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ が独立であるとき，
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty \Rightarrow P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = 1$
が成り立つ．

任意の $k = 1, 2, \dots$ に対して $P (⋃_{n = k}^{\infty} A_{n}) = 1$ であることを示せばよい．
任意の $N = 1, 2, \dots$ に対して
$\begin{array}{rcl} 1 - P (⋃_{n = k}^{\infty} A_{n}) & \leq & 1 - P (⋃_{n = k}^{N} A_{n}) \\ = & P ({(⋃_{n = k}^{N} A_{n})}^{c}) \\ = & P (⋂_{n = k}^{N} A_{n}^{c}) \\ (BC2-1) & = & \prod_{n = k}^{N} P (A_{n}^{c}) \\ = & \prod_{n = k}^{N} {1 - P (A_{n})} \\ (BC2-2) & \leq & \prod_{n = k}^{N} \exp {- P (A_{n})} \\ = & \exp {- \sum_{n = k}^{N} P (A_{n})} \end{array}$
である．よって， $\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty$ であることに注意すると，
$\begin{matrix} (BC2-3) & 1 - P (⋃_{n = k}^{\infty} A_{n}) \leq \exp {- \sum_{n = k}^{N} P (A_{n})} \overset{N \to \infty}{\to} 0 \end{matrix}$
となり， $P (⋃_{n = k}^{\infty} A_{n}) = 1$ を得る．

演習問題

P

の劣加法性

事象の列 ${A_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して $P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) \leq \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n})$ が成り立つことを示せ．

Borel-Cantelliの補題(1) の証明中の $BC1-1$ について，以下の問いに答えよ．
(1) $P (E_{k}) \leq \sum_{n = k}^{\infty} P (A_{n})$ が成り立つことを示せ．
(2) $\sum_{n = k}^{\infty} P (A_{n}) \overset{k \to \infty}{\to} 0$ が成り立つことを示せ．

Borel-Cantelliの補題(2) の証明について，以下の問いに答えよ．
(1) 任意の $k = 1, 2, \dots$ に対して $P (⋃_{n = k}^{\infty} A_{n}) = 1$ であるとき， $P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = 1$ となることを示せ．
(2) 事象 $A, B$ が独立ならば $A^{c}, B^{c}$ も独立であることを示せ（ $BC2-1$ の根拠）．ここで，事象 $A, B$ が独立であるとは $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ が成り立つことを言う．
(3) $x \geq 0$ に対して $1 - x \leq \exp (- x)$ が成り立つことを示せ（ $BC2-2$ の根拠）．
(4) $\sum_{n = k}^{\infty} P (A_{n}) = \infty$ であることを示せ（ $BC2-3$ の根拠）．

問題の解答

問題1

$F$ は $σ$ -加法族であるから，特に次を満たす．
[1] $A \in F$ ならば $A^{c} = Ω ∖ A \in F$
[2] $A_{1}, A_{2}, \dots \in F$ ならば $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in F$
[2]より，任意の $k = 1, 2, \dots$ に対して $⋃_{n = k}^{\infty} A_{n} \in F$ である．よって， $\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n} \in F$ を確かめるには次を示せればよい．
[2'] $B_{1}, B_{2}, \dots \in F$ ならば $⋂_{n = 1}^{\infty} B_{n} \in F$
$B_{1}, B_{2}, \dots \in F$ のとき，[1]，[2]より
${(⋂_{n = 1}^{\infty} B_{n})}^{c} = ⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}^{c} \in F$
である．よって，再び[1]から $⋂_{n = 1}^{\infty} B_{n} \in F$ となり，[2']を得る．

問題2

${(\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n})}^{c} = {(⋂_{k = 1}^{\infty} ⋃_{n = k}^{\infty} A_{n})}^{c} = ⋃_{k = 1}^{\infty} ⋂_{n = k}^{\infty} A_{n}^{c} = \underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}^{c}$ であることに注意すると，Borel-Cantelliの補題(1)より $P (\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n}^{c}) = 1 - P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = 1$ となる．

問題3

$B_{1} = A_{1}, B_{n} = A_{n} ∖ ⋃_{k = 1}^{n - 1} A_{k}$ （ $n = 2, 3, \dots$ ）とおくと， ${B_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ は次を満たす．

$B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ （ $i \neq j$ ）
$B_{n} \subset A_{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）
$⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}$

よって， $P$ の $σ$ -加法性と単調性に注意すると，
$P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = P (⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (B_{n}) \leq \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n})$
となり，結論を得る．

問題4

(1)

$P$ の劣加法性より $P (E_{k}) = P (⋃_{n = k}^{\infty} A_{n}) \leq \sum_{n = k}^{\infty} P (A_{n})$ となる．

(2)

任意の $k = 1, 2, \dots$ に対して，
$\begin{array}{rcl} \sum_{n = k}^{\infty} P (A_{n}) & = & lim_{N \to \infty} \sum_{n = k}^{N} P (A_{n}) \\ = & lim_{N \to \infty} (\sum_{n = 1}^{N} P (A_{n}) - \sum_{n = 1}^{k - 1} P (A_{n})) \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} P (A_{n}) - \sum_{n = 1}^{k - 1} P (A_{n}) \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) - \sum_{n = 1}^{k - 1} P (A_{n}) \end{array}$
である．よって，仮定より $\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty$ であることに注意すると，
$\begin{array}{rcl} lim_{k \to \infty} \sum_{n = k}^{\infty} P (A_{n}) & = & lim_{k \to \infty} (\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) - \sum_{n = 1}^{k - 1} P (A_{n})) \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) - lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k - 1} P (A_{n}) \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) - \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) \\ = & 0 \end{array}$
となる．

問題5

(1)

$P$ の劣加法性に注意すると，
$\begin{array}{rcl} P ({(\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n})}^{c}) & = & P (⋃_{k = 1}^{\infty} {(⋃_{n = k}^{\infty} A_{n})}^{c}) \\ \leq & \sum_{k = 1}^{\infty} P ({(⋃_{n = k}^{\infty} A_{n})}^{c}) \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} (1 - P (⋃_{n = k}^{\infty} A_{n})) \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} 0 \\ = & 0 \end{array}$
となる．従って $P (\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}) = 1 - P ({(\underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n})}^{c}) = 1$ である．

(2)

$A, B$ の独立性より，
$\begin{array}{rcl} P (A \cap B^{c}) & = & P (A ∖ (A \cap B)) \\ = & P (A) - P (A \cap B) \\ = & P (A) - P (A) P (B) \\ = & P (A) (1 - P (B)) \\ = & P (A) P (B^{c}) \end{array}$
である．さらに，これを用いると
$\begin{array}{rcl} P (A^{c} \cap B^{c}) & = & P (B^{c} ∖ (A \cap B^{c})) \\ = & P (B^{c}) - P (A \cap B^{c}) \\ = & P (B^{c}) - P (A) P (B^{c}) \\ = & P (B^{c}) (1 - P (A)) \\ = & P (A^{c}) P (B^{c}) \end{array}$
となる．従って， $A^{c}, B^{c}$ は独立である．

(3)

$f (x) = \exp (- x) + x - 1$ とすると $f^{'} (x) = - \exp (- x) + 1$ であり， $x \geq 0$ において常に $f^{'} (x) \geq 0$ が成り立つ．よって， $f (x)$ は $x \geq 0$ において単調増加であり，かつ $f (0) = 0$ であるから， $x \geq 0$ において常に $f (x) \geq 0$ となる．すなわち， $x \geq 0$ に対して $1 - x \leq \exp (- x)$ が成り立つ．

(4)

仮定より $\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty$ であるから，
$\begin{array}{rcl} \sum_{n = k}^{\infty} P (A_{n}) & = & lim_{N \to \infty} \sum_{n = k}^{N} P (A_{n}) \\ = & lim_{N \to \infty} (\sum_{n = 1}^{N} P (A_{n}) - \sum_{n = 1}^{k - 1} P (A_{n})) \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} P (A_{n}) - \sum_{n = 1}^{k - 1} P (A_{n}) \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) - \sum_{n = 1}^{k - 1} P (A_{n}) \\ = & \infty \end{array}$
となる．