Borel-Cantelliの補題とその証明
本稿では，確率論におけるBorel-Cantelliの補題の証明を与える．ただし，証明の一部は演習問題になっているため，初学者は実際に手を動かしてみるのが良いだろう．
以下，$(\Omega,\mathcal{F},P)$を確率空間とする．また，事象$A$といった場合は$A\in\mathcal{F}$であると約束する．
補題の証明
Borel-Cantelliの補題には，事象の独立性を要するものとそうでないものがある．初めに独立性が不要なものから証明しよう．
事象の列$\{A_n\}_{n=1}^\infty$に対して，
$$
\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=k}^\infty A_n
$$
を$\{A_n\}_{n=1}^\infty$の上極限という．
事象の列$\{A_n\}_{n=1}^\infty$の上極限$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n$も事象であることを確かめよ．
事象の列$\{A_n\}_{n=1}^\infty$に対して，
$$
\sum_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty\Rightarrow P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=0
$$
が成り立つ．
$\displaystyle E_k=\bigcup_{n=k}^\infty A_n$とおくと，任意の$k=1,2,\cdots$に対して$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n\subset E_k$が成り立つ．従って，
$$\tag{BC1-1}\label{BC1:読者への演習問題}
P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)
\leq P(E_k)
\leq \sum_{n=k}^\infty P(A_n)\xrightarrow{k\to\infty}0
$$
となり，結論を得る．
事象の列$\{A_n\}_{n=1}^\infty$に対して，
$$
\liminf_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=k}^\infty A_n
$$
を$\{A_n\}_{n=1}^\infty$の下極限という．
事象の列$\{A_n\}_{n=1}^\infty$に対して，
$$
\sum_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty\Rightarrow P\left(\liminf_{n\to\infty}A_n^c\right)=1
$$
が成り立つことを示せ．
独立性が必要な補題を証明するにあたり，事象の列に対する独立性の定義を確認しておこう．
事象の列$\{A_n\}_{n=1}^\infty$が独立であるとは，任意の正の整数$l$および任意の$l$個の正の整数$k_1< k_2<\cdots< k_l$に対して
$$
P\left(\bigcap_{i=1}^lA_{k_i}\right)
=\prod_{i=1}^lP(A_{k_i})
$$
が成り立つことを言う．
事象の列$\{A_n\}_{n=1}^\infty$が独立であるとき，
$$
\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty\Rightarrow P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=1
$$
が成り立つ．
任意の$k=1,2,\cdots$に対して$\displaystyle P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)=1$であることを示せばよい．
任意の$N=1,2,\cdots$に対して
$$
\begin{eqnarray}
1-P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)
&\leq& 1-P\left(\bigcup_{n=k}^NA_n\right) \\
&=& P\left(\left(\bigcup_{n=k}^NA_n\right)^c\right) \\
&=& P\left(\bigcap_{n=k}^NA_n^c\right) \\
&=& \prod_{n=k}^NP(A_n^c) \tag{BC2-1}\label{BC2:読者への演習問題1} \\
&=& \prod_{n=k}^N\{1-P(A_n)\} \\
&\leq& \prod_{n=k}^N\exp\{-P(A_n)\} \tag{BC2-2}\label{BC2:読者への演習問題2} \\
&=& \exp\left\{-\sum_{n=k}^NP(A_n)\right\}
\end{eqnarray}
$$
である．よって，$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$であることに注意すると，
$$
1-P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)
\leq\exp\left\{-\sum_{n=k}^NP(A_n)\right\}
\xrightarrow{N\to\infty}0
\tag{BC2-3}\label{BC2:読者への演習問題3}
$$
となり，$\displaystyle P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)=1$を得る．
演習問題
事象の列$\{A_n\}_{n=1}^\infty$に対して$\displaystyle P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)\leq\sum_{n=1}^\infty P(A_n)$が成り立つことを示せ．
Borel-Cantelliの補題(1)
の証明中の\ref{BC1:読者への演習問題}について，以下の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle P(E_k)\leq \sum_{n=k}^\infty P(A_n)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle\sum_{n=k}^\infty P(A_n)\xrightarrow{k\to\infty}0$が成り立つことを示せ．
Borel-Cantelliの補題(2)
の証明について，以下の問いに答えよ．
(1) 任意の$k=1,2,\cdots$に対して$\displaystyle P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)=1$であるとき，$\displaystyle P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=1$となることを示せ．
(2) 事象$A,B$が独立ならば$A^c, B^c$も独立であることを示せ（\ref{BC2:読者への演習問題1}の根拠）．ここで，事象$A,B$が独立であるとは$P(A\cap B)=P(A)P(B)$が成り立つことを言う．
(3) $x\geq0$に対して$1-x\leq\exp(-x)$が成り立つことを示せ（\ref{BC2:読者への演習問題2}の根拠）．
(4) $\displaystyle\sum_{n=k}^\infty P(A_n)=\infty$であることを示せ（\ref{BC2:読者への演習問題3}の根拠）．
問題の解答
問題1
$\mathcal{F}$は$\sigma$-加法族であるから，特に次を満たす．
[1] $A\in\mathcal{F}$ならば$A^c=\Omega\setminus A\in\mathcal{F}$
[2] $A_1,A_2,\cdots\in\mathcal{F}$ならば$\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}$
[2]より，任意の$k=1,2,\cdots$に対して$\displaystyle\bigcup_{n=k}^\infty A_n\in\mathcal{F}$である．よって，$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n\in\mathcal{F}$を確かめるには次を示せればよい．
[2'] $B_1,B_2,\cdots\in\mathcal{F}$ならば$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{F}$
$B_1,B_2,\cdots\in\mathcal{F}$のとき，[1]，[2]より
$$
\left(\bigcap_{n=1}^\infty B_n\right)^c
=\bigcup_{n=1}^\infty B_n^c
\in\mathcal{F}
$$
である．よって，再び[1]から$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{F}$となり，[2']を得る．
問題2
$\displaystyle\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c=\left(\bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)^c=\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=k}^\infty A_n^c=\liminf_{n\to\infty}A_n^c$であることに注意すると，Borel-Cantelliの補題(1)より$\displaystyle P\left(\liminf_{n\to\infty}A_n^c\right)=1-P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=1$となる．
問題3
$\displaystyle B_1=A_1, B_n=A_n\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k$（$n=2,3,\cdots$）とおくと，$\{B_n\}_{n=1}^\infty$は次を満たす．
- $B_i\cap B_j=\varnothing$（$i\neq j$）
- $B_n\subset A_n$（$n=1,2,\cdots$）
- $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty B_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$
よって，$P$の$\sigma$-加法性と単調性に注意すると，
$$
P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)
=P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)
=\sum_{n=1}^\infty P(B_n)
\leq\sum_{n=1}^\infty P(A_n)
$$
となり，結論を得る．
問題4
(1)
$P$の劣加法性より$\displaystyle P(E_k)=P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)\leq\sum_{n=k}^\infty P(A_n)$となる．
(2)
任意の$k=1,2,\cdots$に対して，
$$
\begin{eqnarray}
\sum_{n=k}^\infty P(A_n)
&=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^NP(A_n) \\
&=&\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^NP(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n)\right) \\
&=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^NP(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \\
&=&\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n)
\end{eqnarray}
$$
である．よって，仮定より$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$であることに注意すると，
$$
\begin{eqnarray}
\lim_{k\to\infty}\sum_{n=k}^\infty P(A_n)
&=&\lim_{k\to\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n)\right) \\
&=&\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \\
&=&\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \\
&=&0
\end{eqnarray}
$$
となる．
問題5
(1)
$P$の劣加法性に注意すると，
$$
\begin{eqnarray}
P\left(\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c\right)
&=&P\left(\bigcup_{k=1}^\infty\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)^c\right) \\
&\leq&\sum_{k=1}^\infty P\left(\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)^c\right) \\
&=&\sum_{k=1}^\infty\left(1-P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)\right) \\
&=&\sum_{k=1}^\infty0 \\
&=&0
\end{eqnarray}
$$
となる．従って$\displaystyle P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=1-P\left(\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c\right)=1$である．
(2)
$A,B$の独立性より，
$$
\begin{eqnarray}
P(A\cap B^c)
&=&P(A\setminus(A\cap B)) \\
&=&P(A)-P(A\cap B) \\
&=&P(A)-P(A)P(B) \\
&=&P(A)(1-P(B)) \\
&=&P(A)P(B^c)
\end{eqnarray}
$$
である．さらに，これを用いると
$$
\begin{eqnarray}
P(A^c\cap B^c)
&=&P(B^c\setminus(A\cap B^c)) \\
&=&P(B^c)-P(A\cap B^c) \\
&=&P(B^c)-P(A)P(B^c) \\
&=&P(B^c)(1-P(A)) \\
&=&P(A^c)P(B^c)
\end{eqnarray}
$$
となる．従って，$A^c, B^c$は独立である．
(3)
$f(x)=\exp(-x)+x-1$とすると$f'(x)=-\exp(-x)+1$であり，$x\geq0$において常に$f'(x)\geq0$が成り立つ．よって，$f(x)$は$x\geq0$において単調増加であり，かつ$f(0)=0$であるから，$x\geq0$において常に$f(x)\geq0$となる．すなわち，$x\geq0$に対して$1-x\leq\exp(-x)$が成り立つ．
(4)
仮定より$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$であるから，
$$
\begin{eqnarray}
\sum_{n=k}^\infty P(A_n)
&=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^NP(A_n) \\
&=&\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^NP(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n)\right) \\
&=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^NP(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \\
&=&\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \\
&=&\infty
\end{eqnarray}
$$
となる．
参考文献
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
