Borel-Cantelliの補題とその証明

本稿では，確率論におけるBorel-Cantelliの補題の証明を与える．ただし，証明の一部は演習問題になっているため，初学者は実際に手を動かしてみるのが良いだろう．

以下，$(\Omega,\mathcal{F},P)$を確率空間とする．また，事象$A$といった場合は$A\in\mathcal{F}$であると約束する．

補題の証明

Borel-Cantelliの補題には，事象の独立性を要するものとそうでないものがある．初めに独立性が不要なものから証明しよう．

独立性が必要な補題を証明するにあたり，事象の列に対する独立性の定義を確認しておこう．

演習問題

問題の解答

問題1

$\mathcal{F}$は$\sigma$-加法族であるから，特に次を満たす．
[1] $A\in\mathcal{F}$ならば$A^c=\Omega\setminus A\in\mathcal{F}$
[2] $A_1,A_2,\cdots\in\mathcal{F}$ならば$\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}$
[2]より，任意の$k=1,2,\cdots$に対して$\displaystyle\bigcup_{n=k}^\infty A_n\in\mathcal{F}$である．よって，$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n\in\mathcal{F}$を確かめるには次を示せればよい．
[2'] $B_1,B_2,\cdots\in\mathcal{F}$ならば$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{F}$
$B_1,B_2,\cdots\in\mathcal{F}$のとき，[1]，[2]より
$$ \left(\bigcap_{n=1}^\infty B_n\right)^c =\bigcup_{n=1}^\infty B_n^c \in\mathcal{F} $$
である．よって，再び[1]から$\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{F}$となり，[2']を得る．

問題2

$\displaystyle\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c=\left(\bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)^c=\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=k}^\infty A_n^c=\liminf_{n\to\infty}A_n^c$であることに注意すると，Borel-Cantelliの補題(1)より$\displaystyle P\left(\liminf_{n\to\infty}A_n^c\right)=1-P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=1$となる．

問題3

$\displaystyle B_1=A_1, B_n=A_n\setminus\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k$（$n=2,3,\cdots$）とおくと，$\{B_n\}_{n=1}^\infty$は次を満たす．

• $B_i\cap B_j=\varnothing$（$i\neq j$）
• $B_n\subset A_n$（$n=1,2,\cdots$）
• $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty B_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$

よって，$P$の$\sigma$-加法性と単調性に注意すると，
$$ P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) =P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right) =\sum_{n=1}^\infty P(B_n) \leq\sum_{n=1}^\infty P(A_n) $$
となり，結論を得る．

問題4

(1)

$P$の劣加法性より$\displaystyle P(E_k)=P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)\leq\sum_{n=k}^\infty P(A_n)$となる．

(2)

任意の$k=1,2,\cdots$に対して，
$$ \begin{eqnarray} \sum_{n=k}^\infty P(A_n) &=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^NP(A_n) \\ &=&\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^NP(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n)\right) \\ &=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^NP(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \\ &=&\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \end{eqnarray} $$
である．よって，仮定より$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$であることに注意すると，
$$ \begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty}\sum_{n=k}^\infty P(A_n) &=&\lim_{k\to\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n)\right) \\ &=&\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \\ &=&\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \\ &=&0 \end{eqnarray} $$
となる．

問題5

(1)

$P$の劣加法性に注意すると，
$$ \begin{eqnarray} P\left(\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c\right) &=&P\left(\bigcup_{k=1}^\infty\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)^c\right) \\ &\leq&\sum_{k=1}^\infty P\left(\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)^c\right) \\ &=&\sum_{k=1}^\infty\left(1-P\left(\bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)\right) \\ &=&\sum_{k=1}^\infty0 \\ &=&0 \end{eqnarray} $$
となる．従って$\displaystyle P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=1-P\left(\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c\right)=1$である．

(2)

$A,B$の独立性より，
$$ \begin{eqnarray} P(A\cap B^c) &=&P(A\setminus(A\cap B)) \\ &=&P(A)-P(A\cap B) \\ &=&P(A)-P(A)P(B) \\ &=&P(A)(1-P(B)) \\ &=&P(A)P(B^c) \end{eqnarray} $$
である．さらに，これを用いると
$$ \begin{eqnarray} P(A^c\cap B^c) &=&P(B^c\setminus(A\cap B^c)) \\ &=&P(B^c)-P(A\cap B^c) \\ &=&P(B^c)-P(A)P(B^c) \\ &=&P(B^c)(1-P(A)) \\ &=&P(A^c)P(B^c) \end{eqnarray} $$
となる．従って，$A^c, B^c$は独立である．

(3)

$f(x)=\exp(-x)+x-1$とすると$f'(x)=-\exp(-x)+1$であり，$x\geq0$において常に$f'(x)\geq0$が成り立つ．よって，$f(x)$は$x\geq0$において単調増加であり，かつ$f(0)=0$であるから，$x\geq0$において常に$f(x)\geq0$となる．すなわち，$x\geq0$に対して$1-x\leq\exp(-x)$が成り立つ．

(4)

仮定より$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$であるから，
$$ \begin{eqnarray} \sum_{n=k}^\infty P(A_n) &=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=k}^NP(A_n) \\ &=&\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=1}^NP(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n)\right) \\ &=&\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^NP(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \\ &=&\sum_{n=1}^\infty P(A_n)-\sum_{n=1}^{k-1}P(A_n) \\ &=&\infty \end{eqnarray} $$
となる．