2025京大本レ大問3を解いてみる

まえがき

こんにちは、高3のぱぺです。
今回ネットなどで見かけた京大本レ模試第3問の解答を作成したいと思います。

本題

問題

自己解答

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{5} \frac{1}{k!} &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120} \\ &=\frac{103}{60} \end{aligned}
であるから、題意、すなわち

$$ 0 < \sum_{k=6}^{∞}\frac{1}{k!}<\frac{1}{600} $$
を示すために、

$$ \frac{1}{6!} \leq \sum_{k=6}^{∞}\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{600}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{600} $$
を示す。ここで、$n \geq 6$ で常に

$$ \frac{1}{6!} \leq \sum_{k=1}^{n-5}\frac{1}{(k+5)!} < \frac{1}{600}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{600} -① $$
であることを以下で示す。

$ $

$$ \sum_{k=1}^{n-5}\frac{1}{(k+5)!} \geq \sum_{k=1}^{1} \frac{1}{(k+5)!} = \frac{1}{6!} $$
より、

$$ \frac{1}{6!} \leq \sum_{k=1}^{n-5}\frac{1}{(k+5)!} \; . $$

$ $
また、すべての$k \geq 1$に対して
\begin{aligned} \frac{1}{(k+5)!} &<\frac{1}{6!} \cdot \frac{1}{6^{k-1}} \\ &=\frac{1}{6!} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{k-1} \end{aligned}
であるから、$n\geq 6$ のとき
\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-5}\frac{1}{(k+5)!} &<\frac{1}{6!} \cdot \sum_{k=1}^{n-5} \left(\frac{1}{6}\right)^{k-1} \\ &=\frac{1}{6!}\cdot \frac{1-\left(\frac{1}{6}\right)^{n-5}}{1-\frac{1}{6}} \\ &=\frac{1}{5 \cdot 5!} \left\{1-\left(\frac{1}{6}\right)^{n-5} \right\} \\ &<\frac{1}{600}\left\{1-\left(\frac{1}{6}\right)^{n-5} \right\}\\ &\leq \frac{1}{600} \left\{1-\left(\frac{1}{6}\right)^{6-5} \right\} \\ &=\frac{1}{600}-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{600} \end{aligned}
すなわち
$$ \sum_{k=1}^{n-5}\frac{1}{(k+5)!}<\frac{1}{600}-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{600} $$
である。

したがって、$n \geq 6$のとき常に
\begin{aligned} \frac{1}{6!} \leq \sum_{k=1}^{n-5}\frac{1}{(k+5)!} < \frac{1}{600}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{600} \qquad -① \\ \text{i.e.}\quad \frac{1}{6!} \leq \sum_{k=6}^{n}\frac{1}{k!} < \frac{1}{600}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{600}\\ \end{aligned}
を満たすから、
\begin{aligned} \frac{1}{6!} \leq &\sum_{k=6}^{∞}\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{600}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{600}\\ 0<&\sum_{k=6}^{∞}\frac{1}{k!} < \frac{1}{600}\\ \end{aligned}

以上より、
\begin{aligned} \frac{103}{60}<&\sum_{k=1}^{∞}\frac{1}{k!} < \frac{103}{60}+\frac{1}{600} \\ \frac{103}{60}<&\sum_{k=1}^{∞}\frac{1}{k!} < \frac{1031}{600}\\ \end{aligned}

あとがき

階乗の逆数を等比数列で上から評価できたのでひとまず達成感はあります。
これが厳密であるとは自分でも決して言えないですが、とりあえず解けたのでこれで終わりにします。

更新欄

2025.6/17.17:40 投稿