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『代数函数論』定理1.6

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

まず復習から

$K$ を体とし， $P$ をその上の素因子とします．
$P$ の $K$ における付値環及び素イデアルを $o, p$ とします．
$K$ を $P$ で完備化したものを $K_{P}$ と書きます．
$P$ は $K_{P}$ に拡張することができます．
$K_{P}$ における $o$ や $p$ の閉包はそれぞれ拡張した $P$ の $K_{P}$ における付値環及び素イデアルと一致します．
記号の乱用ですが，拡張した $P$ の $K_{P}$ における付値環及び素イデアルも $o, p$ と書くことにします．
これらについて次の定理が成り立ちます．

展開定理

$t$ を $ν_{P} (t) = 1$ なる $K_{P}$ の任意の元とする．このとき， $ν_{P} (a) = i_{0}$ なる任意の元 $a$ は
$a = \sum_{i = i_{0}}^{\infty} u_{i} t^{i}, u_{i} \in o / p, u_{i_{0}} \neq 0$
という形に一意的に展開できる．

$ν_{P} (a) = i_{0}$ なる $a$ に対し, $a^{'} = a t^{- i_{0}}$ とおけば， $ν_{P} (a^{'}) = 0$ より， $a^{'} \in o$ ， $a^{'} \notin p$ である．よって $a^{'} \equiv u_{0}$ （mod $p$ ）なる $u_{0} \neq 0 を o / p$ から取ってくることができる．
今， $u_{0}, u_{1}, \dots, u_{n - 1}$ を $o / p$ から適当に選んで $a^{'} \equiv u_{0} + u_{1} t + \dots + u_{n - 1} t^{n - 1}, mod p^{n}$
とすることができたならば，
$b = \frac{a^{'} - (u_{0} + u_{1} t + \dots + u_{n - 1} t^{n - 1})}{t^{n}}$
において， $a^{'} - (u_{0} + u_{1} t + \dots + u_{n - 1} t^{n - 1}) \in p^{n}$ より， $ν_{P} (b) \geq 0$ が成り立つ．よって $b \in o$ ． $b \equiv u_{n}$ （mod $p$ ）なる元 $u_{n} \in o / p$ を取ると， $p = (t)$ だったので
$t^{n} b \equiv t^{n} u_{n}$ （mod $p^{n + 1}$ ）が成り立つ．よって，
$a^{'} \equiv u_{0} + u_{1} t + \dots + u_{n - 1} t^{n - 1} + u_{n} t^{n} mod p^{n + 1}$
が成り立つ．
こうして $u_{0}$ から始めて $u_{0}, u_{1}, \dots$ を次々定めていけば
$a^{'} = \sum_{i = 0}^{\infty} u_{i} t^{i}$
となり，
$a = \sum_{i = 0}^{\infty} u_{i} t^{i + i_{0}}$
が得られる．書き直せば定理の主張の形にできる．
次に一意性を示す．定理の形になったと同時に，
$a = \sum_{i = j_{0}}^{\infty} u_{i}^{'} t^{i}, u_{i}^{'} \in o / p, u_{j_{0}}^{'} \neq 0$
ともなったとする． $ν_{P} (u_{i_{0}}) = ν_{P} (u_{j_{0}}^{'}) = 0$ より $j_{0} = ν_{P} (a) = i_{0}$ はすぐにわかる．よって $a^{'} = a t^{- i_{0}}$ の二つの展開
$a^{'} = \sum_{i = 0}^{\infty} u_{i + i_{0}} t^{i} = \sum_{i = 0}^{\infty} u_{i + i_{0}}^{'} t^{i}$
を比較して，
$a^{'} \equiv u_{i_{0}} \equiv u_{i_{0}}^{'} mod p = (t)$
今， $u_{i}, u_{i}^{'}$ は $o / p$ から選んでいたので， $u_{i_{0}} = u_{i_{0}}^{'}$ が分かる．
よって
$\frac{a^{'} - u_{i_{0}}}{t} = \sum_{i = 1}^{\infty} u_{i + i_{0}} t^{i - 1} = \sum_{i = 1}^{\infty} u_{i + i_{0}}^{'} t^{i - 1}$
より
$\frac{a^{'} - u_{i_{0}}}{t} \equiv u_{i_{0} + 1} \equiv u_{i_{0} + 1}^{'} mod p$
が分かり，同様に $u_{i_{0} + 1} = u_{i_{0} + 1}^{'}$ となり，以下同様にして次々に同じであるとわかる．