n人のジャンケンであいこになる確率について考えたい。
※文献による確認などはしてないので間違いを含むかも。
1回のジャンケンで出現する手の種類は1～3種類のいずれかである。
n人でジャンケンを1回した時に出現する手が1、2、3種類の場合の事象の数をそれぞれ
$a_n$、$b_n$、$c_n$とする。また、あいこになる事象の数を$d_n$と定義する。
（ついでに、それぞれの事象が起こる確率を$A_n$、$B_n$、$C_n$、$D_n$と定義しておく）
事象の数は基本的に（出現する手の選び方）× (各人への手の割り当て方) で求められる。
あいこになるのは、手の種類が1種類または3種類の場合である。
参考までに、3人以下の事象の数を下にまとめる。
| 人数 $n$ | 手が1種 $a_n$ | 手が2種 $b_n$ | 手が3種 $c_n$ | 全事象 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 0 | 0 | 3 |
| 2 | 3 | 6 | 0 | 9 |
| 3 | 3 | 18 | 6 | 27 |
以下、一般の n人の場合について考察していく。
各人の手がそれぞれ3通りでるので、全事象の数は$3^n$である。
出現する手の選び方が3通りであるので、事象の数は3
$k$人の手が決まっていて、$k+1$人目の手が加わる場合を考える。
手が1種類になるのは、次の条件が同時に成り立つ場合である。
定義より (1) は$a_k$通り。$k+1$人目が選べる手は1通りであるので
$$a_{k+1}=a_k \times 1=a_k$$
明らかに$a_1=3$である。したがって
$$a_n=3$$
出現する2種の手の選び方は${}_3\mathrm{C}_{2}$で3通り
この2種から各人が手を選ぶ方法は$2^n$通り。
そのうち全員の手が同じになる場合が2通りであるので、それを引くと
$b_n=3 \cdot (2^n-2)$
手が2種類になるのは、次のような場合である。
(1-1) $k$人の手が1種類
(1-2) $k+1$人目が別の手をだす
または
(2-1) $k$人の手が2種類
(2-2) $k+1$人目が既出の2種類のうちのいずれかをだす
(1-1）は$a_k$通り。(1-2)で$k+1$人目が選べる手は2通りであるので
(1)の事象の数は$2a_k$通り
(2-1）は$b_k$通り。(2-2)で$k+1$人目が選べる手は2通りであるので
(2)の事象の数は$2b_k$通り
よって
$b_{k+1}=2b_k+2a_k$
$a_k=3$ なので
$b_{k+1}=2b_k+6$
$b_2=6$ なので
\begin{equation*}
\begin{cases}
b_2=6 \\
b_{k+1}=2b_k+6
\end{cases}
\end{equation*}
これを解くと $n \geqq 2$のとき
$$b_n=3(2^n-2)$$
上式は$n=1$のときも成立する。
手が3種類になるのは、次のような場合である。
(1-1) $k$人の手が2種類
(1-2) $k+1$人目が別の手をだす
または
(2-1) $k$人の手が3種類
(2-2) $k+1$人目が自由に手をだす
(1-1）は$b_k$通り。(1-2)で$k+1$人目が選べる手は1通りであるので
(1)の事象の数は$b_k$通り
(2-1）は$c_k$通り。(1-2)で$k+1$人目が選べる手は3通りであるので
(2)の事象の数は$3c_k$通り
よって
$$c_{k+1}=b_k+3c_k$$
したがって$n \geqq 3$のとき
$$\begin{align}
c_n&= 3^n-3 \cdot 2^n+3 \\
&= 3^n-3(2^n-1) \\
&= 3^n-3(2^n-2)-3
\end{align}$$
上式は$n=1$、$n=2$のときも成立する。
あいこになる場合とは、出現する手の種類が2種類でない場合。よって全事象の数から$b_n$を引けば良い。
したがって、事象の数 $d_n$ は
$$d_n=3^n-3(2^n-2)$$
結論として、n人でジャンケンをしてあいこになる確率 $D_n$ は
$$D_n=\frac{3^n-3(2^n-2)}{3^n}$$
| 人数 $n$ | 手が1種 $A_n$ | 手が2種 $B_n$ | 手が3種 $C_n$ | あいこ $D_n$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 | － |
| 2 | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{2}{3}$ | 0 | $\displaystyle\frac{1}{3}$ |
| 3 | $\displaystyle\frac{1}{9}$ | $\displaystyle\frac{2}{3}$ | $\displaystyle\frac{2}{9}$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ |
| 4 | $\displaystyle\frac{1}{27}$ | $\displaystyle\frac{14}{27}$ | $\displaystyle\frac{4}{9}$ | $\displaystyle\frac{13}{27}$ |
| 5 | $\displaystyle\frac{1}{81}$ | $\displaystyle\frac{10}{27}$ | $\displaystyle\frac{50}{81}$ | $\displaystyle\frac{17}{27}$ |
| 6 | $\displaystyle\frac{1}{243}$ | $\displaystyle\frac{62}{243}$ | $\displaystyle\frac{20}{27}$ | $\displaystyle\frac{181}{243}$ |
| 7 | $\displaystyle\frac{1}{729}$ | $\displaystyle\frac{14}{81}$ | $\displaystyle\frac{602}{729}$ | $\displaystyle\frac{67}{81}$ |
| 8 | $\displaystyle\frac{1}{2187}$ | $\displaystyle\frac{254}{2187}$ | $\displaystyle\frac{644}{729}$ | $\displaystyle\frac{1933}{2187}$ |
| 9 | $\displaystyle\frac{1}{6561}$ | $\displaystyle\frac{170}{2187}$ | $\displaystyle\frac{6050}{6561}$ | $\displaystyle\frac{2017}{2187}$ |
| 10 | $\displaystyle\frac{1}{19683}$ | $\displaystyle\frac{1022}{19683}$ | $\displaystyle\frac{6220}{6561}$ | $\displaystyle\frac{18661}{19683}$ |
あいこではないことから、出現する手は2種類。出現する手の選び方は${}_3\mathrm{C}_{2}$で3通り。
m人の勝者を選ぶ方法は${}_n\mathrm{C}_{m}$通り（$n \gt m$）。
よって事象の数は $3 \cdot {}_n\mathrm{C}_{m}$ 通り。
事象が起こる確率を${}_n\mathrm{W}_{m}$とすると、
$${}_n\mathrm{W}_{m}=\frac{3 \cdot {}_n\mathrm{C}_{m}}{3^n}$$
| 人数 $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | － | － | － | － | － | － | － | － | － |
| 2 | $\displaystyle\frac{2}{3}$ | － | － | － | － | － | － | － | － |
| 3 | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | － | － | － | － | － | － | － |
| 4 | $\displaystyle\frac{4}{27}$ | $\displaystyle\frac{2}{9}$ | $\displaystyle\frac{4}{27}$ | － | － | － | － | － | － |
| 5 | $\displaystyle\frac{5}{81}$ | $\displaystyle\frac{10}{81}$ | $\displaystyle\frac{10}{81}$ | $\displaystyle\frac{5}{81}$ | － | － | － | － | － |
| 6 | $\displaystyle\frac{2}{81}$ | $\displaystyle\frac{5}{81}$ | $\displaystyle\frac{20}{243}$ | $\displaystyle\frac{5}{81}$ | $\displaystyle\frac{2}{81}$ | － | － | － | － |
| 7 | $\displaystyle\frac{7}{729}$ | $\displaystyle\frac{7}{243}$ | $\displaystyle\frac{35}{729}$ | $\displaystyle\frac{35}{729}$ | $\displaystyle\frac{7}{243}$ | $\displaystyle\frac{7}{729}$ | － | － | － |
| 8 | $\displaystyle\frac{8}{2187}$ | $\displaystyle\frac{28}{2187}$ | $\displaystyle\frac{56}{2187}$ | $\displaystyle\frac{70}{2187}$ | $\displaystyle\frac{56}{2187}$ | $\displaystyle\frac{28}{2187}$ | $\displaystyle\frac{8}{2187}$ | － | － |
| 9 | $\displaystyle\frac{1}{729}$ | $\displaystyle\frac{4}{729}$ | $\displaystyle\frac{28}{2187}$ | $\displaystyle\frac{14}{729}$ | $\displaystyle\frac{14}{729}$ | $\displaystyle\frac{28}{2187}$ | $\displaystyle\frac{4}{729}$ | $\displaystyle\frac{1}{729}$ | － |
| 10 | $\displaystyle\frac{10}{19683}$ | $\displaystyle\frac{5}{2187}$ | $\displaystyle\frac{40}{6561}$ | $\displaystyle\frac{70}{6561}$ | $\displaystyle\frac{28}{2187}$ | $\displaystyle\frac{70}{6561}$ | $\displaystyle\frac{40}{6561}$ | $\displaystyle\frac{5}{2187}$ | $\displaystyle\frac{10}{19683}$ |
出現する手の選び方は${}_3\mathrm{C}_{2}$で3通り。
自分以外のm-1人の勝者を選ぶ方法は${}_{n-1}\mathrm{C}_{m-1}$通り（$n \gt m$）。
よって事象の数は $3 \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{m-1}$ 通り。
事象が起こる確率を${}_n\mathrm{W'}_{m}$とすると、
$${}_n\mathrm{W'}_{m}=\frac{3 \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{m-1}}{3^n}$$
| 人数 $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | － | － | － | － | － | － | － | － | － |
| 2 | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | － | － | － | － | － | － | － | － |
| 3 | $\displaystyle\frac{1}{9}$ | $\displaystyle\frac{2}{9}$ | － | － | － | － | － | － | － |
| 4 | $\displaystyle\frac{1}{27}$ | $\displaystyle\frac{1}{9}$ | $\displaystyle\frac{1}{9}$ | － | － | － | － | － | － |
| 5 | $\displaystyle\frac{1}{81}$ | $\displaystyle\frac{4}{81}$ | $\displaystyle\frac{2}{27}$ | $\displaystyle\frac{4}{81}$ | － | － | － | － | － |
| 6 | $\displaystyle\frac{1}{243}$ | $\displaystyle\frac{5}{243}$ | $\displaystyle\frac{10}{243}$ | $\displaystyle\frac{10}{243}$ | $\displaystyle\frac{5}{243}$ | － | － | － | － |
| 7 | $\displaystyle\frac{1}{729}$ | $\displaystyle\frac{2}{243}$ | $\displaystyle\frac{5}{243}$ | $\displaystyle\frac{20}{729}$ | $\displaystyle\frac{5}{243}$ | $\displaystyle\frac{2}{243}$ | － | － | － |
| 8 | $\displaystyle\frac{1}{2187}$ | $\displaystyle\frac{7}{2187}$ | $\displaystyle\frac{7}{729}$ | $\displaystyle\frac{35}{2187}$ | $\displaystyle\frac{35}{2187}$ | $\displaystyle\frac{7}{729}$ | $\displaystyle\frac{7}{2187}$ | － | － |
| 9 | $\displaystyle\frac{1}{6561}$ | $\displaystyle\frac{8}{6561}$ | $\displaystyle\frac{28}{6561}$ | $\displaystyle\frac{56}{6561}$ | $\displaystyle\frac{70}{6561}$ | $\displaystyle\frac{56}{6561}$ | $\displaystyle\frac{28}{6561}$ | $\displaystyle\frac{8}{6561}$ | － |
| 10 | $\displaystyle\frac{1}{19683}$ | $\displaystyle\frac{1}{2187}$ | $\displaystyle\frac{4}{2187}$ | $\displaystyle\frac{28}{6561}$ | $\displaystyle\frac{14}{2187}$ | $\displaystyle\frac{14}{2187}$ | $\displaystyle\frac{28}{6561}$ | $\displaystyle\frac{4}{2187}$ | $\displaystyle\frac{1}{2187}$ |