n人のジャンケンであいこになる確率について考えたい。
※文献による確認などはしてないので間違いを含むかも。
1回のジャンケンで出現する手の種類は1~3種類のいずれかである。
n人でジャンケンを1回した時に出現する手が1、2、3種類の場合の事象の数をそれぞれ
(ついでに、それぞれの事象が起こる確率を
事象の数は基本的に(出現する手の選び方)× (各人への手の割り当て方) で求められる。
あいこになるのは、手の種類が1種類または3種類の場合である。
参考までに、3人以下の事象の数を下にまとめる。
人数 | 手が1種 | 手が2種 | 手が3種 | 全事象 |
---|---|---|---|---|
1 | 3 | 0 | 0 | 3 |
2 | 3 | 6 | 0 | 9 |
3 | 3 | 18 | 6 | 27 |
以下、一般の n人の場合について考察していく。
各人の手がそれぞれ3通りでるので、全事象の数は
出現する手の選び方が3通りであるので、事象の数は3
手が1種類になるのは、次の条件が同時に成り立つ場合である。
定義より (1) は
明らかに
出現する2種の手の選び方は
この2種から各人が手を選ぶ方法は
そのうち全員の手が同じになる場合が2通りであるので、それを引くと
手が2種類になるのは、次のような場合である。
(1-1)
(1-2)
または
(2-1)
(2-2)
(1-1)は
(1)の事象の数は
(2-1)は
(2)の事象の数は
よって
これを解くと
上式は
手が3種類になるのは、次のような場合である。
(1-1)
(1-2)
または
(2-1)
(2-2)
(1-1)は
(1)の事象の数は
(2-1)は
(2)の事象の数は
よって
したがって
上式は
あいこになる場合とは、出現する手の種類が2種類でない場合。よって全事象の数から
したがって、事象の数
結論として、n人でジャンケンをしてあいこになる確率
人数 | 手が1種 | 手が2種 | 手が3種 | あいこ |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 0 | 0 | - |
2 | 0 | |||
3 | ||||
4 | ||||
5 | ||||
6 | ||||
7 | ||||
8 | ||||
9 | ||||
10 |
あいこではないことから、出現する手は2種類。出現する手の選び方は
m人の勝者を選ぶ方法は
よって事象の数は
事象が起こる確率を
人数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
2 | - | - | - | - | - | - | - | - | |
3 | - | - | - | - | - | - | - | ||
4 | - | - | - | - | - | - | |||
5 | - | - | - | - | - | ||||
6 | - | - | - | - | |||||
7 | - | - | - | ||||||
8 | - | - | |||||||
9 | - | ||||||||
10 |
出現する手の選び方は
自分以外のm-1人の勝者を選ぶ方法は
よって事象の数は
事象が起こる確率を
人数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
2 | - | - | - | - | - | - | - | - | |
3 | - | - | - | - | - | - | - | ||
4 | - | - | - | - | - | - | |||
5 | - | - | - | - | - | ||||
6 | - | - | - | - | |||||
7 | - | - | - | ||||||
8 | - | - | |||||||
9 | - | ||||||||
10 |