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n人でジャンケンをした時に、あいこになる確率

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n人でジャンケンをした時に、あいこになる確率

n人のジャンケンであいこになる確率について考えたい。
 ※文献による確認などはしてないので間違いを含むかも。
 
1回のジャンケンで出現する手の種類は1~3種類のいずれかである。
n人でジャンケンを1回した時に出現する手が1、2、3種類の場合の事象の数をそれぞれ
$a_n$$b_n$$c_n$とする。また、あいこになる事象の数を$d_n$と定義する。
(ついでに、それぞれの事象が起こる確率を$A_n$$B_n$$C_n$$D_n$と定義しておく)
事象の数は基本的に(出現する手の選び方)× (各人への手の割り当て方) で求められる。

あいこになるのは、手の種類が1種類または3種類の場合である。
参考までに、3人以下の事象の数を下にまとめる。

3人までの事象の数

人数 $n$手が1種 $a_n$手が2種 $b_n$手が3種 $c_n$全事象
13003
23609
3318627

以下、一般の n人の場合について考察していく。

全事象

各人の手がそれぞれ3通りでるので、全事象の数は$3^n$である。

出現する手が1種の場合

出現する手の選び方が3通りであるので、事象の数は3

漸化式的な考え方

$k$人の手が決まっていて、$k+1$人目の手が加わる場合を考える。
手が1種類になるのは、次の条件が同時に成り立つ場合である。

  1. $k$人の手が1種類
  2. $k+1$人目が他と同じ手をだす

定義より (1) は$a_k$通り。$k+1$人目が選べる手は1通りであるので

$$a_{k+1}=a_k \times 1=a_k$$
明らかに$a_1=3$である。したがって
$$a_n=3$$

出現する手が2種の場合

出現する2種の手の選び方は${}_3\mathrm{C}_{2}$で3通り
この2種から各人が手を選ぶ方法は$2^n$通り。
そのうち全員の手が同じになる場合が2通りであるので、それを引くと
$b_n=3 \cdot (2^n-2)$

漸化式的な考え方

手が2種類になるのは、次のような場合である。
(1-1) $k$人の手が1種類
(1-2) $k+1$人目が別の手をだす
または
(2-1) $k$人の手が2種類
(2-2) $k+1$人目が既出の2種類のうちのいずれかをだす

(1-1)は$a_k$通り。(1-2)で$k+1$人目が選べる手は2通りであるので
(1)の事象の数は$2a_k$通り
(2-1)は$b_k$通り。(2-2)で$k+1$人目が選べる手は2通りであるので
(2)の事象の数は$2b_k$通り
よって
$b_{k+1}=2b_k+2a_k$
$a_k=3$ なので
$b_{k+1}=2b_k+6$
$b_2=6$ なので
\begin{equation*} \begin{cases} b_2=6 \\ b_{k+1}=2b_k+6 \end{cases} \end{equation*}
これを解くと $n \geqq 2$のとき
$$b_n=3(2^n-2)$$
上式は$n=1$のときも成立する。

出現する手が3種の場合

漸化式的な考え方

手が3種類になるのは、次のような場合である。
(1-1) $k$人の手が2種類
(1-2) $k+1$人目が別の手をだす
または
(2-1) $k$人の手が3種類
(2-2) $k+1$人目が自由に手をだす

(1-1)は$b_k$通り。(1-2)で$k+1$人目が選べる手は1通りであるので
(1)の事象の数は$b_k$通り
(2-1)は$c_k$通り。(1-2)で$k+1$人目が選べる手は3通りであるので
(2)の事象の数は$3c_k$通り
よって
$$c_{k+1}=b_k+3c_k$$
したがって$n \geqq 3$のとき
$$\begin{align} c_n&= 3^n-3 \cdot 2^n+3 \\ &= 3^n-3(2^n-1) \\ &= 3^n-3(2^n-2)-3 \end{align}$$

上式は$n=1$$n=2$のときも成立する。

あいこになる事象

あいこになる場合とは、出現する手の種類が2種類でない場合。よって全事象の数から$b_n$を引けば良い。
したがって、事象の数 $d_n$
$$d_n=3^n-3(2^n-2)$$

あいこになる確率

結論として、n人でジャンケンをしてあいこになる確率 $D_n$
$$D_n=\frac{3^n-3(2^n-2)}{3^n}$$

確率一覧(10人まで)

人数 $n$手が1種 $A_n$手が2種 $B_n$手が3種 $C_n$あいこ $D_n$
1100
2$\displaystyle\frac{1}{3}$$\displaystyle\frac{2}{3}$0$\displaystyle\frac{1}{3}$
3$\displaystyle\frac{1}{9}$$\displaystyle\frac{2}{3}$$\displaystyle\frac{2}{9}$$\displaystyle\frac{1}{3}$
4$\displaystyle\frac{1}{27}$$\displaystyle\frac{14}{27}$$\displaystyle\frac{4}{9}$$\displaystyle\frac{13}{27}$
5$\displaystyle\frac{1}{81}$$\displaystyle\frac{10}{27}$$\displaystyle\frac{50}{81}$$\displaystyle\frac{17}{27}$
6$\displaystyle\frac{1}{243}$$\displaystyle\frac{62}{243}$$\displaystyle\frac{20}{27}$$\displaystyle\frac{181}{243}$
7$\displaystyle\frac{1}{729}$$\displaystyle\frac{14}{81}$$\displaystyle\frac{602}{729}$$\displaystyle\frac{67}{81}$
8$\displaystyle\frac{1}{2187}$$\displaystyle\frac{254}{2187}$$\displaystyle\frac{644}{729}$$\displaystyle\frac{1933}{2187}$
9$\displaystyle\frac{1}{6561}$$\displaystyle\frac{170}{2187}$$\displaystyle\frac{6050}{6561}$$\displaystyle\frac{2017}{2187}$
10$\displaystyle\frac{1}{19683}$$\displaystyle\frac{1022}{19683}$$\displaystyle\frac{6220}{6561}$$\displaystyle\frac{18661}{19683}$

[おまけ]n人でジャンケンして、m人が勝ち抜ける確率(10人まで)

あいこではないことから、出現する手は2種類。出現する手の選び方は${}_3\mathrm{C}_{2}$で3通り。
m人の勝者を選ぶ方法は${}_n\mathrm{C}_{m}$通り($n \gt m$)。
よって事象の数は $3 \cdot {}_n\mathrm{C}_{m}$ 通り。
事象が起こる確率を${}_n\mathrm{W}_{m}$とすると、
$${}_n\mathrm{W}_{m}=\frac{3 \cdot {}_n\mathrm{C}_{m}}{3^n}$$

人数 $n$123456789
1
2$\displaystyle\frac{2}{3}$
3$\displaystyle\frac{1}{3}$$\displaystyle\frac{1}{3}$
4$\displaystyle\frac{4}{27}$$\displaystyle\frac{2}{9}$$\displaystyle\frac{4}{27}$
5$\displaystyle\frac{5}{81}$$\displaystyle\frac{10}{81}$$\displaystyle\frac{10}{81}$$\displaystyle\frac{5}{81}$
6$\displaystyle\frac{2}{81}$$\displaystyle\frac{5}{81}$$\displaystyle\frac{20}{243}$$\displaystyle\frac{5}{81}$$\displaystyle\frac{2}{81}$
7$\displaystyle\frac{7}{729}$$\displaystyle\frac{7}{243}$$\displaystyle\frac{35}{729}$$\displaystyle\frac{35}{729}$$\displaystyle\frac{7}{243}$$\displaystyle\frac{7}{729}$
8$\displaystyle\frac{8}{2187}$$\displaystyle\frac{28}{2187}$$\displaystyle\frac{56}{2187}$$\displaystyle\frac{70}{2187}$$\displaystyle\frac{56}{2187}$$\displaystyle\frac{28}{2187}$$\displaystyle\frac{8}{2187}$
9$\displaystyle\frac{1}{729}$$\displaystyle\frac{4}{729}$$\displaystyle\frac{28}{2187}$$\displaystyle\frac{14}{729}$$\displaystyle\frac{14}{729}$$\displaystyle\frac{28}{2187}$$\displaystyle\frac{4}{729}$$\displaystyle\frac{1}{729}$
10$\displaystyle\frac{10}{19683}$$\displaystyle\frac{5}{2187}$$\displaystyle\frac{40}{6561}$$\displaystyle\frac{70}{6561}$$\displaystyle\frac{28}{2187}$$\displaystyle\frac{70}{6561}$$\displaystyle\frac{40}{6561}$$\displaystyle\frac{5}{2187}$$\displaystyle\frac{10}{19683}$

[おまけ2]n人でジャンケンして、自分を含むm人が勝ち残る確率(10人まで)

出現する手の選び方は${}_3\mathrm{C}_{2}$で3通り。
自分以外のm-1人の勝者を選ぶ方法は${}_{n-1}\mathrm{C}_{m-1}$通り($n \gt m$)。
よって事象の数は $3 \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{m-1}$ 通り。
事象が起こる確率を${}_n\mathrm{W'}_{m}$とすると、
$${}_n\mathrm{W'}_{m}=\frac{3 \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{m-1}}{3^n}$$

人数 $n$123456789
1
2$\displaystyle\frac{1}{3}$
3$\displaystyle\frac{1}{9}$$\displaystyle\frac{2}{9}$
4$\displaystyle\frac{1}{27}$$\displaystyle\frac{1}{9}$$\displaystyle\frac{1}{9}$
5$\displaystyle\frac{1}{81}$$\displaystyle\frac{4}{81}$$\displaystyle\frac{2}{27}$$\displaystyle\frac{4}{81}$
6$\displaystyle\frac{1}{243}$$\displaystyle\frac{5}{243}$$\displaystyle\frac{10}{243}$$\displaystyle\frac{10}{243}$$\displaystyle\frac{5}{243}$
7$\displaystyle\frac{1}{729}$$\displaystyle\frac{2}{243}$$\displaystyle\frac{5}{243}$$\displaystyle\frac{20}{729}$$\displaystyle\frac{5}{243}$$\displaystyle\frac{2}{243}$
8$\displaystyle\frac{1}{2187}$$\displaystyle\frac{7}{2187}$$\displaystyle\frac{7}{729}$$\displaystyle\frac{35}{2187}$$\displaystyle\frac{35}{2187}$$\displaystyle\frac{7}{729}$$\displaystyle\frac{7}{2187}$
9$\displaystyle\frac{1}{6561}$$\displaystyle\frac{8}{6561}$$\displaystyle\frac{28}{6561}$$\displaystyle\frac{56}{6561}$$\displaystyle\frac{70}{6561}$$\displaystyle\frac{56}{6561}$$\displaystyle\frac{28}{6561}$$\displaystyle\frac{8}{6561}$
10$\displaystyle\frac{1}{19683}$$\displaystyle\frac{1}{2187}$$\displaystyle\frac{4}{2187}$$\displaystyle\frac{28}{6561}$$\displaystyle\frac{14}{2187}$$\displaystyle\frac{14}{2187}$$\displaystyle\frac{28}{6561}$$\displaystyle\frac{4}{2187}$$\displaystyle\frac{1}{2187}$
投稿日:2023811

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tanu
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