ノート：共形場理論

疋田CFTの勉強のノートです.もともとpdfで書いてたんで式番号とか消えてますが,気が向いたら直します.

Conformal Field Theoryとは共形変換によって不変な系についての一般論である.

世界には無数の対称性(並進,回転,ローレンツ変換に対する対称性など)がある.共形変換とは空間上の任意の2曲線の交わる角度を保つ変換をいう.並進,回転,スケール変換はその例である.非自明なことは,さらに特殊共形変換とよばれる共形変換があること,そして2次元においては任意の解析的関数が共形変換を生成することである.

目次

• 座標変換について
• 共形変換とは
• EMTと共形変換
• 共形不変性とスケール不変性の関係
• 準プライマリ場
• 2D-CFT
• 相関関数
• 共形Ward高橋恒等式
• 動径量子化
• virasoro代数
• Vertex operator algebra
• 参考文献

座標変換と変換

座標変換(passive transformation)

まず,数学の多様体論における座標変換について解説する.

$g$を計量の符号が$(p,q)$(ただし$+$が$p$個,$-$が$q$個)
\begin{equation*} \eta_{ij}= \left\{ \begin{aligned} \delta_{ij} &\quad (i=1,\cdots,p) \\ -\delta_{ij} &\quad (i=p+1,\cdots,q) \end{aligned} \right\} \end{equation*}
とする.
局所座標系$\{U,(x^1,\cdots x^n),\psi\}$であって,
\begin{align*} g=g_{ij}(x)dx^idx^j=\eta_{ij}dx^idx^j \end{align*}
と表示できるようなものをローレンツ座標系という.
異なるローレンツ座標系$ \{U,(x^1,\cdots x^n),\psi\} $ と $ \{V,(y^1,\cdots y^n),\phi\} $ が交わりをもつとき,その間の座標変換をローレンツ座標変換という.

変換(active transformation)

共形変換とは

共形変換の定義

統計力学においては,スケール不変性をもつ系が登場する.スケール変換を一般の時空に定式化したい.そこで,共形変換を以下のように導入しよう.

局所座標:
\begin{align*} g=g_{\mu\nu}(x)dx^\mu dx^\nu \end{align*}
を選び,そのpullbackを
\begin{align*}F^{*}g=g'(x')dx^\mu dx^\nu=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}g_{\alpha\beta}(x)dx^\mu dx^\nu\end{align*}
と局所座標表示することができる.$g'(x')$が上の表示で定義されていることに注意.これを物理では
\begin{align*} g_{\mu\nu}(x)\to g_{\mu\nu}'(x')=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}g_{\alpha\beta}(x) \end{align*}
と書く.
したがって,局所的には共形変換の条件は
\begin{align*} g_{\mu\nu}'(x')=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x'^\nu}g_{\alpha\beta}(x)=\Lambda(x )g_{\mu\nu}(x) \end{align*}
が成立する.特に,$x'^\mu=\lambda x^\mu$(スケール変換)
のときは
\begin{align*} \Lambda (x)=\lambda^{-2} \end{align*}
であることが分かる.

$\Lambda(x)=1$ならローレンツ変換に一致する.つまり共形変換のなす群はポアンカレ群を含んでいる.一般には,点が異なればスケール因子も変化してよい.これは,例えばある場所では拡大し,別の場所では縮小してもよい,ということである.これは時空上ではスケール変換を行うための「原点」に当たるものを定められないことによる.しかしこれではかなり「自由な」変換になってしまわないだろうか？つまり,「共形変換」として上のように定式化したもの中には,予期せず入ってしまった,おかしな変換もまぎれているかもしれない.
そこで,共形変換の無限小変換を調べてみよう.以下,計量の符号は$(p,q)=(d,0)$,すなわち$d$次元ユークリッド空間であるとする.

無限小共形変換

適切に座標変換を行うことで,局所座標表示のもとでの計量テンソル場の成分$g_{ij},g_{ij}'$を$\delta_{ij}$に等しくできる.
無限小共形変換を$x^{\mu}\to x'^{\mu}=x^{\mu}-\delta x=x^{\mu}-\epsilon^\mu(x)$とすると,条件より
\begin{align*} g_{ij}'(x')\frac{\partial x^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^j}{\partial x'^\nu}dx^\mu dx^\nu=\Lambda(x)g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu \end{align*}
$\frac{\partial \epsilon^\mu}{\partial x^\nu}\risingdotseq\frac{\partial \epsilon^\mu}{\partial x'^\nu}$という近似の下,
\begin{align*} (\text{LHS})&\risingdotseq g_{ij}(\delta^i_{\mu}\delta^j_{\nu}-\delta^i_{\mu}\partial_{\nu}\epsilon^j(x)-\delta^j_{\nu}\partial_{\mu}\epsilon^i(x))dx^\mu dx^\nu\\ &=(\delta_{ab}-\partial_{\nu}\epsilon_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\epsilon_{\nu}(x))dx^\mu dx^\nu \end{align*}
なので,
\begin{align} \partial_{\mu}\epsilon_{\nu}(x)+\partial_{\nu}\epsilon_{\mu}(x)=(1-\Lambda(x))\delta_{\mu\nu}=:f(x)\delta_{\mu\nu} \end{align}
$\delta^{\mu\nu}$で添字をつぶすと,
\begin{align} f(x)=\frac{2}{d}\partial_{\mu}\epsilon^\mu \end{align}
を得る.($\delta_{ab}\delta^{ab}=d$に注意.)
式(1)の両辺に$\partial_{\rho} $を作用して
\begin{align} \partial_{\rho}\partial_{\mu}\epsilon_{\nu}(x)+\partial_{\rho}\partial_{\nu}\epsilon_{\mu}(x)=\partial_{\rho}f(x)\delta_{\mu\nu} \end{align}
(1)より$\partial_{\rho}\epsilon_{\nu}(x)=f(x)\delta_{\rho\nu}-\partial_{\nu}\epsilon_{\rho}(x) $,$\partial_{\rho}\epsilon_{\mu}(x)=f(x)\delta_{\rho\mu}-\partial_{\mu}\epsilon_{\rho}(x) $を式(3)の左辺に代入して
\begin{align*} \partial_{\mu}(f(x)\delta_{\rho\nu}-\partial_{\nu}\epsilon_{\rho}(x))+\partial_{\nu}(f(x)\delta_{\rho\mu}-\partial_{\mu}\epsilon_{\rho}(x))=\partial_{\rho}f(x)\delta_{\mu\nu} \end{align*}
変形して,
\begin{align} -2\partial_\mu\partial_\nu \epsilon_\rho=\partial_\rho f(x)\delta_{\mu\nu}-\partial_\mu f(x)\delta_{\rho\nu}-\partial_\nu f(x)\delta_{\rho\mu} \end{align}
$\delta^{\nu\mu}$で添字をつぶして
\begin{align} -2\partial^{\mu}\partial_{\mu}\epsilon_{\rho}=(d-2)\partial_\rho f(x) \end{align}
を得る.
ところで式(1)に$\partial^\rho\partial_\rho$を作用させて,
\begin{align} \partial_{\mu}\partial^\rho\partial_\rho\epsilon_{\nu}(x)+\partial_{\nu}\partial^\rho\partial_\rho\epsilon_{\mu}(x)=\partial^\rho\partial_\rho f(x)\delta_{\mu\nu} \end{align}
式(5)より$\partial^{\rho}\partial_{\rho}\epsilon_{\nu}=\frac{2-d}{2}\partial_\nu f(x)$,$\partial^{\rho}\partial_{\rho}\epsilon_{\mu}=\frac{2-d}{2}\partial_\mu f(x)$
を式(6)左辺に用いて
\begin{align} \partial_{\mu}((2-d)/2)\partial_\nu f(x)+\partial_{\nu}((2-d)/2)\partial_\mu f(x)=\partial^\rho\partial_\rho f(x)\delta_{\mu\nu} \end{align}
よって
\begin{align} (2-d) \partial_{\mu}\partial_\nu f(x))=\partial^\rho\partial_\rho f(x)\delta_{\mu\nu} \end{align}
ここで$\delta^{\mu\nu}$で添字をつぶして
\begin{align} (d-1)\partial^{\mu}\partial_{\mu}f(x)=0 \end{align}
を得る.
式(8)(9)を観察する.まず,$d=1$のときは条件が出てこない.$d=2$では式(8)の左辺が消えて条件が弱くなる.つまり,$d=2$と$d>2$は本質的に異なる条件が与えられる.
$d>2$の場合には式(8)(9)により,
\begin{align*} \partial_{\mu}\partial_{\nu} f(x)=0 \end{align*}
を得る.したがって,

共形変換の生成子($d>2$)

$d>2$の場合,式(11)より$f(x)=\alpha+\beta_\mu x^\mu$の形となり,これを式(4)に代入して,$\partial_\mu\partial_\nu \epsilon_\rho=const.$を得る.よって,
\begin{align*} \epsilon_\mu=a_\mu+b_{\mu\nu}x^\nu+c_{\mu\nu\rho}x^\nu x^\rho \end{align*}
を得る.各項の意味を追っていく.

$a_\mu$について

$a_\mu$は並進に対応することは明らか.

$b_{\mu\nu}$について

式(1)(2)により,$\partial_{\nu}\epsilon_\mu=b_{\mu\nu}+2c_{\mu\nu\rho}$に注意して
\begin{align*} \partial_{\mu}\epsilon_{\nu}+\partial_{\nu}\epsilon_{\mu}=\frac{2}{d}\partial_\mu\epsilon^\mu \delta_{\mu\nu} \end{align*}
であるが,この式の定数項を比較して
\begin{align*} b_{\mu\nu}+b_{\nu\mu}=\frac{2}{d}b^\rho_\rho \delta_{\mu\nu} \end{align*}
ここで行列$A$が$A+A^{t}=$(対角行列)を満たすとき,$A$=(反対称行列)+(対角行列)とかけることから
\begin{align*} b_{\mu\nu}=b_{\mu\nu}^A+b_{\mu\nu}^D \end{align*}
$b_{\mu\nu}^A,b_{\mu\nu}^D$はそれぞれ反対称,対角行列.
ここで,反対称部分は回転に対応する.
\begin{align*} x^\mu\to x'^\mu=x^\mu-b_{\mu\nu}^Ax^\nu \end{align*}
($SO(n,\mathbb C)$のLie代数の自然表現は,反対称Hermite行列であることからわかる.)
対角部分$b_{\mu\nu}^D,b_{\rho}^\rho=b_{\rho}^{D\rho}$はスケール変換:
\begin{align*} x^\mu\to x'^\mu=x^\mu-b_{\rho}^\rho x^\nu \end{align*}
に対応する.

$c_{\mu\nu\rho}$について

$\partial_{\mu}\partial_{\nu}\epsilon_\rho =2c_{\rho\nu\mu}$と式(2)(4)を用いると,
\begin{align*} c_{\mu\nu\rho}= -B_{\mu}\delta_{\nu\rho}+B_{\nu}\delta_{\mu\rho}+B_{\rho}\delta_{\mu\nu} \end{align*}
ただし$B_\mu:=\frac{1}{d}c_{\sigma\mu}^\sigma$
この項による無限小変換は
\begin{align*} x^\mu\to x'^\mu=x^\mu- c_{\mu\nu\rho}x^\nu x^\rho&=x^\mu- (-B_{\mu}\delta_{\nu\rho}+B_{\nu}\delta_{\mu\rho}+B_{\rho}\delta_{\mu\nu})x^\nu x^\rho\\ &=x^\mu- 2(B_{\nu}x^\nu)+B^\mu|x|^2 \end{align*}
これは...何だろう？よく分からない変換が出てきてしまった.この変換を特殊共形変換(special conformal transformation)という. この変換については後に解説する.
以上で無限小共形変換($d>2$)を導出できた.

共形代数

共形変換のLie代数を構成しよう.スカラー場$\phi$に変換$x^\mu\to x'^\mu=x^\mu-\epsilon^\mu$を適用し,新たな場$\phi'$を
\begin{align*} \phi'(x')=\phi(x) \end{align*}
で定義する.このとき,同じ位置での変化量は
\begin{align*} \delta \phi(x)=\phi'(x)-\phi(x)=\phi'(x+\epsilon)-\phi(x)=\phi(x+\epsilon)-\phi(x)=\epsilon^\mu\partial_\mu\phi(x) \end{align*}
である.そこで,並進,回転変換,スケール変換,特殊共形変換の生成子をそれぞれ
\begin{align} &P_{\mu}=-i\partial_\mu\\ &L_{\mu\nu}=i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)\\ &D=-ix^\mu \partial_\mu\\ &K_\mu =-i(2x_\mu x^\nu\partial_\nu-|x|^2\partial_\mu) \end{align}
と定義しよう.この定義は慣例的なもので,Lie代数の基底としては別のものをとることができる.交換関係は,
\begin{align*} &[L_{\mu\nu}, L_{\rho\sigma}] = i \left(\delta_{\nu\rho} L_{\mu\sigma} - \delta_{\mu\rho} L_{\nu\sigma} + \delta_{\mu\sigma} L_{\nu\rho} - \delta_{\nu\sigma} L_{\mu\rho} \right)\\ &[L_{\mu\nu}, P_\rho] = i (\delta_{\nu\rho} P_\mu - \delta_{\mu\rho} P_\nu)\\ &[L_{\mu\nu}, K_\rho] = i (\delta_{\nu\rho} K_\mu - \delta_{\mu\rho} K_\nu)\\ &[D, P_\mu] = i P_\mu\\ &[D, K_\mu] = -i K_\mu\\ &[K_\mu, P_\nu] = 2i (\delta_{\mu\nu} D - L_{\mu\nu})\\ \end{align*}
となる.

EMTと共形変換

EMTは理論を特徴づける重要な場である.理論のもつ共形不変性の条件をEMTに対する条件に書き換えることができる.なお,このsectionの議論は$d=2$でも有効である.
理論の作用が
\begin{align*} S=\int d^dx\mathcal L(\phi(x),\partial_\mu(x)) \end{align*}で与えられたとき無限小変換$x^\mu\to x'^\mu=x^\mu-\epsilon^\mu(x)$について,Noetherの定理より,並進対称性に対するNoetherカレントとしてEMTを
\begin{align*} T^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial^\nu \phi-\delta^{\mu\nu} \mathcal L \end{align*}
と定義すると,
\begin{align*} \delta S=\int d^dx T^{\mu\nu} \partial_\mu \epsilon_\nu \end{align*}
とかける.
さて,一般に,Noetherカレントには全微分だけの不定性があるのだった.その不定性を利用して,EMTをimproveし,対称テンソル場にすることができる.EMTを添字について対称とすると,
\begin{align*} \delta S=\frac{1}{2}\int d^dx T^{\mu\nu} (\partial_\mu \epsilon_\nu+\partial_\nu \epsilon_\mu) \end{align*}
と書ける.$\epsilon(x)$が無限小の場合を考えよう.理論が共形対称性があるとき,上式右辺は消える.式(1)(2)より,
\begin{align*}\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu=\frac{2}{d}\partial_\sigma\epsilon^\sigma\delta_{\mu\nu}\end{align*}
であったから,
\begin{align*} \delta S=\frac{1}{d}\int d^dx T^{\mu}_{\mu} \partial_\nu \epsilon^\nu \end{align*}
つまり
\begin{align*} T^{\mu}_{\mu}=0 \end{align*}
EMTのトレースが消えることがわかる.これは理論が共形不変性をもつための必要条件である.
$\epsilon(x)$が回転変換のとき,対応するNoetherカレントは
\begin{align*} j^\mu_{\nu\rho}=T^\mu_{\nu}x_\rho-T^\mu_{\rho}x_\nu \end{align*}
上式から理論が回転対称性をもつなら,EMTは対称であることがわかる.
$\epsilon(x)$がスケール変換のとき,対応するNoetherカレント
\begin{align*} j^\mu=T^\mu_\nu x^\nu \end{align*}
とかける.(ただし,EMTをさらにimproveする必要がある.)
上式から理論がスケール対称性をもつなら,EMTはトレースレスであることがわかる.
理論が一般の共形不変性をもつ$\implies$EMTはトレースレス
理論がトレース不変性をもつ$\implies$EMTはトレースレス
が言えた.このことから,物理の気持ちとして

と考えられる.

一般に,スケール不変性をもつ理論は共形不変性をもつと考えられている.共形不変性とスケール不変性の関係について,次sectionでより詳しく述べる.

共形不変性とスケール不変性の関係

前sectionで見たように,一般にはスケール不変性と共形不変性は異なる.しかし,以下のことが知られている.

(参照:J. Polchinski, "Scale and Conformal Invariance in Quantum Field Theory"Nucl. Phys. B303 (1988) 226)
上の定理の証明のスケッチを述べる.スケール不変な理論では,トレースが
\begin{align*} T^\mu_\mu=\partial_\mu J^\mu \end{align*}
と全微分で書かれる.EMTのもつ自由度利用して,適切にimproveすることでトレースレスな形にできる.したがって,理論は共形不変性をもつ.

一般の次元$d>2$では,上の定理は成立しない.実際,$d=4$ではスケール不変だが共形不変ではないような系の例がある.(参照:Jean-François Fortin, Benjamín Grinstein, Andreas Stergiou, Scale without Conformal Invariance: An Example)しかし,局所性,ユニタリ性,Poincaré不変性をもつ(物理的意味のある)系においては,スケール不変性をもつが共形不変性をもたないような例は知られていない.
(参照:Yu Nakayama, Scale invariance vs conformal invariance)
現在の所,物理学者の認識としては,物理的に意味のある系においては,スケール不変性は共形不変性に持ち上がると考えられている.

準プライマリ場

共形不変性をもつ系において,「最も自然な」変換性を示す場が準プライマリ場である.ここで強く強調しておきたいのは,

場を特徴づけるのは変換則

だということである.
(スピン0の)準プライマリ場を定義する.

準プライマリ場の無限小変換

無限小共形変換$x^\mu\to x'^\mu=x^\mu-\epsilon^\mu(x)$のもとでスピン0の準プライマリ場がどのように変換するか調べる.
\begin{align*} \mathcal{O}(x)\to \mathcal O'(x)=\mathcal{O}'(x'+\epsilon)&=\Lambda(x+\epsilon)^{\Delta/2}\mathcal{O}(x+\epsilon) \\ &=\mathcal{O}(x)+[\epsilon^\mu \partial_\mu +\frac{\delta}{d}(\partial_\mu \epsilon^\mu)]\mathcal O(x) \end{align*}
最後の等式で式(1)を用いた.
よって,
\begin{align} \delta \mathcal {O}(x)=[\epsilon^\sigma \partial_\sigma +\frac{\Delta}{d}(\partial_\sigma \epsilon^\sigma)]\mathcal O(x) \end{align}
が分かる.上式に
\begin{align*} \epsilon^\sigma(x)=&-i\delta^{\mu\sigma}(\text{並進}),-ix^\sigma(\text{スケール変換}),-i(\delta^{\sigma\mu}\delta^{\nu}_{\tau}-\delta^{\sigma\nu}\delta^{\mu}_{\tau})x^\tau(\text{回転}),\\ &2B_\alpha x^\alpha x^\sigma-B^\sigma |x|^2(\text{SCT}) \end{align*}
を代入して,各生成子$A$の作用$A\mathcal{O}(x)=\delta\mathcal {O}(x)$として,
\begin{align*} P_\mu\mathcal{O}(x)&=-i\partial_\mu \mathcal{O}(x)\\ D_\mu\mathcal{O}(x)&=-i(x^\mu\partial_\mu +\Delta)\mathcal{O}(x)\\ L_{\mu\nu}\mathcal{O}(x)&=-i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu) \mathcal{O}(x)\\ K_\mu\mathcal{O}(x)&=-i(2x_\mu x^\nu\partial_\nu-|x|^2\partial_\mu +2\Delta x_\mu)\mathcal{O}(x)\\ \end{align*}
以上で場への生成子の作用が理解できた.

2D-CFT

2次元の共形場理論について解説する.式(10)により,$d=2$における無限小共形変換の条件は
\begin{align} \partial_\mu \epsilon_\nu+\partial_\nu \epsilon_\mu =\partial_\rho \epsilon^\rho \delta_{\mu\nu} \end{align}
で与えられたのだった.書き直すと,
\begin{align*} &\frac{\partial \epsilon_1(x_1,x_2)}{\partial x^1}= \frac{\partial \epsilon_2(x_1,x_2)}{\partial x^2}\\ &\frac{\partial \epsilon_1(x_1,x_2)}{\partial x^2}= -\frac{\partial \epsilon_2(x_1,x_2)}{\partial x^1}\\ \end{align*}
これはCauchy-Riemann方程式になっている.つまり,2D-CFTにおいて,任意の正則関数は無限小共形変換の生成子になれる.

したがって,2D-CFTには複素関数論の美しい結果が応用できる.複素座標を
\begin{align*} z=x^1+ix^2,\bar{z}=z^1-ix^2 \end{align*}
と組む.微分演算子は
\begin{align*} \partial:=\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x^1}-i\frac{\partial}{\partial x^2}\right),\bar{\partial}:=\frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x^1}+i\frac{\partial}{\partial x^2}\right) \end{align*}
\begin{align*} &dz=\frac{\partial z}{\partial x^1}dx^1+\frac{\partial z}{\partial x^2}dx^2=dx^1+idx^2\\ &d\bar{z}=\frac{\partial \bar{z}}{\partial x^1}dx^1+\frac{\partial \bar{z}}{\partial x^2}dx^2=dx^1-idx^2 \end{align*}
により,
\begin{align*} ds^2=dx^1dx^1+dx^2dx^2=dzd\bar{z} \end{align*}
となる.
\begin{align*} ds^2=g_{zz}dzdz+g_{z\bar{z}}dzd\bar{z}+g_{\bar{z}z}d\bar{z}dz+g_{\bar{z}\bar{z}}d\bar{z}d\bar{z} \end{align*}
となるためには
\begin{align*} g_{zz}=0,g_{z\bar{z}}=g_{\bar{z}z}=\frac{1}{2},g_{\bar{z}\bar{z}}=0 \end{align*}
$g^{zz}$などはこの逆行列として定義する.
ここで,
\begin{align*}\epsilon(z)=-\sum_{n\in \mathbb Z}\epsilon_nz^{n+1},\bar{\epsilon}(\bar{z})=-\sum_{n\in \mathbb Z}\bar{\epsilon}_n\bar{z}^{n+1} \end{align*}
とローラン展開しよう.
2次元共形代数の生成子として
\begin{align*} l_n=-z^{n+1},\bar{l}_n=-z^{n+1} \end{align*}
と定義する.交換関係は
\begin{align*} &[l_m,l_n]=(m-n)l_{m+n},\quad[\bar{l}_m,\bar{l}_n]=(m-n)\bar{l}_{m+n}\\ &[l_m,\bar{l}_n]=0 \end{align*}
である.

$l_n$たちは以下の意味で「局所的」「大域的」な変換に分かれる.$n< -1$の場合,$z\to 0$の極限で発散してしまう.また,Riemann球面上で$z=-1/w$の座標変換の下では,
\begin{align*} l_n=-(-1/w)^{n+1}\left(\frac{dw}{dz}\right)=-(-1/w)^{n-1}\partial_w \end{align*}
この表式は$n>1$のとき,$w\to 0$の極限で発散する.したがって,
\begin{align*} n=-1,0,1 \end{align*}
のとき,$l_n$はRiemann球面上で定義される.この意味で大域的な変換となっている.

2次元大域的共形代数は一般次元の大域的共形代数と整合することを確かめる.
実際,
\begin{align*} &P_1=-i\partial_1=-i(l_{-1}+\bar{l}_{-1})\\ &P_2=-i\partial_1=-i(l_{-1}-\bar{l}_{-1})\\ &L_{21}=i(x_2\partial_1-x_1\partial_2)=-i(l_0-\bar{l}_0)\\ &D=-i(x^1\partial_1+x^2\partial_2)=i(l_0+\bar{l}_0)\\ &K_1=-i(2x_1(x^1\partial_1+x^2\partial_2)-|x|^2\partial_1)=i(l_1+\bar{l}_1) \end{align*}
などが成立する.

準プライマリ場の変換則も書き換えよう.
共形次元$\Delta,$スピン$0$の準プライマリ場の変換則を導出する.

2D-CFTにおける準プライマリ場の変換則の導出1

2D-CFTにおける準プライマリ場の変換則は以下のように定義される.

上の定義から下の定義を導出できることを見る.
局所座標$x,x'$および複素座標$z,w$が
\begin{align*} A:=\begin{bmatrix} 1 & i\\ 1 & -i\\ \end{bmatrix} \end{align*}
\begin{align*}& A\begin{bmatrix} dx^1 \\dx^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} dz \\d\bar{z} \end{bmatrix}\\& A\begin{bmatrix} dx'^1 \\dx'^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} dw \\d\bar{w} \end{bmatrix} \end{align*}
の関係で結ばれている.
$J,K$をヤコビ行列:
\begin{align*} J\begin{bmatrix} dx^1 \\dx^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} dx'^1 \\dx'^2 \end{bmatrix} \end{align*}
\begin{align*} K\begin{bmatrix} dz \\d\bar{z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} dw\\d\bar{w} \end{bmatrix} \end{align*}
とすると,
\begin{align*} J^{-1}&=AK^{-1}A^{-1} \\&=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \frac{dz}{dw}+\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}} &i\frac{dz}{dw}-i\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}}\\ -i\frac{dz}{dw}+\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}} &\frac{dz}{dw}+\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}}\\ \end{bmatrix} \end{align*}
である.
よって
\begin{align*} \begin{bmatrix} \frac{\partial x^1}{\partial x'^1} & \frac{\partial x^1}{\partial x'^2}\\ \frac{\partial x^2}{\partial x'^1} & \frac{\partial x^2}{\partial x'^2}\\ \end{bmatrix} =\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \frac{dz}{dw}+\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}} &i\frac{dz}{dw}-i\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}}\\ -i\frac{dz}{dw}+\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}} &\frac{dz}{dw}+\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}}\\ \end{bmatrix} \end{align*}
今,$x,x'$で表示された共形次元$\Delta$,スピン1の準プライマリ場$\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2$があり,
\begin{align*} \mathcal O'_{\mu}(x')=\Lambda(x)^{(\Delta-1)/2}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}\mathcal O(x) \end{align*}
を満たしている.
複素座標における$\mathcal{O}_z,\mathcal {O}_{\bar{z}},\mathcal{O}_w,\mathcal {O}_{\bar{w}}$を
\begin{align*}\mathcal{O}_\mu dx^\mu=\mathcal{O}_zdz+\mathcal {O}_{\bar{z}}d\bar{z}\end{align*}
\begin{align*}\mathcal{O}'_\mu dx'^\mu=\mathcal{O}_wdw+\mathcal {O}_{\bar{w}}d\bar{w}\end{align*}
と定義すると,
\begin{align*} &\mathcal {O}_z=\mathcal O_1-i\mathcal O_2,\quad \mathcal {O}_{\bar{z}}=\mathcal O_1+i\mathcal O_2\\ &\mathcal {O}_w=\mathcal O_1'-i\mathcal O_2',\quad \mathcal {O}_{\bar{w}}=\mathcal O_1'+i\mathcal O_2' \end{align*}
となる.
\begin{align*}\Lambda(z,\bar{z})=\frac{dz}{dw}\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}}\end{align*}より,
\begin{align*} \mathcal O_{w}&=\mathcal O'_1-i\mathcal O'_2\\ &=\Lambda (x)^{(\Delta-1)/2} \left(\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^1}O_{\mu}-i\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^2}O_{\mu} \right)\\ &=\Lambda (x)^{(\Delta-1)/2} \left[ \left(\frac{\partial x^1}{\partial x'^1}-i\frac{\partial x^1}{\partial x'^2} \right)\mathcal O_1+ \left(\frac{\partial x^2}{\partial x'^1}-i\frac{\partial x^2}{\partial x'^2} \right)\mathcal O_2\right]\\ &=\Lambda (x)^{(\Delta-1)/2} \left[ \left(\frac{dz}{dw}\right)\mathcal O_1-i\left(\frac{dz}{dw} \right)\mathcal O_2\right]\\ &=\left(\frac{dz}{dw} \right)^{(\Delta+1)/2}\left(\frac{d\bar{z}}{d\bar{w}}\right)^{(\Delta-1)/2}\mathcal O_z\\ \end{align*}
スピンが一般の値でも同様.

2D-CFTにおける準プライマリ場の変換則の導出2

無限小共形変換を$z\to z'=z-\epsilon(z),\bar{z}\to\bar{z}'=\bar{z}-\bar{\epsilon}(\bar{z})$とする.
式(16)により,
\begin{align*} \delta \mathcal {O}=\epsilon^1\partial_1+\epsilon^2\partial_2+\frac{\Delta}{2}(\partial_1\epsilon^1+\partial_2\epsilon^2) \end{align*}
ここで
\begin{align*} &\partial_1=\partial^1=\partial+\bar{\partial}\quad \partial_2=\partial^2=i(\partial-\bar{\partial})\\ &\epsilon^1=\epsilon_1=\frac{1}{2}(\epsilon+\bar{\epsilon})\quad \epsilon^1=\epsilon_1=\frac{1}{2i}(\epsilon -\bar{\epsilon}) \end{align*}
これらを代入すると,
\begin{align*} \delta \mathcal{O}&=[\frac{1}{2}(\epsilon+\bar{\epsilon})(\partial+\bar{\partial})+\frac{1}{2i}(\epsilon-\bar{\epsilon})i(\partial-\bar{\partial}) \\&+\frac{\Delta}{2}((\partial+\bar{\partial})\frac{1}{2}(\epsilon+\bar{\epsilon})+i(\partial-\bar{\partial})\frac{1}{2i}(\epsilon-\bar{\epsilon}))]\mathcal O \\&=(\epsilon\partial+\bar{\epsilon}\bar{\partial}+\frac{\Delta}{2}(\partial\epsilon+\bar{\partial}\bar{\epsilon}))\mathcal O \end{align*}
ここで
\begin{align*} \Delta=h+\bar{h},l=h-\bar{h} \end{align*}
と定義する.
この$(h,\bar{h})$を共形ウェイトという.
いまは$l=0$なので$h=\bar{h}$である.
よって,
\begin{align*} \delta\mathcal{O}&=(\epsilon\partial+\bar{\epsilon}\bar{\partial}+h(\partial\epsilon+\bar{\partial}\bar{\epsilon}))\mathcal O\\ &=(\epsilon\partial+h\partial\epsilon+\bar{\epsilon}\bar{\partial}+\bar{h} \bar{\partial}\bar{\epsilon})\mathcal O \end{align*}
今はスピン0の場合を議論したが,一般にも成立する.
ここで,やや天下りだが,以下のように定義しよう.

無限小変換$w=z-\epsilon(z)$の場合,上のような変換則を満たす場の微小変換が
\begin{align*} \delta\mathcal{O}&=(\epsilon\partial+\bar{\epsilon}\bar{\partial}+h(\partial\epsilon+\bar{\partial}\bar{\epsilon}))\mathcal O\\ &=(\epsilon\partial+h\partial\epsilon+\bar{\epsilon}\bar{\partial}+\bar{h} \bar{\partial}\bar{\epsilon})\mathcal O \end{align*}
となることはすぐに確かめられる.

相関関数

CFTにおける著しい性質として,場がもつ共形変換に対する変換則のために,相関関数の形が強く制限されることが挙げられる.
2点関数：
\begin{align*} G(z_1, \bar{z}_1; z_2, \bar{z}_2) = \langle \mathcal{O}_1(z_1, \bar{z}_1)\mathcal{O}_2(z_2, \bar{z}_2) \rangle \end{align*}
に共形変換を作用させると,
\begin{align*} G(z_1, \bar{z}_1; z_2, \bar{z}_2) \mapsto \left( \frac{dw}{dz_1} \right)^{h_1} \left( \frac{d\bar{w}}{d\bar{z}_1} \right)^{\bar{h}_1} \left( \frac{dw}{dz_2} \right)^{h_2} \left( \frac{d\bar{w}}{d\bar{z}_2} \right)^{\bar{h}_2} \cdot G(w_1, \bar{w}_1; w_2, \bar{w}_2) \end{align*}
この変換の形が再現されるような関数しか許されない.
並進・回転対称性より,$ G $ は $ z_1 - z_2 $, $ \bar{z}_1 - \bar{z}_2 $ のみの関数だと分かる.
\begin{align*} G(z_1, \bar{z}_1; z_2, \bar{z}_2) = f(z_1 - z_2, \bar{z}_1 - \bar{z}_2) \end{align*}
スケール変換$ z \mapsto \lambda z $ に対しては
\begin{align*} \mathcal{O}_1(\lambda z_1, \lambda \bar{z}_1)\mathcal{O}_2(\lambda z_2, \lambda \bar{z}_2) \mapsto \lambda^{-(h_1 + h_2)} \bar{\lambda}^{-(\bar{h}_1 + \bar{h}_2)} \cdot G(z_1, z_2) \end{align*}
よって,
\begin{align*} G(z_1, z_2) \propto \frac{1}{(z_1 - z_2)^{h_1 + h_2}(\bar{z}_1 - \bar{z}_2)^{\bar{h}_1 + \bar{h}_2}} \end{align*}
特殊共形変換に対しては
\begin{align*} z \mapsto w=\frac{z}{cz + 1},\bar{z} \mapsto \bar{w}=\frac{\bar{z}}{c\bar{z} + 1} \end{align*}
\begin{align*} \frac{dz}{dw}|_{z=z_j}=\gamma_j^2,w_1-w_2=\frac{z_1-z_2}{\gamma_1\gamma_2},\gamma_j=cz_j+1 \end{align*}
となるので,
\begin{align*} \frac{1}{(z_1-z_2)^{h_1+h_2}(\bar{z}_1-\bar{z}_2)^{\bar{h}_1+\bar{h}_2}}=\frac{1}{(z_1-z_2)^{h_1+h_2}(\bar{z}_1-\bar{z}_2)^{\bar{h}_1+\bar{h}_2}}\cdot\frac{(\gamma_1\gamma_2)^{h_1+h_2}(\bar{\gamma}_1\bar{\gamma}_2)^{\bar{h}_1+\bar{h}_2}}{\gamma_1^{2h_1}\gamma_2^{2h_2}\bar{\gamma}_1^{2\bar{h}_1}\bar{\gamma}_2^{2\bar{h}_2}} \end{align*}
これが成立するためには$h_1=h_2,\bar{h}_1=\bar{h}_2$が必要.したがって,2点相関関数は
\begin{align*} \langle \mathcal{O}(z_1, \bar{z}_1)\mathcal{O}(z_2, \bar{z}_2) \rangle = \frac{C}{(z_1 - z_2)^{2h}(\bar{z}_1 - \bar{z}_2)^{2\bar{h}}} \end{align*}
の形に制限される.

同様にして3点関数もその形が強く制限される.$n>3$点関数については完全には形が決まらない.

共形Ward高橋恒等式

以下の関係式を共形Ward高橋恒等式という.
\begin{align*} \langle T(z)\mathcal {O}_1\cdots \mathcal {O}_n\rangle&=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{1}{z-z_j}\frac{\partial}{\partial z_j}+\frac{h_j}{(z-z_j)^2}\right)\langle \mathcal {O}_1\cdots \mathcal {O}_n\rangle\\ \end{align*}
ここで$T(z)$はEMT,$\langle\cdot \rangle$は真空期待値である.
共形Ward高橋恒等式より,演算子積展開(Operator Product Expansion)が導かれる.
\begin{align*} T(z)\mathcal O(z) \sim \frac{h\mathcal O(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial_w \mathcal{O}(w)}{z-w} \end{align*}
上の式の気持ちを説明しよう.真空期待値\begin{align*} \langle \mathcal{O}_1 \cdots \mathcal{O}_N \rangle \end{align*}
は($N$点)相関関数とよばれ,場たちの相互作用を表している.我々が興味をもつのは,特に二つの場$\mathcal{O}_1(z), \mathcal{O}_2(w)$が挿入されている点が非常に近くなったとき,つまり,物理的描像としては二つの粒子が近づき$z\to w$,強く相互作用するときである.このとき,$z-w$の正則な項は無視でき,特異な項の寄与だけが気になる.それを表示するのがOPEである.一般に,

($\sim$は正則な項を無視する同値関係と思ってよい.)
$T(z)$どうしのOPEは次のようになる.
\begin{align*} T(z)T(w)\sim \frac{c/2}{(z-w)^4}+\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial_w T(w)}{z-w} \end{align*}
ここで$c$は中心電荷という.

動径量子化

二次元平面を
\begin{align*} z=\exp(\tau +i\sigma),\quad \bar{z}=\exp(\tau-i\sigma) \end{align*}
と座標変換をした上で,$\tau $を時間だと思って量子化する方法を動径量子化という.
ここで時間順序積は動径順序
\begin{equation*} R[\mathcal A(z)\mathcal B(w)]=\begin{cases} \mathcal A(z)\mathcal B(w) \quad |z|> |w|\\ \mathcal B(w)\mathcal A(z) \quad |w|> |z| \end{cases} \end{equation*}
を与える.

我々の目的はOPEを調べることである.
$w$まわりの微小な円上の周回積分:
\begin{align*} \oint_{w} dz \mathcal A(z)\mathcal B(w) \end{align*}
によって,OPE:
\begin{align*} \mathcal A(z)\mathcal B(w) \sim \frac{a_{-n}(w)}{(z-w)^n}+\cdots +\frac{a_{-1}(w)}{z-w} \end{align*}
の$(z-w)^{-1}$の係数を求めることができる.
ところで,$C_1,C_2$を原点中心の半径$|w|+\delta,|w|-\delta$の円($\delta$は十分小さい正の実数)とすると,動径順序の定義から
\begin{align*}\oint _{w}dz \mathcal A(z)\mathcal B(w)=\oint_{C_1}\mathcal A(z)\mathcal B(w)-\oint_{C_2}\mathcal B(w)\mathcal A(z)\end{align*}
が成立する.これを形式的に
\begin{align*} \oint _{w}dz \mathcal A(z)\mathcal B(w)=[\oint_0 dz \mathcal A(z),\mathcal B(w)] \end{align*}
と書くことにする.
ただし$\oint_0$は原点まわりの周回積分を意味する.$C_1,C_2$の半径の違いを無視してよいのか問題だが,これは積分の中身の演算子を$z$について展開し,$z^{-1}$の係数を取り出すという形式的操作だと思ってほしい.(我々は複素積分を厳密にやりたい訳ではない.)
これは周回積分によってOPEを調べることと演算子の交換関係を調べることが等価であることを表している.

Virasoro代数

Noetherの定理の逆により,不変量があれば,それに対応する無限小変換の生成子がある.
CFTにおいては,EMTが共形不変性の情報をすべて持っているので,EMTに対応する無限小変換の生成子たちの代数を調べることは重要である.
\begin{align*} Q_{\epsilon}=\frac{1}{2\pi i }\oint_0 dz \epsilon(z) T(z) \end{align*}
と定義すると,
\begin{align*} \delta_{\epsilon}\mathcal {O}(z,\bar{z})=[Q_{\epsilon},\mathcal {O}(z,\bar{z})] \end{align*}
という関係がある.
\begin{align*} Q_{\epsilon}=-\sum_{n\in\mathbb Z}\epsilon_n L_n, \epsilon(z)=-\sum_{n\in \mathbb Z}(\epsilon_n z^{n+1}) \end{align*}
と展開する.ここで
\begin{align*} L_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_0 dz z^{n+1}T(z),T(z)=\sum_{n\in \mathbb Z}\frac{L_n}{z^{n+2}} \end{align*}
である.($\bar{z}$についても同様.)
$L_n$たちは共形変換の生成子の完全な族である.$L_n$たちのなす代数を調べよう.
\begin{align*} [L_n,T(z)]&=[\frac{1}{2\pi i}\oint_0 dz z^{n+1}T(z),T(w)]\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_w dz z^{n+1}T(z)T(w)\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_w dz z^{n+1}[\frac{c/2}{(z-w)^4}+\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial T(w)}{z-w}] \end{align*}
ここで公式:
\begin{align*} \frac{1}{2\pi i}\oint_w dz\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\frac{1}{n!}\partial^n_w f(w) \end{align*}
を適用し,
\begin{align*} [L_n,T(z)]&=\frac{c}{12}(n+1)n(n-1)w^{n-2}+2(n+1)w^{n}T(w)+w^{n+1}\partial_wT(w) \end{align*}
両辺$w^{n+1}$かけて$0$周りで周回積分すると
\begin{align*}[L_n,L_m]=(n-m)L_{n+m}+\frac{c}{12}n(n^2-1)\delta_{n+m,0}\end{align*}
を得る.ここで部分積分
\begin{align*} \frac{1}{2\pi i}\oint_0 dw w^{n+m+2}\partial T(w)=-\frac{1}{2\pi i}\oint_0dw (n+m+2)w^{n+m+1}T(w) \end{align*}
を用いた.

vertex operator algebra

以下のデータ$(V, |0\rangle,T,Y)$であって,一連の公理を満たすものを頂点作用素代数(vertex operator algebra, VOA)という.

• ベクトル空間 $ V = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} V_n $（次数付きベクトル空間）\

• 真空ベクトル $ |0\rangle \in V_0 $

• $ T: V \to V $

• 頂点作用素写像（Vertex Operator Map）
  \begin{align*} Y(-, z): V \to (\text{End}(V))[[z, z^{-1}]], \quad a \mapsto Y(a, z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n z^{-n-1} \end{align*}

• vacuum axiom：
  $ Y(|0\rangle, z) = \text{id}_V $,
  $ Y(a, z)|0\rangle \in a + zV[[z]] $

• translation axiom：
  $ [T, Y(a, z)] = \partial_z Y(a, z) $
  $ T|0\rangle = 0 $

• locality：
  2つの場 $ Y(a, z) $ と $ Y(b, w) $ が局所的(locality):
  ある整数 $ N > 0 $ が存在して
  \begin{align*} (z-w)^N [Y(a, z), Y(b, w)] = 0 \end{align*}
  が成立.

上の公理を満たすものを頂点作用素代数という.さらに以下の公理も満たすものをconformal VOAという.

• grading：
  Virasoro元$ \omega \in V_2 $
  \begin{align*} Y(\omega, z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} L_n z^{-n-2} \end{align*}
  が存在し,$ L_n $ がVirasoro代数を生成する.
  \begin{align*} [L_m, L_n] = (m - n)L_{m+n} + \frac{c}{12}(m^3 - m)\delta_{m+n,0} \end{align*}

参考文献

[1][2][3][4]はCFTの入門書.[1]は物理学徒向け,[3]は数学徒向け,[2]はその中間.[1]か[2]を読んで物理の気持ちを理解して,数学的な内容を[3]で補足するのが良い.[4]は900pくらいある(ただし統計力学,QFTの復習から入っている).辞書のようにして使うのが良い.[5][6]はVOAの教科書.