自己紹介、そして正n角形と中央二項係数
自己紹介
こんにちは、これが自分の初投稿になります！
MathLogを知って、いろんな人の記事を読んでいるうちに、「自分でも何か書いてみたい！」と思い、ついに一つ記事を書いてみることにしました。
初投稿なので拙い部分もあると思いますが、最後まで読んでいただけたら嬉しいです！('_')
本題
半径1の円周上に等間隔でn個の点を打つ。このうち相異なる2点を結んでできる線分の長さの2乗の総和を求めよ（nは2以上の自然数とする。）
この問題から話をスタートしていきます。 この問題どう解きますか？
とりあえず、何から始めたらいいのかわかんない問題は小さなnで試すのが定石ですね！
n=2の場合
n=2
まあ、できる線分はひとつだけで、長さは2なので二乗和は$2^{2}$で$4$ですね。
n=3の場合
n=3
nが3だと線分は3本、それぞれ長さは等しく$\sqrt{3}$なので 二乗和は$\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^2=9 $になりますね！
n=4の場合
n=4
nが4の時、できる線分は6本。二乗和を計算すると$\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2+2^2+2^2 = 16$ ですね☺
n=5の場合は大変そうなので、いったんここで今までの結果を表にしてみます
$$ {\Large \begin{array}{c|c} n\text{の値} & \text{二乗和} \\ \hline 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ 4 & 16 \end{array} } $$
このことから二乗和は$n^2$になるのではないかと予想が立ちますね！
そうです。実はこの問題の答えは$n^2$となります。そのことの証明をベクトルを使う方法で以下に記します🫡
ベクトルを用いた解答☟
円の中心から円周上に置かれた点へと結ぶn個のベクトルを考え、 $ \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}} , \cdots ,\overrightarrow{v_{n}} $と反時計回りに名付ける。
(補足:円の半径が1なので$ \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}} , \cdots ,\overrightarrow{v_{n}} $はすべて長さ1の単位ベクトルです。)
この時、求めたい線分の二乗和は ${\displaystyle\sum_{1\le i< j\le n}\left|\overrightarrow{v_{j}}-\overrightarrow{v_{i}}\right|^2}$ と表すことが出来ます。中身を展開すると、
$$ \begin{aligned} \displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \left|\overrightarrow{v_j}-\overrightarrow{v_i}\right|^2 &= \displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \left( \left|\overrightarrow{v_j}\right|^2 +\left|\overrightarrow{v_i}\right|^2 -2\overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j} \right) \\[5pt]&= \displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \left( 1+1 -2\overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j} \right)\end{aligned} $$
いま$i$と$j$の決め方は${}_n \mathrm{ C }_2$通りあるので
$$ \displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \left( 2 -2\overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j} \right)=2{}_n \mathrm{ C }_2-2\displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j}\cdots[1]$$
と、いうことで $\displaystyle\sum_{1\le i< j\le n}\overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j}$ さえ求まれば終わりです。
ところで$ \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}} , \cdots ,\overrightarrow{v_{n}} $は等間隔に同じ大きさで並んでいるので、それらの和は打消し合い０ベクトルとなります
$$ \overrightarrow{v_{1}} + \overrightarrow{v_{2}} + \cdots + \overrightarrow{v_{n}} = \overrightarrow{0} $$
この式の両辺を二乗してみましょう
$$ \left|\overrightarrow{v_{1}} + \overrightarrow{v_{2}} + \cdots + \overrightarrow{v_{n}}\right|^2 = 0 $$
左辺を展開すると
$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{v_{1}}\right|^2 +\left|\overrightarrow{v_{2}}\right|^2 +\cdots +\left|\overrightarrow{v_{n}}\right|^2 +2\displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j}\end{aligned} $$
これが0になります。$ \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}} , \cdots ,\overrightarrow{v_{n}} $は単位ベクトルであったので求めたかった内積の総和は
$$ 2\displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j} = -n$$
となります。この結果をさっきの$[1]$の式に代入しましょう。
$$ \begin{aligned} \displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \left|\overrightarrow{v_j}-\overrightarrow{v_i}\right|^2 &= 2{}_n \mathrm{ C }_2-2\displaystyle\sum_{1\le i< j\le n} \overrightarrow{v_i}\cdot\overrightarrow{v_j} \\[5pt]&= n(n-1)-(-n) \\[10pt]&= n^2\end{aligned} $$
ベクトル大活躍でした。一応複素数を用いて解くことも可能です。
ほかの指数での一般化
さあ、今は2乗和でしたが、3乗4乗...ではどうなるでしょう？
このことについては計算などを省き事実だけを記させていただきます。
線分のｍ乗和を以後$S_{m}$と表記します。※$(n>m)$
偶数乗の和の時はとてもきれいに$S_{m}$を表すことが出来ます！
$S_{2m} = \displaystyle\frac{1}{2}\binom{2m}{m}n^2$ 中央2項係数！
しかし残念ながら、奇数乗の和はこんな感じできれいに表すことが出来ません
$S_{2m+1} = \displaystyle\sum_{j=0}^{m} (-1)^{m-j} \binom{2m+1}{j} \cot\left( \frac{2m+1-2j}{2n} \pi \right)$ これが自分の限界でした。。。
以上、初記事でした！
今後書いてみたい内容もいくつかあるので、これからも気長に投稿していく予定です。
ここまで読んでくださった方、ありがとうございました！
最後に飼ってる犬の画像でしめます↓ なまえは犬太
🐶
