有界モジュラー束とGalois接続
Galois接続の基礎:
https://mathlog.info/articles/HZM4qbHU7PLSrLPOjivu
有界束とGalois接続:
https://mathlog.info/articles/tEz6vVZYnpIObT4NyLjW
入射と射影
$\Lambda$: 有界束
$c \in \Lambda$
- $\iota^c = (\id_{[0, c]}, (-) \wedge c): [0, c] \to \Lambda$
- $\pi_c = ((-) \vee c, \id_{[c, 1]}): \Lambda \to [c, 1] $
と定める。
$\Lambda$: 有界束
$c \in \Lambda$
$\iota^c, \ \pi_c$は全単射準同型である。
[示すこと: $\iota^c$がGalois接続であること]
$\i$$x \in [0, c], \ y \in \Lambda$を取る。
$\i$[$\implies$]
$\ii$$\id_{[0, c]}(x) \le y$とする。
$\ii$すなわち、$x \le y$である。
$\ii$よって、$x \wedge c \le y \wedge c$
$\ii$$x \le c$だから、$x \le y \wedge c$
$\i$[$\impliedby$]
$\ii$$x \le y \wedge c$とする。
$\ii$このとき、$x \le y \wedge c \le y$である。
$\ii$すなわち、$\id_{[0, c]}(x) \le y$
[示すこと: $\iota^c$が全単射であること]
$\i$$\ker(\iota^c) = (\iota^{c})^*(0) = 0 \wedge c = 0$なので、単射である。
$\i$$\im(\iota^c) = (\iota^c)_*(c) = \id_{[0, c]}(c) = c$なので、全射である。($[0, c]$の最大元は$c$)
[示すこと: $\iota^c$が準同型であること]
$\i$[示すこと: 正則性の1つ目]
$\ii$$x \in [0, c]$を取る。
$\ii$$(\iota^{c})^*(\iota^c)_*(x) = (\iota^{c})^*(x) = x \wedge c = x \qquad$ (左辺) ($x \le c$より)
$\ii$$x \vee \ker(\iota^c) = x \vee 0 = x \qquad$ (右辺)
$\i$[示すこと: 正則性の2つ目]
$\ii$$y \in \Lambda$を取る。
$\ii$$(\iota^c)_*(\iota^{c})^*(y) = (\iota^c)_*(y \wedge c) = y \wedge c \qquad$ (左辺)
$\ii$$y \wedge \im(\iota^c) = y \wedge c \qquad$ (右辺)
[$\pi_c$について]
$\i$略
同型定理
$\Lambda_0, \Lambda_1$: 有界束
$\phi = (\phi_*, \phi^*): \Lambda_0 \to \Lambda_1$: 準同型
このとき、$\phi_*, \phi^*$は制限することによって互いに逆な順序を保つ写像
$\i$$\phi_*|_{[\ker(\phi), 1]}: [\ker(\phi), \ 1]_{\Lambda_0} \ \iff \ [0, \ \im(\phi)]_{\Lambda_1} : \phi^*|_{[0, \im(\phi)]}$
を与える。
[$\phi_*$が$[示すこと: \ker(\phi), 1]$を$[0, \im(\phi)]$に写すこと]
$\i$$x \in[\ker(\phi), 1]$を取る。
$\i$$\phi_*(x) \le \phi_*(1) = \im(\phi)$は単調性から明らか。
$\i$$\phi_*(x) \ge 0$は自明。
[$\phi^*$が$[0, \im(\phi)]$を$[示すこと: \ker(\phi), 1]$に写すこと]
$\i$$y \in[0, \im(\phi)]$を取る。
$\i$$\phi^*(y) \ge \phi^*(0) = \ker(\phi)$は単調性から明らか。
$\i$$\phi^*(y) \le 1$は自明。
[示すこと: 互いに逆であること]
$\i$$x \in[\ker(\phi), 1]$のとき、$\phi^* \phi_*(x) = x \vee \ker(\phi) = x$$\i$($x \ge \ker(\phi)$より)
$\i$$y \in[0, \im(\phi)]$のとき、$\phi_* \phi^*(y) = y \wedge \im(\phi) = y$$\i$($y \le \im(\phi)$より)
$\Lambda_0, \Lambda_1$: 有界束
$\phi = (\phi_*, \phi^*): \Lambda_0 \to \Lambda_1$: 準同型
このとき、$\phi_*, \phi^*$ をそれぞれ制限して得られる組
$\i$$\bar \phi := \big(\phi_*|_{[\ker(\phi), 1]}, \ \phi^*|_{[0, \im(\phi)]} \big): [\ker(\phi), 1]_{\Lambda_0} \to[0, \im(\phi)]_{\Lambda_1}$
は全単射な準同型である。
(制限による同型)より、$\bar \phi_* := \phi_*|_{[\ker(\phi), 1]}: [\ker(\phi), 1]_{\Lambda_0} \to[0, \im(\phi)]_{\Lambda_1}$ と $\bar \phi^* := \phi^*|_{[0, \im(\phi)]}: [0, \im(\phi)]_{\Lambda_1} \to[\ker(\phi), 1]_{\Lambda_0}$ は互いに逆な順序を保つ写像である。
すなわち $\bar \phi^* \circ \bar \phi_* = \id_{[\ker(\phi), 1]}, \ \bar \phi_* \circ \bar \phi^* = \id_{[0, \im(\phi)]}$
(逆写像補題)より、$\bar \phi := (\bar \phi_*, \bar \phi^*)$ は全単射準同型である。
$\Lambda$: モジュラー束
$a, b \in \Lambda$、$a \wedge b = 0$、$a \vee b = 1$ (すなわち$a, b$ は互いに補元)
このとき、写像
$a \vee (-) : [0, b]_{\Lambda} \iff [a, 1]_{\Lambda} : b \wedge (-)$
は互いに逆な順序同型を与える。
[示すこと: $a \vee (-)$ が $[0, b]$ を $[a, 1]$ に写すこと]
$\i$$x \in [0, b]$ のとき、$a \vee x \ge a$、$a \vee x \le a \vee b = 1$ は明らか。
[示すこと: $b \wedge (-)$ が $[a, 1]$ を $[0, b]$ に写すこと]
$\i$$y \in [a, 1]$ のとき、$b \wedge y \le b$、$b \wedge y \ge 0$ は明らか。
[示すこと: 互いに逆であること]
$\i$$x \in [0, b]$ のとき、$x \le b$ なので、モジュラー則より
$\ii$ $b \wedge (a \vee x) = (b \wedge a) \vee x = 0 \vee x = x$
$\i$$y \in [a, 1]$ のとき、$a \le y$ なので、モジュラー則より
$\ii$ $a \vee (b \wedge y) = (a \vee b) \wedge y = 1 \wedge y = y$
$\Lambda$: モジュラー束
$a, b \in \Lambda$、$a \wedge b = 0$、$a \vee b = 1$ (すなわち$a, b$ は互いに補元)
$\phi = (a \vee (-), b \wedge (-)): [0, b] \to [a,1]$は全単射な準同型
(モジュラー束のダイヤモンド同型定理)と(逆写像補題)より。
$\Lambda_0 \xrightarrow{\phi} \Lambda_1$が単射のとき、以下が成り立つ。
- $\Lambda_0 \simeq [0, \im(\phi)]_{\Lambda_1}$
$\Lambda_1 \xrightarrow{\chi} \Lambda_2$が全射のとき、以下が成り立つ。
- $\Lambda_2 \simeq [\ker(\chi), 1]_{\Lambda_1}$
[示すこと: $\Lambda_0 \simeq [0, \im(\phi)]_{\Lambda_1}$]
$\i$$\phi$は単射であるから、定義より $\ker(\phi) = 0$ である。
$\i$(制限による同型)より、
$\ii$$\phi_*, \phi^*$ は $[\ker(\phi), 1]_{\Lambda_0}$ と $[0, \im(\phi)]_{\Lambda_1}$ の間で互いに逆な順序同型を与える。
$\i$$[\ker(\phi), 1]_{\Lambda_0} = [0, 1]_{\Lambda_0} = \Lambda_0$ であるから、$\Lambda_0 \simeq [0, \im(\phi)]_{\Lambda_1}$ が成り立つ。
[示すこと: $\Lambda_2 \simeq [\ker(\chi), 1]_{\Lambda_1}$]
$\i$$\chi$は全射であるから、定義より $\im(\chi) = 1$ である。
$\i$(制限による同型)より、
$\ii$$\chi_*, \chi^*$ は $[\ker(\chi), 1]_{\Lambda_1}$ と $[0, \im(\chi)]_{\Lambda_2}$ の間で互いに逆な順序同型を与える。
$\i$$[0, \im(\chi)]_{\Lambda_2} = [0, 1]_{\Lambda_2} = \Lambda_2$ であるから、$[\ker(\chi), 1]_{\Lambda_1} \simeq \Lambda_2$ が成り立つ。
完全列
$\Lambda_0, \Lambda_1, \Lambda_2$: 有界束
$\phi: \Lambda_0 \to \Lambda_1, \ \chi: \Lambda_1 \to \Lambda_2$: 準同型
列 $\Lambda_0 \xrightarrow{\phi} \Lambda_1 \xrightarrow{\chi} \Lambda_2$ が $\Lambda_1$ で完全(exact)であるとは、
$\i$$\im(\phi) = \ker(\chi)$
を満たすことをいう。
1元のみからなる有界束を $1$ と表す。
任意の有界束 $\Lambda$ に対し、準同型 $1 \to \Lambda$ および $\Lambda \to 1$ はそれぞれ唯一つ存在し、以下を満たす。
- $\im(1 \to \Lambda) = 0_\Lambda$
- $\ker(\Lambda \to 1) = 1_\Lambda$
1元束 $1$ の唯一の元を $\star$ とおき、$0_1 = 1_1 = \star$ とする。
[準同型 $\iota: 1 \to \Lambda$ が唯一つ存在し、$\im(\iota) = 0_\Lambda$ となること]
$\i$$\iota_* : 1 \to \Lambda$ と $\iota^* : \Lambda \to 1$ を考える。
$\i$$1$ は元を一つしか持たないため、
$\i$写像 $\iota^*$ は任意の $x \in \Lambda$ に対して $\iota^*(x) = \star$ でなければならない。
$\i$一方、$\iota_*(\star) = c \in \Lambda$ とおく。
$\i$Galois接続の定義より、任意の $x \in \Lambda$ に対し
$\ii$$\iota_*(\star) \le x \iff \star \le \iota^*(x)$
$\i$右辺は $\star \le \star$ となり常に真である。
$\i$したがって、左辺 $c \le x$ も「任意の $x \in \Lambda$ に対して」常に真でなければならない。
$\i$すべての元以下となる $\Lambda$ の元は最小元 $0_\Lambda$ に限られるため、
$\i$$c = 0_\Lambda$ すなわち $\iota_*(\star) = 0_\Lambda$ と一意に定まる。
$\i$このとき、$\im(\iota) = \iota_*(1_1) = \iota_*(\star) = 0_\Lambda$ である。
$\i$[正則性の確認]
$\ii$$\iota^*(\iota_*(\star)) = \iota^*(0_\Lambda) = \star = \star \vee \ker(\iota)$
$\ii$$\iota_*(\iota^*(x)) = \iota_*(\star) = 0_\Lambda = x \wedge 0_\Lambda = x \wedge \im(\iota)$
$\ii$よって、この一意に定まった写像の組 $\iota$ は確かに準同型である。
[準同型 $\pi: \Lambda \to 1$ が唯一つ存在し、$\ker(\pi) = 1_\Lambda$ となること]
$\i$$\pi_* : \Lambda \to 1$ と $\pi^* : 1 \to \Lambda$ を考える。
$\i$同様に、$1$ の唯一性から、任意の $x \in \Lambda$ に対して $\pi_*(x) = \star$ でなければならない。
$\i$一方、$\pi^*(\star) = d \in \Lambda$ とおく。
$\i$Galois接続の定義より、任意の $x \in \Lambda$ に対し
$\ii$$\pi_*(x) \le \star \iff x \le \pi^*(\star)$
$\i$左辺は $\star \le \star$ となり常に真である。
$\i$したがって、右辺 $x \le d$ も「任意の $x \in \Lambda$ に対して」常に真でなければならない。
$\i$すべての元以上となる $\Lambda$ の元は最大元 $1_\Lambda$ に限られるため、
$\i$$d = 1_\Lambda$ すなわち $\pi^*(\star) = 1_\Lambda$ と一意に定まる。
$\i$このとき、$\ker(\pi) = \pi^*(0_1) = \pi^*(\star) = 1_\Lambda$ である。
$\i$[正則性の確認]
$\ii$$\pi^*(\pi_*(x)) = \pi^*(\star) = 1_\Lambda = x \vee 1_\Lambda = x \vee \ker(\pi)$
$\ii$$\pi_*(\pi^*(\star)) = \pi_*(1_\Lambda) = \star = \star \wedge \im(\pi)$
$\ii$よって、この一意に定まった写像の組 $\pi$ も確かに準同型である。
$\Lambda_0, \Lambda_1, \Lambda_2$: 有界束
準同型の列 $1 \to \Lambda_0 \xrightarrow{\phi} \Lambda_1 \xrightarrow{\chi} \Lambda_2 \to 1$ が短完全列(short exact sequence)であるとは、各対象 $\Lambda_0, \Lambda_1, \Lambda_2$ の位置で完全、すなわち以下を満たすことをいう。
- $\Lambda_0$ での完全性: $\im(1 \to \Lambda_0) = \ker(\phi) = 0_{\Lambda_0}$ ($\phi$は単射)
- $\Lambda_1$ での完全性: $\im(\phi) = \ker(\chi)$
- $\Lambda_2$ での完全性: $\im(\chi) = \ker(\Lambda_2 \to 1) = 1_{\Lambda_2}$ ($\chi$は全射)
$\Lambda_0, \Lambda_1, \Lambda_2$: 有界束、$\Lambda_1$: モジュラー束
短完全列 $1 \to \Lambda_0 \xrightarrow{\phi} \Lambda_1 \xrightarrow{\chi} \Lambda_2 \to 1$ が分裂する(split)とは、以下の同値な条件のいずれか(したがって全て)を満たすことをいう。
- ある準同型 $\psi: \Lambda_1 \to \Lambda_0$ が存在して、$\psi \circ \phi = \Id_{\Lambda_0}$ となる(レトラクションの存在)
- ある準同型 $\omega: \Lambda_2 \to \Lambda_1$ が存在して、$\chi \circ \omega = \Id_{\Lambda_2}$ となる(セクションの存在)
- ある $y \in \Lambda_1$ が存在して、$y \wedge \im(\phi) = 0_{\Lambda_1}$ かつ $y \vee \im(\phi) = 1_{\Lambda_1}$ となる($\im(\phi)$の補元の存在)
$\Lambda_0, \Lambda_1, \Lambda_2$: 有界束、$\Lambda_1$: モジュラー束
$1 \to \Lambda_0 \xrightarrow{\phi} \Lambda_1 \xrightarrow{\chi} \Lambda_2 \to 1$: 短完全列
$a := \im(\phi) = \ker(\chi)$ とおく。
このとき、以下は同値である。
(a) ある準同型 $\psi : \Lambda_1 \to \Lambda_0$ が存在して、$\psi \circ \phi = \Id_{\Lambda_0}$
(b) ある準同型 $\omega : \Lambda_2 \to \Lambda_1$ が存在して、$\chi \circ \omega = \Id_{\Lambda_2}$
(c) ある $y \in \Lambda_1$ が存在して、$y \wedge a = 0_{\Lambda_1}$ かつ $y \vee a = 1_{\Lambda_1}$
(a) $\implies$ (c)、(c) $\implies$ (b) 、(b) $\implies$ (c)、(c) $\implies$ (a) を示すことで、(a) $\iff$ (c) $\iff$ (b) が従う。
[準備]
$\i$任意の準同型 $\theta : \Lambda \to M$ に対し、次が成り立つ。
$\i$(iii) $\theta^*(\im(\theta)) = \theta^* \theta_*(1) = 1 \vee \ker(\theta) = 1$
$\i$(iii)$\theta_*(\ker(\theta)) = \theta_* \theta^*(0) = 0 \wedge \im(\theta) = 0$
[示すこと: (a) $\implies$ (c)]
$\i$$\psi : \Lambda_1 \to \Lambda_0$ を $\psi \circ \phi = \Id_{\Lambda_0}$ なる準同型とする。
$\i$すなわち $\psi_* \phi_* = \id_{\Lambda_0}$ かつ $\phi^* \psi^* = \id_{\Lambda_0}$
$\i$$y := \ker(\psi) = \psi^*(0_{\Lambda_0})$ とおく。
$\i$[示すこと: $y \wedge a = 0$]
$\ii$$t := y \wedge a$ とおく。
$\ii$$t \le a = \im(\phi)$ なので、
$\iii$$\phi$の正則性より $t = t \wedge \im(\phi) = \phi_*\phi^*(t)$
$\ii$$x := \phi^*(t)$ とおく。
$\ii$$t \le y = \psi^*(0)$ とGalois接続の定義から $\psi_*(t) \le 0$、すなわち $\psi_*(t) = 0$
$\ii$一方 $\psi_*(t) = \psi_* \phi_*(x) = x$($\psi_* \phi_* = \id_{\Lambda_0}$ より)
$\ii$ゆえに $x = 0$、したがって $t = \phi_*(0) = 0$
$\i$[示すこと: $y \vee a = 1$]
$\ii$$\psi_*$ が結びを保つことから、$\psi_*(y \vee a) = \psi_*(y) \vee \psi_*(a)$
$\ii$$\psi_*(y) = \psi_* \psi^*(0) = 0 \wedge \im(\psi) = 0$ ($\psi$の正則性)
$\ii$$\psi_*(a) = \psi_* \phi_*(1_{\Lambda_0}) = 1_{\Lambda_0}$ ($\psi_* \phi_* = \id_{\Lambda_0}$ より)
$\ii$ゆえに $\psi_*(y \vee a) = 1_{\Lambda_0}$
$\ii$$\psi$ の正則性より $\psi^* \psi_*(y \vee a) = (y \vee a) \vee \ker(\psi) = (y \vee a) \vee y = y \vee a$
$\ii$他方、上の等式の両辺に $\psi^*$ を適用すると $\psi^* \psi_*(y \vee a) = \psi^*(1_{\Lambda_0}) = 1_{\Lambda_1}$
$\ii$ゆえに $y \vee a = 1_{\Lambda_1}$
[示すこと: (b) $\implies$ (c)]
$\i$略
[示すこと: (c) $\implies$ (b)]
$\i$$a' \in \Lambda_1$ を $a' \wedge a = 0$、$a' \vee a = 1$ なる元とする。
$\i$[$\omega$を作る]
$\ii$$\ker(\chi) = a, \ \im(\chi) = 1$である。
$\ii$よって、(準同型定理)より、$\chi' = (\chi_*, \chi^*): [a, 1] \to \Lambda_2$と定めると、$\chi'$は全単射準同型である。
$\ii$(第二同型定理)を$a, a'$について適用すると、
$\iii$$\Xi := (a \vee (-), a' \wedge (-)): [0, a']_{\Lambda_1} \to [a, 1]_{\Lambda_1}$は全単射準同型である。
$\ii$$\iota^{a'}: [0, a'] \to \Lambda_1$である
$\ii$$\omega = \iota^{a'} \circ \Xi^{-1} \circ \chi'^{-1}: \Lambda_2 \to \Lambda_1$とおく。
$\i$[示すこと: $\chi \circ \omega = \Id_{\Lambda_2}$]
$\ii$(片方が恒等なら恒等)より、下随伴だけ確認すればよい。
$\ii$[$\omega$の下随伴を具体的に書き下す]
$\iii$合成と逆Galois接続の定義より、$\omega_* = \iota^{a'}_* \circ \Xi^* \circ \chi'^*$ である。
$\iii$$\chi' = (\chi_*, \chi^*): [a, 1] \to \Lambda_2$ であるから、$\chi'^{-1} = (\chi^*, \chi_*): \Lambda_2 \to[a, 1]$
$\iiii$すなわち $(\chi'^{-1})_*(z) = \chi^*(z) \qquad (z \in \Lambda_2)$
$\iii$$\Xi = (a \vee(-), \, a' \wedge(-)): [0, a'] \to[a, 1]$ であるから、
$\iiii$$\Xi^{-1} = (a' \wedge(-), \, a \vee(-)): [a, 1] \to[0, a']$
$\iiii$すなわち $(\Xi^{-1})_*(w) = a' \wedge w \qquad (w \in[a, 1])$
$\iii$$\iota^{a'} = (\id_{[0, a']}, \ a' \wedge (-)): [0, a'] \to \Lambda_1$ であるから、
$\iiii$$(\iota^{a'})_*(x) = x \qquad (x \in[0, a'])$
$\iii$これらを順に合成すると、$z \in \Lambda_2$ に対し、
$\iiii$$\omega_*(z) = (\iota^{a'})_* \big((\Xi^{-1})_*((\chi'^{-1})_*(z)) \big)$
$\iiiii$$= (\iota^{a'})_* \big((\Xi^{-1})_*(\chi^*(z)) \big)$
$\iiiii$$= (\iota^{a'})_* \big(a' \wedge \chi^*(z) \big)$
$\iiiii$$= a' \wedge \chi^*(z)$
$\iii$(最後の等号は $a' \wedge \chi^*(z) \in[0, a']$ であることと $(\iota^{a'})_* = \id_{[0, a']}$ による)
$\ii$以上より $\omega_*(z) = a' \wedge \chi^*(z)\ (z \in \Lambda_2)$ である。
$\ii$[示すこと: $\chi_* \omega_*(z) = z$]
$\iii$$z \in \Lambda_2$ を任意に取る。
$\iii$$\chi^*$ が順序を保つことから $\chi^*(z) \ge \chi^*(0_{\Lambda_2}) = \ker(\chi) = a$
$\iii$よって、$a \le \chi^*(z)$ であるから、$\Lambda_1$ のモジュラー則より
$\iiii$$\chi^*(z) = \chi^*(z) \wedge(a' \vee a) = (\chi^*(z) \wedge a') \vee a = \omega_*(z) \vee a$
$\iii$両辺に $\chi_*$ を適用する。$\chi_*$ は結びを保存するから
$\iiii$$\chi_* \chi^*(z) = \chi_* \big(\omega_*(z) \vee a \big) = \chi_*(\omega_*(z)) \vee \chi_*(a)$
$\iii$$\chi$ の正則性(第2式)より左辺は
$\iiii$$\chi_* \chi^*(z) = z \wedge \im(\chi) = z \wedge 1_{\Lambda_2} = z$
$\iii$また、準備(iii)より $\chi_*(a) = \chi_*(\ker \chi) = 0_{\Lambda_2}$
$\iii$ゆえに
$\iiii$$z = \chi_*(\omega_*(z)) \vee 0_{\Lambda_2} = \chi_*(\omega_*(z))$
[示すこと: (c) $\implies$ (a)]
$\i$(c) $\implies$ (b)と同様なので略
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