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高校数学議論
期待値とバウムクーヘン積分?
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なんかふと気づいたことがあったのでメモ代わりに書き残しておきます。
期待値は回転体の体積の定数$(\frac{1}{2\pi})$倍である
これだけだと言葉足らずすぎてなんのことかさっぱり分からないのでちゃんと定義・補足します。
確率密度関数
関数$f(x)$が次の条件を満たすとき$f(x)$を確率密度関数という:
$$\forall x\in \mathbb{R},f(x) \geq 0$$
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$$
ただし今回は$x\geq 0$とします。(回転体の都合)
期待値
確率変数$X$の分布が確率密度関数$f(x)$に従うとき$X$の期待値$E(X)$を次のように定義する
$$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$
次に回転体の体積(バウムクーヘン積分)です。
バウムクーヘン積分
連続関数$f(x)$について曲線$y=f(x)$と3直線$y=0,x=a,x=b\quad(0\leq a\lt b)$で囲まれた図形を$y$軸周りに1回転させてできる回転体の体積$V$は
$$V=2\pi\int_a^bx|f(x)|dx$$
ここでこの$f(x)$を確率密度関数だとしてみると$|f(x)|=f(x)$であり
$$V=2\pi\int_{0}^{\infty}xf(x)dx=2\pi\times E(X)$$
となります。
たしかに期待値が回転体の体積の定数倍になっています。
なんでこうなるのかを自分なりに考えてみましたがいい説明は思いつきませんでした。偶々でしょうか。誰か考えてみてください。(他力本願)
投稿日：2日前
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izayoi
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