自作問題あなぐら１２（n個の複素数の和についての問題）

　以下，$S_n := z_1 + z_2 + \cdots + z_n$とおく．
(1) 与等式は$S_n - z_i = - w z_{i+1}$ゆえ，これを$1 \leq i \leq n$で和をとると
$$ \sum_{i=1}^n (S_n - z_i) = - \sum_{i=1}^n w z_{i+1}, \qquad \therefore n S_n - S_n = - w S_n, \qquad \therefore (w + n - 1) S_n = 0. $$
以下，$S_n \neq 0$と仮定して背理法で示す．すると$w = - n + 1$である．また与等式：$S_n - z_i = - w z_{i+1}$を$E_i$とする．$E_1$と$E_2$，$E_2$と$E_3$，…，$E_{n-1}$と$E_n$，$E_n$と$E_{n+1} (= E_1)$の差をとることにより
\begin{align} z_2 - z_1 &= w (z_3 - z_2), \\ z_3 - z_2 &= w (z_4 - z_3), \\ z_4 - z_3 &= w (z_5 - z_4), \\ &\vdots \\ z_n - z_{n-1} &= w (z_1 - z_n), \\ z_1 - z_n &= w (z_2 - z_1). \end{align}
これらより$z_2 - z_1 = w^n (z_2 - z_1)$を得て，$z_1 \neq z_2$であることより$w^n = 1$を得る．これは$n \geq 3$より$w = - n + 1$と矛盾する．よって$S_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0$．
(2) 背理法で示す．前問(1)の結果より$E_i: z_i = w z_{i+1}$で，$z_i \ (i = 1,\ 2,\ \cdots ,\ n)$の中に非零のものがあるからそれを選ぶ(これを$z_j$とする)と$z_j = w^n z_j$となるので$w^n = 1$を得る．$w$が実数であると仮定すると，$w = \pm 1$となる．しかし$w = 1$ならば$E_i: z_{i+1} = z_i$ゆえ矛盾し，$w = -1$ならば$E_i: z_{i+1} = - z_i$ゆえ$z_1 = z_3$となり矛盾．よって$w$は実数でない．
(3) $w^n = 1$より$|w| = 1$が得られるので，$E_i$の絶対値をとり
$$ |z_i| = |w z_{i+1}|, \qquad \therefore |z_{i+1}| = |z_i|. $$
よって$|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = \ell$となる．
　次に$\theta = 2 \pi/n$として，$\zeta = \cos{\theta} + i \sin{\theta}$とおく．すると$w = \zeta^k \ (k \in \mathbb{Z})$とおける．$\arg{w} = k \theta = 2 k \pi/n$とおける．$w$が実数でないことおよび偏角の条件と合わせると$k = 1$ゆえ，$w = \cos{(2 \pi/n)} + i \sin{(2 \pi/n)}$となる．
　等式$E_i$より$z_{i+1}/z_i = 1/w$ゆえ$\angle{\mathrm{P}_i \mathrm{O}\mathrm{P}_{i+1}} = \theta$となる．よって多角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \cdots \mathrm{P}_n$は半径$\ell$の円に内接して$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$がこの順に時計回りに並ぶ正$n$角形となる．$\mathrm{OP_1} = \mathrm{OP_2} = \ell$かつ$\angle{\mathrm{P}_i \mathrm{O}\mathrm{P}_{i+1}} = \theta$ゆえ$\triangle{\mathrm{P_1 O P_2}} = \ell^2 \sin{\theta} / 2$だから
\begin{equation} S = n \times \triangle{\mathrm{P_1 O P_2}} = \frac{n \ell^2}{2} \sin{\left(\dfrac{2 \pi}{n}\right)}. \end{equation}