自作問題あなぐら１２（n個の複素数の和についての問題）

問題

　相異なる$n$個の複素数$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$がある．ある複素数$w$が存在して，任意の自然数$i \ (1 \leq i \leq n)$に対して
$$ \sum_{k=1}^n z_k - z_i = w z_{i+1} \qquad (\text{ただし，} z_{n+1} = z_1 \text{とする．}) $$
が成立しているとする．このとき以下の問いに答えよ．

1. 和$z_1 + z_2 + \cdots + z_n$の値を求めよ．
2. $w$は実数でないことを示せ．
3. 複素数平面上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$を，$\mathrm{P}_i(z_i)$として定める．$|z_1| = \ell$とするとき，複素数平面上の多角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \cdots \mathrm{P}_n$の面積$S$を$\ell$，$n$を用いて表せ．

余話

　昔解いた問題（確か模試だったはず）を一般化した問題です．

解答

　現在，模範解答を執筆中．以下，略解を示す．
(1) $0$
(2) 略
(3) $S = \dfrac{n \ell^2}{2} \sin{\left(\dfrac{2 \pi}{n}\right)}$