自作問題あなぐら１２（n個の複素数の和についての問題）

問題

　相異なる$n$個の複素数$z_1,z_2,\cdots ,z_n$がある．ある複素数$w$が存在して，任意の自然数$i(1\le i\le n)$に対して
$$\sum _{k=1}^n{z}_k-z_i=w{z}_{i+1}(\text{ただし，}{z}_{n+1}=z_1\text{とする．})$$
が成立しているとする．このとき以下の問いに答えよ．

1. 和$z_1+z_2+\cdots +z_n$の値を求めよ．
2. $w$は実数でないことを示せ．
3. 複素数平面上の点列${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots ,{\mathrm{P}}_n$を，${\mathrm{P}}_i(z_i)$として定める．$|z_1|=\ell$とするとき，複素数平面上の多角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\cdots {\mathrm{P}}_n$の面積$S$を$\ell$，$n$を用いて表せ．

余話

　昔解いた問題（確か模試だったはず）を一般化した問題です．

解答

　現在，模範解答を執筆中．以下，略解を示す．
(1) $0$
(2) 略
(3) $S={\displaystyle \frac{n{\ell }^2}{2}}\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\right)$