「単位」についての対話

ある日の夕方。
下校途中だろう，高校生の男女が歩きながら何か話し込んでいる。

きむち:「ねえ，1日ってどうして24時間しかないのかな」
らっきょ:「はぁ？」
きむち:「いやいや，どう考えても短すぎるでしょ！どうせなら100時間ぐらい欲しくない？」
らっきょ:「嫌だよ，ぶっ倒れちまうよ」
ゆう:「あ，もしかして『単位』の話してる？」
きむち:「してません」
らっきょ:「お帰りください」
ゆう:「酷っ！」
らっきょ:「ゆう先生，仕事は見つかったの？」
ゆう:「プライベートの話はやめて！？」
きむち:「今日は何しに来たの？」
ゆう:「『単位』が分からなくて困っている君たちを助けるためさ☆」
きむち:「だっる…」
らっきょ:「まあまあ，ゆう先生も寂しいんだよ。少しぐらい付き合ってあげようよ」

ここで少し登場人物の紹介をしておこう。
ここに出てきた「小松崎きむち」と「一津川らっきょ」はそれぞれ，高校2年生の女の子と男の子である。
また「ゆう」はこの記事の著者であり，彼らの「先生」でもある。

ゆう:「君たち，いま1日は24時間だって話をしていたね」
らっきょ:「俺はしてないです。きむちが勝手に文句言ってただけです」
きむち:「いやマジで24時間ってあり得なくない！？遊ぶ時間無いじゃん！」
ゆう:「じゃあここで，『1日は24時間』を式に起こしてみよう」
らっきょ:「何故…」

$$ 1\mathrm{日} = 24\mathrm{時間} $$

ゆう:「これを見て，何か気付くことは？」
きむち:「お腹空いた…」
ゆう:「そうだね，数式にあからさまに『単位』が含まれている事だね！」
らっきょ:「そんなの当たり前じゃ…」
ゆう:「そうかな？小学校の算数のテストを思い出してごらん。答案の『計算式』を書く欄には，基本的に数字と，"$+$"や"$\times$"といった演算記号しか書かなかったよね？」
らっきょ:「そういや，高校になって急に理科でしれっと，$v = 2\mathrm{m/s}$みたいな式が出始めた気が…」
ゆう:「うんうん。それじゃあ『単位とは何か』探究する旅に，出発だ！」
きむち:「終わった…」
らっきょ:「24時間で足りるかな…」

単位の謎

ゆう:「さあ，温かいコーヒーが入ったよ」
きむち:「やったぁカン◯リーマ◯ム！」
らっきょ:「まあ正直これがなきゃ来ないよな」

二人の高校生は，ゆうの「研究室」(と称している自室)にいた。
壁には黒板があり，本棚にはたくさんの本が並んでいる。

ゆう:「あ，一人2個ずつね。おっと，いま僕が言った，『人』や『個』も単位と言えば単位だね（※厳密には違うけど）」
らっきょ:「俺たち，別に単位のことで悩んでないですよ。小学校のときから使ってるわけだし」
ゆう:「そうかな？複合的な単位というものがあるだろう」
らっきょ:「複合的…？」
きむち:「わかった！ $\mathrm{km/h}$とか，$\mathrm{m^2}$みたいなやつでしょ」
ゆう:「その通り！ご褒美にカ◯ト◯ーマ◯ムもう一個あげよう」
きむち:「やったぁ！」
らっきょ:「確かに，あれはちょっと意味わからなかったかも…。なんか割り算したり，二乗したり…まるで数みたいに，計算ができるものみたいだ。それに，

$$ (\mathrm{速さ}) = (\mathrm{距離})/(\mathrm{時間}) $$
$$ (\mathrm{面積}) = (\mathrm{高さ}) \times (\mathrm{幅}) $$

みたいな公式と，都合よく整合しているように見える」
ゆう:「鋭いねらっきょ君！」
らっきょ:「お菓子もらってくよ」
ゆう:「セルフで取らないで？そう，単位は決して，『なんか数の後ろにくっついてるよくわからん奴』じゃない。数と同じように，計算ができるものなんだ！」

量と単位

ゆう:「単位について理解するためには，まず『量』の概念を把握する必要がある」
きむち:「量？」
ゆう:「例えば，君たちの目の前にあるコーヒー。それぞれのカップには，大体200ccぐらい入る」
きむち:「うん」
ゆう:「そのお菓子は大体，一個で10gだ」
らっきょ:「それが…？」
ゆう:「僕たちが日常で扱う数値には，ほとんど単位がくっついてる。その『(数値)+(単位)』で表されるものを『量』って呼ぶよ」
きむち:「つまり，『200cc』とか『10g』とかが量ってことね」
ゆう:「そういうこと！」
らっきょ:「でも，今は単位のことを考えてるんでしょ？その単位を使って表される『量』まで出てきたら，余計話がややこしくなるだけじゃないか」
ゆう:「それが逆なんだな。実は，順番的には『量』が先に来るべきなんだ」
らっきょ:「どういうこと…？」
ゆう:「これは，量の『測り方』を考えてみるとわかりやすいよ。扱いやすい例として，『長さ』を考えよう。例えば，このチョークの長さを測ろうとしたら，君たちはどうする？」
きむち:「ものさしを当てる！」
ゆう:「そうだね。そしてその目盛りを読む。でも，実際これは『何をしている』んだろう？」
らっきょ:「何をしているって，言ったままじゃ…」
きむち:「『目盛りいくつ分』かを数えてる？」
ゆう:「素晴らしい！」
きむち:「やった！」
らっきょ:「そうか…！ものさしの目盛りは読みやすくできてるけど，基本に返ればそうだよね。俺たちがチョークの長さを54mmだってわかるのは，『1mm』の目盛り54個分って数えてるからなんだ」
ゆう:「そう。チョークの長さを『54mm』というのは，『"1mm"の54個分』ってこと」
らっきょ:「ちょっと待って…？それってつまり，

$$ 54\mathrm{mm} = 54 \times 1\mathrm{mm} $$

ってこと！？」
ゆう:「その通り！ここで再び，『単位を含んだ式』が出てきたね」
きむち:「量が『(数値)+(単位)』で表されるから，量の計算をするときはいつでも『単位を含んだ式』になるのね」
ゆう:「そういうこと。ここまで来たら，単位を理解するために量が必要な理由がわかるんじゃないかな？」
らっきょ:「単位も量の一種だから…？」
ゆう:「そう！『mm』っていう単位も，結局はただ『1mm』っていう長さを表しているに過ぎない。ただ僕たちがものの長さを，その『1mm』を基準にして測り，また表そうとするとき，それを『単位』と呼んで頭の"1"を省略するんだね」
きむち:「単位は，『基準となる量』なんだ…」

量の演算

ゆう:「さっき，単位は数と同じように，計算ができるものだと言ったね。でも，これは単位に限った話じゃなくて，そもそもの量の性質なんだ」
らっきょ:「そういや量の足し算や掛け算は，小学校の頃からやってるもんな…」
ゆう:「そうでしょ？ 単位について掛け算や割り算ができるっていう性質は，単に量の性質がそのまま引き継がれただけ。単位は量だってことを理解したら，当たり前のことだったんだね」
らっきょ:「ちょっと待って！前，物理の先生が『長さと時間は足し算できない』みたいなこと言ってた。それはどうなの？」
ゆう:「いい指摘だね。量が数と違うところは，足し算と引き算はいつでもできるとは限らないって事だ。例えば，

$$ 4\mathrm{mm} + 5\mathrm{秒} $$

みたいな式は物理的に意味を持たない。でも，

$$ 4\mathrm{mm} + 6\mathrm{mm} = 10\mathrm{mm} $$

みたいな式はちゃんと意味を持つ」
きむち:「掛け算と割り算は？」
ゆう:「お，いい質問だね。足し算と違って，掛け算はいつでもできる。例えば，

$$ 2\mathrm{mm} \times 5\mathrm{秒} = 10\mathrm{mm\cdot 秒} $$

みたいな計算も可能だ。割り算に関しては（$0$割りの問題があるから）ちょっとややこしいが，これも基本的にはできる。まとめると，以下のようになるよ」

「同じ単位の量」同士しか足し算・引き算できない
掛け算はできる
割り算も($0$でない限り)できる

ゆう:「ただ，1は実を言うとちょっとだけ違う。正確にはこうだ」

「同じ『種類』の量」同士しか足し算・引き算できない

きむち:「種類？」
ゆう:「うん。まず，『同じ単位の量』って言い方だとまずい理由から話そう。例えば，次の式は意味を持つ」

$$ 1\mathrm{時間} + 30\mathrm{分} $$

きむち:「そうだね」
ゆう:「計算結果は色んな書き方ができる。例えば，

$$ 1\mathrm{時間} + 30\mathrm{分} = 1.5\mathrm{時間} = 90\mathrm{分} $$

とかだ」
らっきょ:「そりゃ，$1\mathrm{時間} = 60\mathrm{分}$とか，$30\mathrm{分} = 0.5\mathrm{時間}$みたいな単位変換が可能だからでしょ」
ゆう:「そう。そこで，今みたいな変換で単位を揃えることができる量同士，例えば『1$\mathrm{時間}$』と『$30\mathrm{分}$』は同じ『種類』の量と言えるよね」
きむち:「どっちも『時間』っていう種類の量だね！」
ゆう:「その通り。$[\mathrm{時間}]$という種類，$\mathrm{[長さ]}$という種類…。こういう『量の種類』のことを，物理学では次元と呼ぶんだ」
らっきょ:「次元？あの，『2次元平面』とかの『次元』ですか？」
ゆう:「その『次元』（いわゆる空間次元）とは別物と思ったほうがいいな。空間次元の方は自然数で表されるが，量の次元は数じゃない。まあ，その話は別の機会にすることにして，そろそろ今回のまとめに入ろう」