文献あり

Z/2Z係数のホモロジー

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勉強ノートみたいな感じです.

定義と定理

位相空間 $X$ の特異ホモロジーを構成するときに定義した特異チェイン複体 ${C_{*} (X), \partial}$ と $Z / 2 Z$ のテンソル積を考えて得られる複体 ${C_{n} (X) \otimes Z / 2 Z, \partial \otimes {id}_{Z / 2 Z}}$ から得られるものが $Z / 2 Z$ 係数のホモロジー群 $H_{*} (X; Z / 2 Z)$ です.　整係数ホモロジー群を知っていれば, 次の普遍係数定理から $Z / 2 Z$ 係数のホモロジー群を計算することができます.

(普遍係数定理)

位相空間対 $X$ に対し,　同型 $H_{n} (X; Z / 2 Z) ≅ (H_{n} (X) \otimes Z / 2 Z) \oplus Tor (H_{n - 1} (X), Z / 2 Z)$ が成り立つ. ただし, $H_{- 1} (X) = 0$ とする.

ここに $Tor$ という記号が出てきました. これは Abel 群の torsion (ねじれ) 積と呼ばれるもので, 定義は省略しますが次のことが成り立ちます.

$G = ⨁_{i} G_{i}$ , $H = ⨁_{j} H_{j}$ のとき $Tor (G, H) ≅ ⨁_{i, j} Tor (G_{i}, H_{j})$ .
$Tor (G_{1}, G_{2}) ≅ Tor (G_{2}, G_{1})$ .
$Tor (Z, G) = 0$ .
$Tor (Z / m Z, Z / n Z) ≅ Z / (\gcd (m, n)) Z$ .

ところで, 有限生成 Able 群は $Z$ と $Z / p Z$ のいくつかの直和にかけることが知られています. (有限生成 Abel 群の基本定理などの名前で有名です.) つまり, 命題 2 は有限生成アーベル群に対する torsion 積の結果を完全に与えているのです.
さらに, 有名な図形のホモロジー群は大体が有限生成アーベル群になるので, 普遍係数定理の $Tor$ 部分に怯える必要は全くないわけです.

テンソル積についてもは次が成り立ちます.

$G = ⨁_{i} G_{i}$ , $H = ⨁_{j} H_{j}$ のとき $G \otimes H ≅ ⨁_{i, j} G_{i} \otimes H_{j}$ .
$G_{1} \otimes G_{2} ≅ G_{2} \otimes G_{1}$ .
$Z \otimes G = G$ .
$Z / m Z \otimes Z / n Z ≅ Z / (\gcd (m, n)) Z$ .

これで普遍係数定理の $\otimes$ 部分に怯えることもありません.

それでは, 色々な空間の整係数ホモロジー群を既知として, その $Z / 2 Z$ 係数ホモロジー群を求めてみましょう.

例

n

次元球面

整係数ホモロジー群は $H_{k} (S^{n}) ≅ {\begin{cases} Z, & k = 0, n \\ 0, & k \neq 0, n \end{cases}$ です. これより, $k = 0, n$ に対して
$H_{k} (S^{n}; Z / 2 Z) ≅ (Z \otimes Z / 2 Z) \oplus Tor (0, Z / 2 Z) ≅ Z / 2 Z$
が得られます. ここで, $0 = Z / 1 Z$ に注意しましょう. $k = 1, n + 1$ では,
$H_{k} (S^{n}; Z / 2 Z) ≅ (0 \otimes Z / 2 Z) \otimes Tor (Z, Z / 2 Z) ≅ 0$
となります. これ以外の $k$ で $Z / 2 Z$ 係数ホモロジーが $0$ になることは明らかでしょう.
まとめると, $H_{k} (S^{n}; Z / 2 Z) ≅ {\begin{cases} Z / 2 Z, & k = 0, n \\ 0, & k \neq 0, n \end{cases}$ です.

射影平面

整係数ホモロジー群は $H_{k} (R P^{2}) ≅ {\begin{cases} Z, & k = 0 \\ Z / 2 Z, & k = 1 \\ 0, & k ≧ 2 \end{cases}$ です. これより, $k = 0$ に対しては例 1 と同様に $Z / 2 Z$ となり, $k = 1$ に対しては
$H_{1} (R P^{2}; Z / 2 Z) ≅ (Z / 2 Z \otimes Z / 2 Z) \oplus Tor (Z, Z / 2 Z) ≅ Z / 2 Z$ が得られます. $k = 2$ に対しては
$H_{2} (R P^{2}; Z / 2 Z) ≅ (0 \times Z / 2 Z) \oplus Tor (Z / 2 Z, Z / 2 Z) = Z / 2 Z$ が得られます. このように, 係数変換によって高次のホモロジーが得られる場合があります.
まとめると, $H_{k} (R P^{2}; Z / 2 Z) ≅ {\begin{cases} Z / 2 Z, & k = 0, 1, 2 \\ 0, & k ≧ 3 \end{cases}$ です.

Klein (クライン) の壺

整係数ホモロジー群は $H_{k} (K) ≅ {\begin{cases} Z, & k = 0 \\ Z \oplus Z / 2 Z, & k = 1 \\ 0, & k ≧ 2 \end{cases}$ です. $k = 0$ に対しては $Z / 2 Z$ です. $k = 1$ に対してはこれまでの例から $Z / 2 Z \oplus Z / 2 Z$ が得られます. また, $k = 2$ では $Z / 2 Z$ が現れます.
まとめると, $H_{k} (K; Z / 2 Z) ≅ {\begin{cases} Z / 2 Z, & k = 0, 2 \\ Z / 2 Z \oplus Z / 2 Z, & k = 1 \\ 0, & k ≧ 3 \end{cases}$ です.

2次元トーラス

整係数ホモロジー群は $H_{k} (T^{2}) ≅ {\begin{cases} Z, & k = 0, 2 \\ Z \oplus Z, & k = 1 \\ 0, & k ≧ 3 \end{cases}$ です. $k = 0, 2$ に対しては $Z / 2 Z$ となり, $k = 1$ に対しては torsion 積が消えて, $H_{1} (R P^{2}; Z / 2 Z) ≅ Z / 2 Z \oplus Z / 2 Z$ が得られます.
まとめると, $H_{k} (T^{2}; Z / 2 Z) ≅ {\begin{cases} Z / 2 Z, & k = 0, 2 \\ Z / 2 Z \oplus Z / 2 Z, & k = 1 \\ 0, & k ≧ 3 \end{cases}$ です.