日本数学オリンピックの問題4
日本数学オリンピックの問題4
問題
$2^3=8$人の選手が勝ち抜きトーナメントのチェス大会（或いは囲碁大会）に参加した。
この大会では、トーナメントをする。
大会の前には総当たりの練習試合が行われ、その際引き分けは発生しなかった。必ず各試合で勝敗が決した。（チェスでそんな確率の低いことは中々起きない。非常に稀である。）
今、大会中の勝敗が練習試合と一致すると仮定した時、トーナメントの組み合わせ次第で優勝する可能性のある選手はちょうど2人であった。このようなことはあり得るか。また、練習試合の勝敗の組み合わせとしてあり得るものは何通りあるか。
なぜチェスなのか？
チェスは先手の白が相当有利である。囲碁など、どちらかが必ず有利なゲームならなんでもいい。
解答
優勝する可能性のある選手を最小の人数にするにはどうするか。全員が4勝しなければならないかと考えたが、その場合全員が優勝する可能性を持つ。最低3勝さえすれば、優勝できるからだ。
6人が2勝までしかできないなら、その6人が勝つ合計の回数は12回。試合は56試合あり、残りの2人は44回勝っている。
とにかく2人を選ぶ選び方が$6*5/2=15$通り。負ける12試合の選び方は、両方が最低3勝するように1,2試合片方が勝つ勝ち方を除外して、更に優勝の可能性のある2人以外が一人が3勝以上する勝ち方を除外する。
$\begin{eqnarray}&&{}_6 C_2*2*({}_{56} C_{44}-44-{}_{44} C_2)\\
&=&30*({}_{56} C_{12}-990)\\
&=&30*(558383307300-990)\\
&=&16751499189300
\end{eqnarray}$
■
訂正
6人全員が2勝しかしないので
$
{}_6 C_2*
{}_{56} C_{2}*
{}_{54} C_{2}*
{}_{52} C_{2}*
{}_{50} C_{2}*
{}_{48} C_{2}*
{}_{46} C_{2}*
/6!
=4068792000$
■
あれ、これも違う。
更に訂正
6人全員が2勝しかしないので
$
{}_6 C_2*
{}_{28} C_{2}*
{}_{26} C_{2}*
{}_{24} C_{2}*
{}_{22} C_{2}*
{}_{20} C_{2}*
{}_{18} C_{2}*
/6!
=3003$
■